Смешанные системы линейных уравнений и неравенств

Смешанные системы линейных уравнений и неравенств

Уравнение или неравенство, в которых, наряду с элементарными функциями, содержатся радикалы, модули и другие функции от неизвестного называются комбинированными или смешанного типа.

Рассмотрим уравнения и неравенства смешанного типа. При решении этих уравнений и неравенств приходится применять комбинации различных приёмов. Решение уравнений или неравенств требует, как правило, некоторых преобразований, после которых оно сведется к простейшему уравнению или неравенству. При проведении преобразований мы изменяем внешний вид уравнения или неравенства (упрощаем уравнение), но при этом можем изменить множество его решений, так как проводим, как правило, неравносильные преобразования.

Изменение множества решений исходного уравнения или неравенства может происходить по двум причинам:

• проводимые с уравнением действия (умножение на функцию, деление, прибавление — вычитание функции, возведение в степень и другие преобразования);
• изменение ОДЗ исходного уравнения за счёт использования в преобразовании новой функции с другой ОДЗ. Здесь возможно как приобретение корней за счёт расширения ОДЗ, так и потеря корней за счёт сужения ОДЗ исходного уравнения.

Уравнение или неравенство после преобразований, конечно, может оказаться равносильным. Дать общие рекомендации здесь трудно, нужно в каждом конкретном случае следить за тем, чтобы не потерять корни и не приобрести посторонние решения.

Уравнения и неравенства смешанного типа иногда проще решать, рассматривая правую и левую части, как функции.

Пусть задано уравнение f(x) = g(x), где f и g — некоторые функции. Его решениями называются все числа x_i , подстановка которых в уравнение превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости графики функций y = f(x) и y = g(x). Тогда можно сказать, что решением уравнения f(x) = g(x) будет совокупность абсцисс <x_i> всех точек пересечения графиков этих функций. В частности, решением уравнения f (x) = 0 будут все нули функции f (точки пересечения графика функции с осью абсцисс). Если графики функций не пересекаются, то это означает, что задающее эти графики уравнение решений не имеет.

Пусть задано неравенство f(x) > g(x). Его решением является совокупность всех точек числовой оси, удовлетворяющих данному неравенству. Построим графики функций y = f(x) и y = g(x) в одной координатной плоскости. Геометрически решениями неравенства будут абсциссы всех точек графика y = f(x), лежащих выше соответствующих точек графика y = g(x) на пересечении областей определения функций f и g . Если весь график y = f(x) находится под графиком y = g(x), то неравенство решений не имеет. Решением нестрогого неравенства f(x) $$ \le $$ g(x) будут все точки графика y = f(x), лежащие на самом графике y = g(x) или ниже его. Геометрической интерпретацией решения неравенства f(x) $$ \le $$ g(x) будут абсциссы всех точек графика y = f(x), лежащих ниже соответствующих точек графика y = g(x) на пересечении областей определения функций f и g, а также абсциссы всех точек пересечения графиков y = f(x) и y = g(x).

Системы линейных уравнений и неравенств

Линейным неравенством называют неравенство вида: , где — некоторые числа, — координаты точки пространства . Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству, называют областью решений данного неравенства.

В линейное неравенство имеет вид . Его областью решений является одна из полуплоскостей, на которые граничная прямая делит плоскость . Для того, чтобы установить какая из полуплоскостей удовлетворяет данному неравенству выбирают «пробную» точку и проверяют, удовлетворяет ли она ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей «пробную» точку, в противном случае берётся другая полуплоскость. В качестве «пробной» точки выбирают любую точку, не принадлежащую граничной прямой.Полуплоскость, в которой неравенство выполняется, отмечают стрелками, направленными внутрь данной полуплоскости.

Системой линейных неравенств называют систему неравенств вида:

, где — коэффициенты системы, — свободные члены системы. Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют каждому из неравенств, называют областью решений системы неравенств.

В система линейных неравенств имеет вид: .

Её областью решений является пересечение полуплоскостей, ограниченных прямыми, уравнения которых получают из неравенств заменой в них знаков неравенств на знаки равенств

Переход от системы линейных уравнений с условиями неотрицательности для переменных ( ), к эквивалентной системе линейных неравенств осуществляется следующим способом. Сначала (методом Гаусса) систему уравнений преобразуют к виду, в котором базисные переменные представляются в виде линейных комбинаций свободных переменных, затем в полученных равенствах опускают неотрицательные базисные переменные и переходят к эквивалентным неравенствам.

Ограничения-неравенства , преобразуются в ограничения-равенства путём прибавления (вычитания) к левым частям дополнительных (балансовых) неотрицательных переменных : .

Частное решение системы линейных уравнений, в котором базисные переменные принимают неотрицательные значения, а свободные переменные равны нулю, называется опорным.

1.188 Построить графически область решений следующих систем неравенств:

а) ;б) ;в) ;

г) ;д) ;е) ;

Ж) ;з) .

1.189. Системы линейных уравнений преобразовать в эквивалентные системы линейных неравенств и построить графически область их решений.

а) ; б) ;

В) ; г) .

1.190Смешанные системы линейных уравнений и неравенств преобразовать в эквивалентные системы линейных уравнений и найти какие-нибудь их опорные решения.

а) ; б) ;

В) ; г) .

1.191Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа В и 675 заготовок типа С. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице 1. Записать условия выполнения задания и определить количество листов материала, раскраиваемых первым, вторым и третьим способами.

Таблица 1.

1.192Из Казани в Наб.Челны необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа- 95 ед., II типа – 100 ед., III типа – 185 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице 2. Записать условия перевозки оборудования из Казани в Наб.Челны и установить, сколько единиц транспорта каждого вида для этого потребуется.

Таблица 2.

1.193 На товарные станции А1 и А2 прибыло по 45 комплектов мебели. Перевозка одного комплекта со станции А1 в магазины М1, М2 и М3 обходится соответственно в 1, 3 и 5 ден. ед., а перевозка комплекта со станции А2 в те же магазины – в 3, 5 и 4 ден. ед.. В каждый магазин надо доставить одинаковое количество мебели. Записать в математической форме условия доставки мебели в магазины, если транспортные расходы определены в 270 ден. ед. и найти план перевозки мебели со станций в магазины.

1.194На предприятии освоено 4 технологических способа изготовления изделий А и В из некоторого сырья. В таблице 3 указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из способов.

Таблица 3.

Записать условия выбора технологий при производстве из 94 единиц сырья 574 изделий А и 328 изделий В. Определить какое количество сырья следует перерабатывать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание по выпуску изделий.

1.195 Для откорма кроликов на ферме в ежедневный рацион каждого животного включается 6 единиц питательного вещества А и 7 единиц вещества В. При этом используются корма К1,К2 и К3. Данные о содержании веществ в одной весовой единице корма и ее стоимости приведены в таблице 4.

Таблица 4.

Записать условия составления ежедневного рациона стоимостью 7 денежных единиц, содержащего норму питательных веществ и определить его состав.

1.196Для выполнения полевых работ сельскохозяйственное предприятие может купить тракторы марок Т1 и Т2.Все необходимые данные приведены в таблице 5.

Таблица 5.

Записать условия выполнения всего комплекса полевых работ приобретенными тракторами, если на их покупку отпущено 53 ден. ед. Установить, сколько тракторов той и другой марки следует приобрести предприятию для выполнения запланированного объема работ.

1.197Цех выпускает трансформаторы видов А и В. На один трансформатор вида А расходуется 5 кг трансформаторного железа и 3 кг проволоки, а на трансформатор вида В – 3кг железа и 2 кг проволоки. От реализации трансформатора вида А прибыль составляет 12 ден. ед., а вида В – 10 ден. ед. Сменный фонд железа – 480 кг, проволоки – 300 кг. Записать условия, которым должен удовлетворять план выпуска трансформаторов, если расход ресурсов не должен превышать выделенных фондов, а прибыль должна быть не менее 900 ден. ед. за смену. Построить графически область допустимых планов выпуска трансформаторов.

1.198 На судно грузоподъемностью 1000 т и емкостью трюмов 2400 необходимо погрузить товары А и В. Объемные коэффициенты товаров составляют соответственно 3 /т и 1,2 /т. На складе имеется 800 т товара В и большое количество товара А. Записать ограничения на количество погружаемых на судно товаров, не позволяющие превысить грузоподъемность судна, емкость его трюмов и запас товара В. Построить графически область допустимых вариантов загрузки трюма судна.

1.199 Со станции ежедневно можно отправлять пассажирские и скорые поезда. Данные приведены в таблице 6.

Таблица 6.

Записать условия, не позволяющие превысить наличный парк вагонов при формировании пассажирских и скорых поездов, ежедневно отправляемых со станции. Построить графически область допустимых вариантов формирования поездов.

1.200 Предприятию задан план производства по времени и номенклатуре: не более чем за 6 часов необходимо выпустить ровно 30 ед. продукции вида П1 и ровно 96 ед. продукции вида П2. Машина А за 1 час производит либо 6 ед. продукции П1, либо 24 ед. продукции П2, а машина В – соответственно 13 и 13 ед.. Записать условия, которым должно удовлетворять время работы каждой из машин по выпуску продукции при точном выполнении плана по отдельным ее видам. Построить графически область допустимых вариантов использования времени работы машин, для выполнения плана выпуска продукции.

ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

Линейные уравнения и неравенства

Линейные уравнения

Линейные неравенства

Системы линейных неравенств

Линейные уравнения

Линейным уравнением относительно переменной x называется уравнение первой степени

где k и b – произвольные вещественные числа.

В случае уравнение (1) имеет единственное решение при любом значении b :

В случае, когда уравнение (1) решений не имеет.

В случае, когда k = 0, b = 0, решением уравнения (1) является любое число

Линейные неравенства

Линейным неравенством относительно переменной x называется неравенство, принадлежащее к одному из следующих типов:

где k и b – произвольные вещественные числа.

Решая линейные, да и не только линейные, неравенства, следует помнить, что

В соответствии с этим решение линейных неравенств, в зависимости от значений коэффициентов k и b, представлено в следующей Таблице 1.

Таблица 1. – Решение неравенств первой степени (линейных неравенств)