Смешанная задача для уравнения колебаний

Смешанная задача для уравнения колебания балки Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Рассказова Анна Анатольевна, Сабитова Юлия Камилевна

В данной работе решена смешанная задача для однородного уравнения поперечных колебаний тонкой балки методом разделения переменных . Найдены собственные значения соответствующей спектральной задачи и построены собственные функции . Решение задачи получено в виде ряда.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Рассказова Анна Анатольевна, Сабитова Юлия Камилевна

MIXED PROBLEM FOR THE VIBRATIONS OF THE BEAM

In this paper we solved the mixed problem for the homogeneous equation of transverse vibrations of thin beams by separation of variables. Found eigenvalues of the corresponding spectral problem and constructed their own functions. Solution of the problem is obtained in the form of a number.

Текст научной работы на тему «Смешанная задача для уравнения колебания балки»

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ

Рассказова Анна Анатольевна

студент 4 курса Стерлитамакского филиала Башкирского Государственного

Университета, РФ, г. Стерлитамак E-mail: sunrise1008@mail. ru Сабитова Юлия Камилевна канд. физ.-мат.х наук, доцент Стерлитамакского филиала Башкирского Государственного Университета, РФ, г. Стерлитамак

MIXED PROBLEM FOR THE VIBRATIONS OF THE BEAM

4th year student of Sterlitamak Branch the Bashkir State University, Russia,

Sterlitamak Julia Sabitova

candidate of physico-mathematical sciences, associate professor of Sterlitamak Branch the Bashkir State University, Russia, Sterlitamak

В данной работе решена смешанная задача для однородного уравнения поперечных колебаний тонкой балки методом разделения переменных. Найдены собственные значения соответствующей спектральной задачи и построены собственные функции. Решение задачи получено в виде ряда.

In this paper we solved the mixed problem for the homogeneous equation of transverse vibrations of thin beams by separation of variables. Found eigenvalues of the corresponding spectral problem and constructed their own functions. Solution of the problem is obtained in the form of a number.

Ключевые слова: колебания балки; граничные условия; метод разделения переменных, собственные значения, собственные функции.

Keywords: vibrations of the beam; boundary conditions; method of separation of variables, eigenvalues, eigenfunctions.

Рассмотрим поперечные колебания тонкой балки. Главное отличие колебаний балки от поперечных колебаний струны состоит в том, что балка

^ created by free version of

оказывает сопротивление изгибу. Можно показать, применяя законы механики, что колебания балки, зажатой на одном конце, описываются уравнением

= 0, и(х, Ь) — смещение балки

Граничными условиями для заданного конца х = 0 является неподвижность балки и горизонтальность касательной ^ (0,£) = 0, а на свободном конце х =

I должны равняться нулю изгибающий момент М = —Е^^], где Е —модуль

упругости материала балки, ] — момент инерции сечения балки относительно своей горизонтальной оси и тангенциальная сила F = —Е]д3и/дх3 (см. рис. 1).

Рисунок 1. Колебания балки

В уравнении (1) коэффициент а2 вычисляется по формуле —,где р —

плотность материала балки, 5 — площадь поперечного сечения балки).

Для того чтобы полностью определить движение балки, зажатой на одном конце, нужно задать начальные условия: начальное отклонение и начальную скорость в каждом сечении балки, т.е. определить

и\г=о = !(х),Щ11г=о = 9(х), 0 0, (2)

и(0,ь) = 0,их(0,г) = о, (3) иххО, 0 = 0 иххх(1,0 = 0^ > 0,

0. Для функции Х(х) получаем задачу о собственных колебаниях

при граничных условиях

Х(0) = 0,Г(0) = 0,Х»(1) = 0,Х»'(1) = 0. (6)

Общее решение уравнения (5) представляется в виде

Х(х) = А ^([Хх) + В + С соз([Лх) + О зт([/Лх).

Из условий Х(0) = 0, X’ (0) = 0 находим, что А + С = 0,В + О = 0. Отсюда следует Х(х) = А[^(\[Хх) — соз(ЧХх)] + В^([[Ах) — зт([Лх)].

^ сгеа!ес1 Ьу ^ее уетоп of

Рисунок 2. Определение корней уравнения сояхсЛ* = — 1

Граничные условия (6) на правом конце балки дают систему

‘ Л[Л(7Х/) + соз(71/)] + 5^(7!/) + яЦШ/)] = 0, а ^(71/) — зт(7д/)] + в [^(7!/) + соз(71/)] = о.

Однородная система (относительно неизвестных А и В) (7) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

с^7Л/) + ^(7!/) эЦТЯ/) + эЦУЯ/) эЦТя/) — sin(7я^) ^(7!/) + ^(7!/)

Из уравнения (8) получаем алгебраическое уравнение для вычисления собственных значений задачи

3^(71/) — sin2(7яz) = Л2(710 + 2^(7!/) С05(710 + соз2(//А0. (9)

Обозначив и воспользовавшись равенством + 1 = с^х, из

уравнения (9) найдем

Это уравнение можно решить графически (рис. 2). Корнями уравнения (10) являются

^ = 1,875, = 4,694, = 7,854, «-(2п — 1)прип > 3.

Для функции Т(£) имеем уравнение Т» + Япа2Г = 0 Его общее решение записывается в виде

Тп(£) = Лп соз(оУЛ^) + 5П зт(оУЛ^) = Лп соз (ау^) + зт

где Лп и 5п— произвольные постоянные.

Следовательно, «атомы» решения задачи (2), (3) образуются функциями

Лп cos ( а — t) + 5n sin I а — t

(sh^n + sin^n) [сЯ — cos

(ch^n + cos [sfr — sin x)j

Согласно общей теории задачи Штурма — Лиувилля собственные функции (Хп(х)^=1) образуют полную ортогональную систему функций на отрезке [0, /]. Тогда решение задачи (2)—(4) дается рядом

t) = i |ЛП cos ( ay^t) + 5n sin ( ay^t

где коэффициенты Лп и 5Попределяются из начальных условий по формулам

f¡ / (x)Xn (х) dx f¡ # (x)Xn (х) dx

1. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. 2-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, 2004. — 208 с.

2. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. — 352 с.

Метод Фурье

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Метод Фурье, или метод разделения переменных, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Рассмотрим этот метод, обратившись к простейшей задаче о свободных колебаниях однородной струны длины i, закрепленной на концах. §4. Свободные колебания однородной струны, закрепленной на концах Задача о свободных колебаниях однородной струны с закрепленными концами сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях.

Метод Фурье Задачу (1 )-(3) называют смешанной: она содержит и начальные и граничные условия. Решение задачи начнем с поиска частных решений уравнения (1) вида При этом будем предполагать, что каждое из них удовлетворяет граничным условиям (2), но не равно нулю тождественно. Подставляя функцию и<х, t) в форме (4) в уравнение (1), получаем ИЛИ Последнее равенство (его левая часть зависит только от а правая — только от х) возможнолишь втом случае, если обе его части не зависят ни от ty ни от х,т.е. равны одной и той же постоянной.

Обозначим эту постоянную (разделения) через (-А), Из равенства (5) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения Граничные условия (2) дают откуда (T(t) £ 0) следует, что функция Х(х) должна удовлетворять граничным условиям Чтобы получить нетривиальные решения tt(x, t) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (2), необходимо найти нетривиальные решения уравнения удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: найти значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи (7)-(8), а также сами эти решения. Такие значения параметра А называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями задачи (7)-(8). Сформулированную таким образом задачу называют задачей Штурма—Лиувилля. Найдем собственные значения и собственные функции задачи (7)-(8).

Рассмотрим отдельно три случая, когда 1.

При общее решение уравнения (7) имеет вид Потребовав выполнения граничных условий (8), получим (6) (7) Так как определитель системы (9) отличен от нуля, то . Следовательно, Х(х) = 0, т. е. при нетривиальных решений задачи не существует. (9) 2. При А = 0 общее решение уравнения (7) имеет вид Граничные условия (8) дают откуда С, = С2 = 0, и следовательно, при А = 0 нетривиальных решений задачи (7)-(8) также не существует. 3.

При Л > 0 общее решение уравнения (7) имеет вид Потребовав выполнение граничных условий (8), получим Система (10) имеет нетривиальные решениятогда и толькотогда, когда определитель системы равен нулю, Метод Фурье будут собственными функциями задачи. Собственные функции определены с точностью до постоянного множителя, который мы выбрали равным единице. При А = А* общее решение у равнения (6) имеетвид ктга кчга где Аки Bk — произвольные постоянные. Таким образом, функции удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых Ак и Вку В силу линейности и однородности уравнения (1) всякая коневая сумма решений будет также решением уравнения (1).

То же справедливо и для ряда если он сходится равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать по х и по t. Поскольку каждое слагаемое в ряде (11) удовлетворяет граничным условиям (2), то этим условиям будет удовлетворять и сумма u(s, t) этого ряда. Остается определить в формуле (11) постоянные .4* и Вк так, чтобы выполнялись и начальные условия (3). Продифференцируем формально ряд (11) по t.

Имеем Полагая в соотношениях (l 1) и (12) t = 0, в силу начальных условий (3) получим Формулы (13) представляют собой разложения заданных функций вряд Фурье по синусам в интервале Коэффициенты разложений (13) вычисляются по известным формулам / I Теорема 2. Если и удоъчетворяет условиям и удовлетворяет условию то сумма tx(x, £) ряда (11), где -А* и В* опредыяются формулами (14), имеет в области непрерывные частные производные до второго порядка включительно по каждому из аргументов, удовлетворяет уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3), т. е. является решением задачи (1 )-(3).

Пример. Найти закон свободных колебаний однородной струны длины I, закрепленной на концах, если в начальный момент t = 0 струна имеет форму параболы — const), а начальная скорость отсутствует. 4 Задача сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод Фурье

Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2), в виде Подставляя «(*,*) в форме (4) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим откуда причем в силу (2) Как было установлю но выше, собственные значения задачи (7)-(8) а соответствующие собственные функции Для А = Ащ общее решение уравнения (6) имеет вид пяа ижа Будем иска тъ решение исходной задачи в виде ряда Для определен ия коэффициентов -4Я и Z?„ воспользуемся начальными условия ми (3).

получаем, что 2?„ = 0 для любог о п, а из (10) Метод Фурье откуда, интегрируя по частям дважды . находи м . Подставляя наеденные значения А, и в ряд (9), получим решение поставленной задачи , Замечание. Если начальные фукхдда не удовлетворяют условиям теоремы 2, то дважды непрерывно дифференцируемого решения смешанной задачи (1)-(3) может и не существовать.

Однако если , то ряд (II) сходетс* равномерно при и любом t и определяет непрерывную функюао u(xtt). В этом случае можно говорить лишь об обобщенная решении задачи. Каждая из функций определяет так называемые собств енные колебания струны, закрепленной на концах. При собственных колебаниях, отвечающих к = 1, струна издает основной, самый низкий тон.

При колебаниях, соответствующих ббльшим Л.она издает более высокие тоны, обертоны. Записав *) в виде заключаем, что собственные колебания струны — стоячие волны, при которых точки струны совершают гармонические колебания с амплитудой Нк sin частотой Метод Фурье Мы рассмотрели случай свободных колебаний однородной струны, закрепленной на концах. Рассмотрим теперьслуч ай других граничных условий.

Пусть, например, левый конец струны закреплен, u(0, t) = 0, а правый конец х — 1 упругосвязан со своим положением равновесия, что соответствует условию . Нетривиальное решение u(x, t) уравнения (1), удовлетворяющее поставленным граничным условиям, будем опять искать в виде В результате подстановки в уравнение (1) приходим к следующей задаче о собственных значениям: найти такие значения параметра Л, для которых дифференциальное уравнение при граничных условиях имеет нетривиальные решения Х(х). Общее решение уравнения (15) имеет вид (А > 0)

Первое из граничных условий

Первое из граничных условий (16) дает С\ = 0, так что функциями Х(х) с точностью до постоянного множителя являются sin у/Хх. Из второго граничного условия Положим А = ir. Тогда Для отыскания и получаем трансцендентное уравнение. Корни этого уравнения можно найти графически, взяв в плоскости (f, z) сечения последовательных ветвей кривой z = tg(i//) прямой линией z = (рис. 7).

Обе части уравнения (18) — нечетные функции относительно р, поэтому каждому положительному корню i/fc соответствует равный ему по абсолютной величине отрицательный корень. Поскольку изменение знака Uk не влечет за собой появления новых собственных функций (они только изменят знак, что несущественно), достаточно ограничиться положительными корнями уравнения (18).

В результате опять получается последовательность собственных значений и отвечающие им последовательности собственных функций и собственных колебаний Кстати, для n-ой собственной частоты ип получается асимптотическое соотношение в частности, для I = т имеем Если правый конец струны х = I свободен, получаем cos vl = 0. Отсюда ul = § + тиг, так что в случае свободного конца собственные значения и собственные функции соответственно равны

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Куликов А.А. (сост.) Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний

Воронежский государственный университет, 2007, 68с.
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре дифференциальных уравнений факультета ПММ Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов 3-5 курсов факультета ПММ. Для специальности: 010501 (010200) — Прикладная математика и информатика.

Содержание.
Понятие об уравнениях с частными производными и об уравнениях математической физики.
Краевые задачи для уравнений с частными производными.
Постановка смешанных задач для одномерного уравнения теплопроводности.
Постановка смешанных задач для одномерного уравнения колебаний.
Неоднородные уравнения с частными производными.
Принцип Дюамеля.
Задача Штурма-Лиувилля.
Решение смешанных задач для уравнения теплопроводности методом разделения переменных.
Решение смешанных задач для уравнения колебаний струны методом разделения переменных.
Задачи.
Приложение.
Литература.