Смешанная задача для однородного волнового уравнения

Серия Математика. Механика. Информатика

Рубрики

Для цитирования:

Курдюмов В. П., Хромов А. П., Халова В. А. Смешанная задача для однородного волнового уравнения с ненулевой начальной скоростью с суммируемым потенциалом // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 4. С. 444-456. DOI: 10.18500/1816-9791-2020-20-4-444-456

XML для сайта doaj.org

Смешанная задача для однородного волнового уравнения с ненулевой начальной скоростью с суммируемым потенциалом

Для смешанной задачи, определяемой волновым уравнением с суммируемым потенциалом, однопорядковыми граничными условиями с производной и нулевым начальным положением, исследуются свойства формального решения по методу Фурье в зависимости от гладкости начальной скорости u′_t(x, 0) = ψ(x). В основе исследования — идея А. Н. Крылова об ускорении сходимости рядов Фурье и метод контурного интегрирования резольвенты оператора соответствующей спектральной задачи. Получено классическое решение при ψ(x) ∈ W 1 _p (1 11.06.2019

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С НЕНУЛЕВОЙ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Курдюмов Виталий Павлович, Хромов Август Петрович, Халова Виктория Анатольевна

Для смешанной задачи, определяемой волновым уравнением с суммируемым потенциалом, однопорядковыми граничными условиями с производной и нулевым начальным положением, исследуются свойства формального решения по методу Фурье в зависимости от гладкости начальной скорости u′t(x, 0) = ψ(x). В основе исследования — идея А. Н. Крылова об ускорении сходимости рядов Фурье и метод контурного интегрирования резольвенты оператора соответствующей спектральной задачи. Получено классическое решение при ψ(x) ∈ W1p (1 формальное решение является обобщенным решением смешанной задачи.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Курдюмов Виталий Павлович, Хромов Август Петрович, Халова Виктория Анатольевна

MIXED PROBLEM FOR A HOMOGENEOUS WAVE EQUATION WITH A NONZERO INITIAL VELOCITY AND A SUMMABLE POTENTIAL

For a mixed problem defined by a wave equation with a summable potential equal-order boundary conditions with a derivative and a zero initial position, the properties of the formal solution by the Fourier method are investigated depending on the smoothness of the initial velocity u′t(x, 0) = ψ(x). The research is based on the idea of A. N. Krylov on accelerating the convergence of Fourier series and on the method of contour integrating the resolvent of the operator of the corresponding spectral problem. The classical solution is obtained for ψ(x) ∈ W1p (1 formal solution is a generalized solution of the mixed problem.

Текст научной работы на тему «СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С НЕНУЛЕВОЙ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ»

Смешанная задача для однородного волнового уравнения с ненулевой начальной скоростью с суммируемым потенциалом

В. П. Курдюмов, А. П. Хромов, В. А. Халова

Курдюмов Виталий Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, д. 83, Kurdyumov47@yandex.ru

Хромов Август Петрович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, д. 83, KhromovAP@sgu.ru

Халова Виктория Анатольевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, д. 83, KhalovaVA@gmail.com

Для смешанной задачи, определяемой волновым уравнением с суммируемым потенциалом, однопорядковыми граничными условиями с производной и нулевым начальным положением, исследуются свойства формального решения по методу Фурье в зависимости от гладкости начальной скорости ut(х, 0) = ф(х). В основе исследования — идея А. Н. Крылова об ускорении сходимости рядов Фурье и метод контурного интегрирования резольвенты оператора соответствующей спектральной задачи. Получено классическое решение при ф(х) g Wp (1 0 и достаточно мало, а п ^ п0 и п0 таково, что при

п ^ п0 внутрь 7п попадает лишь по одному рп. Пусть тп — образ 7п в Л-плоскости (Л = р2, Ивр ^ 0). Формальное решение задачи (1)-(3) возьмем в виде [11,12]

где г > 0 таково, что внутри |Л| = г находятся все собственные значения Лп, для которых п Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1.2. Будем исследовать ряды Uj(x,t), j = 1, 2,3,4.

Теорема 1. (/67). Ряд и(х,£) сходится абсолютно и равномерно и его сумма есть классическое решение задачи (1)-(3) при q(х) = 0 и ф (х) вместо ф(х) с граничными условиями и’1ж(0, £) = и1х(1,£) = 0 (уравнение (1) выполняется п.в.).

1.3. Исследуем ряд и2(х, £). Обозначим

^2д(х,р) = (VI(х,р) — V?(х,р))(ф1 ) + Мх,р) — V0(х,р))(ф1 ,^2), ^2,2(х, р) = V?(х, р)(ф1, — \?) + (х, р)(ф1, ^2 — *20), / \

J2,k(x,p)sinpt dЛ, k = 1, 2.

Тогда J2(x, p) = J2,i(x, p) + J2,2(x, p) и

u2 (x, t) = u2)i(x, t) + u2,2(x, t). (12)

Лемма 2. Обозначим через 0(x) одну из функций cos x или sin x, через ви(р) — скалярное произведение вида (m(x)0(px),0(nnx)), где m(x) — одна из функций

(x), (x) / q(r) dr, / (t)q (I±x) dr, через ви(р) — некоторые суммы из ви(р),

умноженные на постоянные числа из некоторого конечного набора таких чисел. Если p = nn + р, где р е 70, то справедливы формулы

Доказательство аналогично лемме 9 из [5].

Лемма 3. ([5, лемма 3]). Если р € 7п, то

Лемма 4. ([8, лемма 19]). Пусть /(х) € [0,1] (1 0 не зависит от щ, n2, f (x) и p G 70,

Лемма 5. Ряд и2)1 (х,Ь) и ряды, получающиеся из него почленным дифференцированием по х и дважды по Ь, сходятся абсолютно и равномерно по х € [0,1] и Ь € [0, Т] при любом Т > 0.

Доказательство следует из формулы (11) по леммам 2-4.

Лемма 6. Функции и2д(х,Ь), дхи2д(х,Ь) абсолютно непрерывны по х, причем п.в. по х € [0,1] и при любом Ь имеет место равенство

q (x)a2,i (x,t) + b2,i (x,t),

Ряды а2)1 (х,Ь) и 62)1 (х,Ь) сходятся абсолютно и равномерно по х € [0,1] и Ь € [0,1]. Множество х, где имеет место (13), можно взять одним и тем же для всех Ь и имеет меру, равную единице.

Доказательство аналогично приведенному в теореме 5 из [7]. 1.4. Теперь рассмотрим и2,2(х,Ь). Так как в силу (10) имеем

Wi, zj — zj) = 1 (^i, — zj + z0» + q(x)zj) = p^(^, zj — zj)+

+-(^q, zj — z0) + 1(^iq,zj), j = 1, 2,

U2,2(x, t) = u2i2(x, t) + U2,2(x, t) + U2,2(x, t),

(х, р) = V? (х, р)(ф?-> qs-1, г )+ +г-2(М^’У-11г22-> — г?2″»), з = 1,2, •Л® (х, р) = V? (х, р)(ф q, г?) + V? (х, р)(ф q, г?).

1.5. Исследуем ряды и2^2(х, Ь) (з = 1,2). Так же, как и леммы 9, 11 из [7], доказываются две следующие леммы.

Лемма 7. При | Im p| ^ h имеет место формула

A(x,p) = -psin x + 2cos px J q(e) de+ 1/ )

Лемма 8. Пусть 0(х), (м) и (м) — те же, что и в лемме 2, где т(х)

теперь — одна из функций (х), (х) / q(т) ^т, / (т) (т±ж) ^т. £сли р = пп + м,

, — г?’) = 0(вп(м)) + О (£) , М, г2 — г?’) = ±0(Д,(м)) + О (р,) .

Лемма 9. Ряды ^(х,^ (з = 1,2) и ряды, получающиеся из них почленным дифференцированием два раза по х и Ь, сходятся абсолютно и равномерно по х £ [0,1] и Ь £ [0, Т], и их суммы удовлетворяют уравнению (1) при q(х) = 0.

Доказательство. Первое утверждение леммы следует из (15) на основании лемм 4, 8 и леммы 2 из [9] так же, как и в лемме 11 из [5], а второе — из формулы

(12 — ^ (V?(х,р)*п рЬ) =0, з = 1, 2. (16)

\ 0 настолько мала, что все контуры расположены вне друг друга. Так же, как и лемма 11, доказывается следующая лемма.

Лемма 13. Для суммы ряда из>1 (х,£) имеет место формула

из,1 (х,*)= / ¿т / Р(п) ¿Т1 — (р, 1) / ¿Т / 5(Г1) ¿Т1 +

+6 (р. ^Е^ — 3х2 — ¿2 — 2

где Р(х) = 1 _р(х), р5(х) — нечетное 2-периодическое продолжение функции

р(х) = / ) х £ [0,1]; 5(х) — та же, что и в лемме 11.

Так как для ряда из,2(х,£) выполняется лемма 9, то в силу (16), (22) и леммы 13 для ряда из(х,£) выполняется лемма 12.

1.9. Наконец, рассмотрим ряд и4(х, £). Обозначим /4,к(х,р) = /2,к(х,р) (к = 1,2) с функцией р(х) в /2,к(х,р) вместо (х). Тогда

Л(х, р) = /4,1 (х, р) + /4,2(х, р)

и4(х, £) = и4д(х, £) + и4,2(х, £), (23)

где и4,к(х, £) определяются как и и2,к(х, £) в (11), но через /4,к(х,р) вместо /2,к(х,р). Из [9, лемма 2] и леммы 3 легко следует выполнение леммы 5 для рядов и4,к(х,£), к = 1, 2, и, кроме того, ряд (х,£) можно дважды почленно дифференцировать по х.

Легко видеть, что для функций и4д(х, £), дХи4,2(х, справделива и лемма 6, но с функцией л—(#Лр) вместо (ЯЛ) в определении а2)1 (х,£) и с функцией /4д(х,р) вместо /2д(х,р) в Ь21 (х,£).

Теорема 3. Функция и4(х, г) непрерывно дифференцируема по х е [0,1] и г е [0,т], дМх^ ^д^^ абсолютно непрерывна по х (по г) и п.в. по х е [0,1] и любом г

д2 u4 (x,t) д2 u4 (x, t) 1

Доказательство. По формуле (11) для u4 д(x, t) и лемме 5

Отсюда и из леммы 6 следует, что п.в. по х G [0,1] и любом t

д 2U4 (x,t) д 2U4 (x,t)

причем по лемме 2 из [5]

Р J4,i(x, p) p dA = 62,1 (x, t).

Так как ряд и42(х, г) можно два раза почленно дифференцировать по х, то в силу (16)

д2И4,2(х,г) _ д2^4,2(х,г)

Тогда из (23) и (25) следует (24) □

1.10. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Если д(х) е Ь[0,1] и ф(х) е [0,1], то формальное решение задачи (1)-(3) является и ее классическим решением.

Доказательство. Для формального решения задачи (1)-(3)

Г-1- (R g)Sin^dA A — Mo Р

на основании лемм 1-4 заключаем, что ряды в (26) и полученные из них почленным дифференцированием по х или г сходятся абсолютно и равномерно. Поэтому и(х,г) удовлетворяет граничным условиям и и(х, 0) _ 0. Почленно дифференцируя ряд (6) в точке г _ 0, как и в [5, теорема 6], получим ^(х, 0) _ ф(х). А в силу (7) из теорем 1-3 и леммы 12 для и3(х,г) следует, что и(х, г) удовлетворяет уравнению (1) п.в. □

Замечание. В теореме 4 так же, как в [8], с привлечением теоремы Хаусдорфа-Юнга [13, с. 211] можно вместо ф(х) е [0,1] предполагать, что ф(х) абсолютно непрерывна и ф'(х) е [0,1] при 1 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Keywords: Fourier method, formal solution, wave equation, resolvent.

Received: 11.06.2019 / Accepted: 28.06.2019 / Published: 30.11.2020

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0)

1. Krylov A. N. O nekotorykh differentsial’nykh uravneniyakh matematicheskoj fiziki, imeyushchikh prilozheniya v tekhnicheskikh voprosakh [On Some Differential Equations of Mathematical Physics Having Applications in Engineering]. Moscow, Leningrad, GITTL, 1950. 368 p. (in Russian).

2. Chernyatin V. A. Obosnovanie metoda Fur’e v smeshannoi zadache dlya uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Justification of the Fourier Method in a Mixed Problem for Partial Differential Equations]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1991. 112 p. (in Russian).

3. Burlutskaya M. S., Khromov A. P. Resolvent approach in the Fourier method. Dokl. Math. 2014, vol. 90, iss. 2, pp. 545-548. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562414060076

4. Khromov A. P. Behavior of the formal solution to a mixed problem for the wave equation. Comput. Math. and Math. Phys., 2016, vol. 56, iss. 2, pp. 243-255. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542516020135

5. Gurevich A. P., Kurdyumov V. P., Khromov A. P. Justification of Fourier Method in a Mixed Problem for Wave Equation with Non-zero Velocity. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 1, pp. 13-29 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2016-16-1-13-29

6. Kurdyumov V. P., Khromov A. P., Khalova V. A. A Mixed Problem for a Wave Equation with a Nonzero Initial Velocity. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2018, vol. 18, iss. 2, pp. 157-171 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-2-157-171

7. Khromov A. P. Mixed problem for a homogeneous wave equation with a nonzero initial velocity. Comput. Math. and Math. Phys2018, vol. 58, no. 9, pp. 1531-1543. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542518090099

8. Khromov A. P. On the convergence of the formal Fourier solution of the wave equation with a summable potential. Comput. Math. and Math. Phys., 2016, vol. 56, iss. 10, pp. 1778-1792. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542516100110

9. Burlutskaya M. S., Khromov A. P. Mixed problem for the wave equation with integrable potential in the case of two-point boundary conditions of distinct orders. Diff. Equat., 2017, vol. 53, iss. 4, pp. 497-508. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266117040085

10. Naymark M. A. Lineinye differentsial’nye operatory [Linear Differential Operators]. Moscow, Nauka, 1969. 526 p. (in Russian).

11. Rasulov M. L. Metod konturnogo integrala [The Method of Contour Integral]. Moscow, Nauka, 1964. 462 p. (in Russian).

12. Vagabov A. I. Vvedenie v spektral’nuyu teoriyu differentsial’nykh operatorov [Introduction to the Spectral Theory of Differential Operators]. Rostov-na-Donu, Izd-vo Rostovskogo universiteta, 1994. 160 p. (in Russian).

13. Bari N. K. Trigonometricheskie ryady [Trigonometric Series]. Moscow, Gos. izd-vo fiz.-mat. lit., 1961. 936 p. (in Russian).