Смысл основного уравнения дифракционной решетки

Дифракционная решётка

Дифракциейназывается любое отклонение распространения света от прямолинейного, не связанное с отражением и преломлением. Качественный метод расчета дифракционной картины предложил Френель. Основной идеей метода является принцип Гюйгенса — Френеля:

Каждая точка, до которой доходит волна, служит источником когерентных вторичных волн, а дальнейшее распространение волны определяется интерференцией вторичных волн.

Геометрическое место точек, для которых колебания имеют одинаковые фазы, называют волновой поверхностью. Волновой фронт также является волновой поверхностью.

Дифракционная решеткапредставляет собой совокупность большого числа параллельных щелей или зеркал одинаковой ширины и отстоящих друг от друга на одинаковом расстоянии.Периодом решетки (d)называется расстояние между серединами соседних щелей, или что то же самое сумма ширины щели (а) и непрозрачного промежутка (b)между ними (d = a + b).

Рассмотрим принцип действия дифракционной решетки. Пусть на решетку нормально к её поверхности падает параллельный пучок лучей белого света (рис. 1). На щелях решетки, ширина которых соизмерима с длиной волны света, происходит дифракция.

Рис. 1. Ход лучей в дифракционной решетке

В результате за дифракционной решеткой согласно принципу Гюйгенса-Френеля от каждой точки щели световые лучи будут распространяться во всех возможных направлениях, которым можно сопоставить углы отклонения φ световых лучей (углы дифракции) от первоначального направления. Параллельные между собой лучи (дифрагирующие под одинаковым углом φ) можно сфокусировать, установив за решеткой собирающую линзу. Каждый пучок параллельных лучей соберется в задней фокальной плоскости линзы в определённой точке А. Параллельные лучи, соответствующие другим углам дифракции, соберутся в других точках фокальной плоскости линзы. В этих точках будет наблюдаться интерференция световых волн, исходящих от разных щелей решетки. Если оптическая разность хода между соответствующими лучами монохроматического света будет равна целому числу длин волн , κ = 0, ±1, ±2, …, то в точке наложения лучей будет наблюдаться максимум интенсивности света для данной длины волны, Из рисунка 1 видно, что оптическая разность хода Δ между двумя параллельными лучами, выходящими из соответствующих точек соседних щелей, равна

, (1)

где φ – угол отклонения луча решеткой.

Следовательно, условие возникновения главных интерференционных максимумов решетки или уравнение дифракционной решетки

, (2)

где λ – длина световой волны.

В фокальной плоскости линзы для лучей, не испытавших дифракции, наблюдается центральный белый максимум нулевого порядка (φ = 0, κ = 0), справа и слева от которого располагаются цветные максимумы (спектральные линии) первого, второго и последующих порядков (рис. 1). Интенсивность максимумов уменьшается с ростом их порядка, т.е. с увеличением угла дифракции.

Уравнение (1) позволяет рассчитать длину волны падающего света, если измерен угол дифракции φ, для данной спектральной линии, известны период дифракционной решетки d и порядок спектра k.

Зная период решетки, можно рассчитать число штрихов n, нанесенных на 1 мм ширины решетки:

. (3)

Одной из основных характеристик дифракционной решетки является её угловая дисперсия. Угловая дисперсия решетки определяет угловое расстояние dφ между направлениями для двух спектральных линий, отличающихся по длине волны на 1 нм ( = 1 нм), и характеризует степень растянутости спектра вблизи данной длины волны:

. (4)

Формула для расчета угловой дисперсии решетки может быть получена при дифференцировании уравнения (2) . Тогда

. (5)

Из формулы (5) следует, что угловая дисперсия решетки тем больше, чем больше порядок спектра.

Для решеток с разными периодами ширина спектра больше у решетки, характеризующейся меньшим периодом. Обычно в пределах одного порядка меняется незначительно (особенно для решеток с небольшим числом штрихов на миллиметр), поэтому дисперсия в пределах одного порядка почти не меняется. Спектр, полученный при постоянной дисперсии, растянут равномерно во всей области длин волн, что выгодно отличает спектр решетки от спектра, даваемого призмой.

Угловая дисперсия связана с линейной дисперсией . Линей­ную дисперсию можно также вычислить по формуле

, (6) где – линейное расстояние на экране или фотопластинке между спектральными линиями, f – фокусное расстояние линзы.

Дифракционная решетка также характеризуется разрешающей способностью. Этавеличина, характеризующая способность дифракционной решетки давать раздельное изображение двух близких спектральных линий

R = , (7)

где l – средняя длина волны разрешаемых спектральных линий; dl – разность длин волн двух соседних спектральных линий.

Зависимость разрешающей способности от числа щелей дифракционной решетки N определяется формулой

R = = kN, (8)

где k – порядок спектра.

Из уравнения для дифракционной решетки (1) можно сделать следующие выводы:

1. Дифракционная решетка будет давать заметную дифракцию (значительные углы дифракции) только в том случае, когда период решетки соизмерим с длиной световой волны, то есть d »l» 10 –4 см. Решетки с периодом меньше длины волны не дают дифракционных максимумов.

2. Положение главных максимумов дифракционной картины зависит от длины волны. Спектральные составляющие излучения немонохроматического пучка отклоняются решеткой на разные углы (дифракционный спектр). Это позволяет использовать дифракционную решетку в качестве спектрального прибора.

3. Максимальный порядок спектра, при нормальном падении света на дифракционную решетку, определяется соотношением:

Дифракционные решетки, используемые в различных областях спектра, отличаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем и частотой штрихов, что позволяет перекрыть область спектра от ультрафиолетовой его части (l » 100 нм) до инфракрасной (l » 1 мкм). Широко используются в спектральных приборах гравированные решетки (реплики), которые представляют собой отпечатки решеток на специальных пластмассах с последующим нанесением металлического отражательного слоя.

Дата добавления: 2015-06-10 ; просмотров: 10866 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Дифракционные решетки

Дифракционные решетки

Дифракционные решетки, пропускающие и отражательные, предназначены для пространственного деления электромагнитной волны в спектр. Когерентные пучки интерферируют, претерпевая дифракцию на периодической структуре. В пропускающих дифракционных решетках периодическая структура является множеством плотно расположенных узких щелей. При решении задачи о распределении интенсивности и записи ответа в виде функции, зависящей от длины волны и координаты на множестве щелей, получается общее выражение, которое справедливо для всех дифракционных решеток при θ_i = 0°:

(1)

Это выражение также называют уравнением дифракционной решетки. Оно означает, что дифракционная решетка с периодом a преломляет свет дискретно, прошедшие лучи составляют с нормалью угол дифракции θ_m в зависимости от значения mλ, m – номер главного максимума. При заданном порядке m различные длины волн излучения будут выходить из решетки под разными углами. Для белого света происходит разложение в непрерывный спектр, зависящий от угла.

Пропускающая решетка

Рисунок 1. Пропускающая решетка

Один из распространенных типов решеток – пропускающая решетка. Периодическая структура решеток создается путем вырезания или гравировки на прозрачной подложке параллельных штрихов. На такой поверхности свет может рассеиваться. Пример пропускающей решетки приведен на рис. 1.

Пропускающая решетка, показанная на рис. 1, обладает периодической структурой благодаря узким штрихам с периодом a. Падающий свет попадает на решетку под углом θ_i, который отсчитывается от нормали к поверхности. Свет порядка m выходит из решетки под углом θ_m, который также определяется от нормали. Используя некоторые геометрические соотношения и общее выражение для дифракционной решетки (1), для пропускающей дифракционной решетки получим:

(2)

где углы θ_i и θ_m положительны, если падающий и дифрагированный свет оказываются на противоположных сторонах нормали к поверхности решетки, как показано на рис. 1. Если эти лучи находятся на той же стороне нормали решетки, то углы следует считать отрицательными.

Отражательная решетка

Рисунок 2. Отражательная решетка

Другой распространенный тип решеток – отражательная решетка. Отражательные решетки получают путем нанесения металлического покрытия на подложку и формирования параллельных штрихов на полученной поверхности. Также существует технология производства из эпоксидных и/или пластиковых оттисков от контрольного шаблона. Во всех случаях свет отражается от поверхности с нанесенными штрихами под разными углами, которые соответствуют разным порядкам и длинам волн. Пример отражательной решетки показан на рис. 2. Используя геометрическую схему, аналогичную приведенной выше, получается уравнение отражательной решетки:

(3)

где угол θ_i – положительный и угол θ_m – отрицательный, если падающий и дифрагированный свет оказываются на противоположных сторонах нормали к поверхности решетки, как показано на рис. 2. Если эти лучи находятся на одной стороне нормали решетки, то оба угла следует считать положительными.

Оба типа решеток обладают одинаковым недостатком: нулевой порядок не подвергается дифракции и соответствует отражению или пропусканию поверхности. Решая уравнение (2) при условии, что θ_i = θ_m , находится единственное решение, при котором m = 0 независимо от длины волны или периода решетки. При этом условии никакой информации о длине волны, то есть весь свет или отражается от поверхности, или проходит сквозь нее.

Описанная проблема может быть решена с помощью особого рельефа, наносимого на поверхность вместе со штрихами. Дифракционные решетки такого типа называют рельефно-фазовыми. Их пример приведен на рис. 3.

Рельефно-фазовые (нарезные) решетки

Рисунок 3. Геометрия рельефно-фазовой решетки

Рисунок 4. Отражение нулевого порядка от рельефно-фазовой решетки

Рельефно-фазовые решетки (также известные как эшелетты) – особый вид отражательной или пропускающей дифракционной решетки, которые используют для достижения максимальной эффективности решетки в определенном порядке дифракции. Таким образом можно повысить мощность излучения при дифракции, минимизировав потери излучения других порядков (в частности нулевых). Благодаря своей конструкции, рельефно-фазовые решетки работают с определенной длиной волны, которую также называют длиной волны блеска.

Длина волны блеска – одна из основных характеристик рельефно-фазовых решеток. К таковым характеристикам также относятся другие два параметра, указанные на рис. 3: a – расстояние между гранями, γ – угол блеска (угол наклона грани штриха). Угол блеска может быть измерен от нормали к поверхности и от нормали к грани.

Геометрия концентрирующих решеток сходна с пропускающими и отражательными решетками. Углы падения θ_i и отражения θ_m максимумов порядка m отсчитываются от нормали к поверхности решетки. Существенное отличие заключается в том, что угол отражения зависит от угла блеска, но не от нормали поверхности решетки. Таким образом можно регулировать эффективность дифракции, изменяя только угол блеска дифракционной решетки.

Отражение нулевого порядка от рельефно-фазовой решетки показано на рис. 4. Падающий под углом θ_i луч отражается под углом θ_m при m = 0. Из уравнения (3) выводится единственное решение θ_i = – θ_m, что аналогично отражению от плоской поверхности.

Рисунок 5. Отражение света от грани рельефно-фазовой решетки

Рисунок 6. Нормальное падение света на рельефно-фазовую решетку

Отражение от рельефно-фазовой решетки отличается от отражения света в случае плоской поверхности за счет профиля штрихов, как видно из рис. 5. Зеркальное отражение от рельефно-фазовой решетки происходит из-за угла блеска. Этот угол считается отрицательным, если он находится на той же стороне нормали поверхности решетки, что и угол падения. Выполнив несколько простых геометрических преобразований, можно обнаружить следующее:

(4)

Рис. 6 иллюстрирует случай нулевого угла падения, при котором свет падает перпендикулярно поверхности решетки. В этом случае нулевой порядок отражения получается при 0 о . Используя уравнения (3) и (4), получаем уравнение решетки с удвоенным углом блеска:

(5)

Схема Литтроу

Рельефно-фазовые решетки с конфигурацией Литтроу широко применяются в монохроматорах и спектрометрах из-за особенности периодической структуры. Пусть при падении света под углом θ_i эффективность решетки максимальна. По схеме Литтроу угол падения равен углу дифрагированных лучей, вышедших из решетки, θ_i = θ_m, тогда для ненулевых порядков дифракции получим:

(6)

Рисунок 7. Схема Литтроу

Угол Литтроу θ_L отсчитывается от точки наибольшей интенсивности (m = 1), λ_D – рабочая длина волны, a – постоянная решетки. Легко увидеть, что угол в схеме Литтроу равен углу блеска для рабочей длины волны. Соответствующие сведения даны в таблицах спектральных характеристик решеток.

(7)

Также можно вывести, что увеличение углового разделения длины волны сопровождается ростом порядка дифракции для света с нормальным падением, то есть при нулевом угле падения θ_m растет так же, как порядок m. Существует два основных недостатка дифракционной картины более высокого порядка по сравнению с дифракционной картиной низкого порядка: во-первых, уменьшение эффективности дифракции более высоких порядков, во-вторых, уменьшение свободного спектрального диапазона, определяемого соотношением:

(8)

где λ – центральная длина волны, m – порядок.

Первая проблема, возникающая при наблюдении дифракционных картин высоких порядков, решается с помощью использования эшелеттов. Этот тип решеток обладает наибольшим углом блеска и относительно низкой плотностью штрихов, благодаря чему удается достичь достаточной концентрации энергии излучения при дифракции излучения высоких порядков. Второй недостаток компенсируют, добавляя в систему специальную дополнительную оптику: решетку, рассеивающую призму или иную оптику, обладающую рассеивающими свойствами.

Голографические решетки

Рисунок 8. Голографическая решетка

Рельефно-фазовые решетки обладают наибольшей эффективностью при использовании на рабочей длине волны. Однако на их работу серьезно влияют периодические ошибки – дублирование, большая доля рассеянного света. Все это негативно сказывается на измерениях, требующих высокой точности. Потому во многих экспериментах применяют голографические решетки, эффективность которых ниже, однако стабильность выше.

Голографические решетки в промышленном масштабе производят тем же способом, что и нарезные: копированием контрольного образца. Шаблон голографической решетки изготавливают методом фотолитографии: действием на светочувствительный материал двух интерферирующих лазерных пучков. При этом интерференционная картина экспонируется на поверхность в виде периодической структуры. Пример голографической решетки приведен на рис. 8.

Замечание: дисперсия зависит от числа штрихов на мм, но не от формы самих штрихов. Следовательно, уравнение решетки для расчета углов можно применять и в случае голографических решеток.

Факторы, которые необходимо учитывать при выборе дифракционной решетки:

1. Эффективность

Нарезные решетки демонстрируют более высокую производительность в сравнении с голографическими решетками, однако последние имеют более широкий рабочий диапазон. Обычно нарезные решетки применяют в исследованиях флуоресценции и в опытах, связанных с переизлучением.

2. Длина волны блеска

Нарезные решетки имеют пилообразный профиль, который получается вследствие нанесения штрихов на подложку. В результате пик интенсивности таких решеток достигается при излучении, близком к длине волны блеска. Голографические решетки имеют синусоидальный профиль, потому пик интенсивности достигается на рабочей длине волны. Нарезные решетки в основном применяются в приложениях с узким волновым диапазоном.

3. Светорассеяние

Из-за различия в способах нанесения штрихов голографические и нарезные решетки имеют разницу в светорассеянии. Промышленное нанесение штрихов нарезным способом повышает вероятность ошибок, а фотолитографический способ изготовления решеток более стабилен, в связи с чем голографические решетки имеют меньшее светорассеяние. Их применяют в рамановской спектроскопии.

4. Разрешающая способность

Разрешающая способность решетки – расстояние, на котором возможно различить две длины волны. Оно определяется согласно критерию Рэлея применительно к дифракционному максимуму. Две длины волны различимы, когда максимум одной длины волны совпадает с минимумом второй. Хроматическая разрешающая способность определяется из соотношения R = λ/Δλ = nN, где Δλ – разрешаемая разница длин волн, n – порядок дифракции, N – число подсвеченных штрихов. Благодаря низкой плотности штрихов эшеллеты имеют высокое разрешение.

Правила работы с дифракционными решетками

Поверхность дифракционных решеток легко повреждается отпечатками пальцев, аэрозолями, после контакта с влагой. Малейший контакт с абразивными частицами также приводит к неисправностям. Необходимо соблюдать строгие требования по эксплуатации: например, переносить решетку можно только держа за боковые стороны. Необходимы латексные перчатки или любые другие меры защиты рабочей поверхности от отпечатков пальцев. Контакт с растворителями также следует исключить. Не предпринимайте иных попыток чистить решетку, кроме сдувания пыли чистым, сухим воздухом или азотом. Незначительные дефекты на поверхности решетки обычно не влияют на производительность.

Компания INSCIENCE помогает своим заказчикам решать любые вопросы и потребности по продукции Thorlabs на территории РФ

Спектральные приборы. Дифракционная решетка

В состав видимого спектра света включены монохроматические волны с различными длинами. В излучении нагретых объектов (к примеру, нити лампы накаливания) длины волн беспрерывно заполняют весь диапазон видимого света. Данное излучение называют белым светом.

Свет, излучаемый, например, газоразрядными лампами или одним из множества других подобных им приборами, включает в свой состав отдельные монохроматические составляющие с некоторыми выделенными значениями длин волн.

Комплекс монохроматических компонент в излучении называется спектром.

Белый свет имеет непрерывный спектр, излучение источников, в которых он испускается атомами вещества, и дискретный спектр.

Спектральные приборы – это устройства, с помощью которых изучаются спектры излучения источников.

Для разложения излучения в спектр в простейшем спектральном приборе используется призма избраженная на картинке 3 . 10 . 1 .

Действие призмы базируется на таком явлении, как дисперсия, то есть на привязанности показателя преломления n вещества к длине волны света λ .

Рисунок 3 . 10 . 1 . Разложение излучения в спектр с помощью призмы.

Щель S , на которую падает рассматриваемое излучение, располагается в фокальной плоскости линзы Л 1 . Этот элемент прибора называется коллиматором.

Выходя из линзы, параллельный пучок света падает на призму P . По причине дисперсии, свет различных длин волн излучается из призмы под разнящимися углами. В фокальной плоскости линзы Л 2 устанавливают экран или фотопластинку, для фокусировки места излучения. Таким образом, в разных частях экрана появляется проекция входной щели S в свете различных длин волн.

У любого прозрачного твердого вещества (стекло, кварц), из которого изготавливаются призмы, показатель преломления n в диапазоне видимого света уменьшается с возрастанием длины волны λ , из-за чего призма наиболее сильно отклоняет, от их изначального направления, синие и фиолетовые лучи, а красные – наименее. Убывающая без ускорения зависимость n ( λ ) носит название нормальной дисперсии.

Первый опыт по разложению белого света в спектр осуществил известный физик И. Ньютон в 1672 году.

Дифракционные решетки

В спектральных приборах, относящихся к высокому классу точности, место призм занимают дифракционные решетки. Они представляют из себя периодические конструкции, которые гравируют, посредством использования особой делительной машины, на поверхности стеклянной или металлической пластинки (рис. 3 . 10 . 2 ).

У качественных решеток штрихи, параллельные друг другу, имеют длину около 10 с м , где на каждый миллиметр решетки приходится до 2000 штрихов. Причем, общая длина решетки может достигать 10 – 15 с м . Создание подобных решеток требует применения технологий самого высокого класса. Практически используются и более грубые версии решетки с 50 – 100 штрихами на миллиметр, которые нанесены на поверхность прозрачной пленки. В роли дифракционной решетки может применяться небольшая часть компакт-диска или даже осколок граммофонной пластинки.

Рисунок 3 . 10 . 2 . Дифракционная решетка.

Самый простой тип дифракционной решетки производится из прозрачных участков, то есть щелей, которые разделены непрозрачными промежутками. С помощью коллиматора, на решетку направляется параллельный пучок исследуемого света. Наблюдение проводится в фокальной плоскости линзы, установленной за плоскостью решетки (рис. 3 . 10 . 3 ).

Рисунок 3 . 10 . 3 . Дифракция света на решетке.

В каждой точке P на экране в фокальной плоскости линзы сходятся лучи, который до линзы являлись параллельными между собой и расходились под некоторым углом θ к направлению падающей волны.

Интерференция волн

Колебание в точке P представляют собой следствие интерференции вторичных волн, которые сходятся в эту точку от разных щелей.

Для того, чтобы в точке P прослеживался интерференционный максимум, разность хода Δ между волнами, который испускают соседние щели, должна быть эквивалентной целому числу длин волн:

∆ = d sin θ m = m λ ( m = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) .

Где d – это период дифракционной решетки, а m – целое число, носящее название порядка дифракционного максимума. В точках экрана, для которых это условие выполнено, расположены главные максимумы дифракционной картины.

В фокальной плоскости линзы, расстояние y m между максимумами нулевого порядка ( m = 0 ) и m -го порядка при сравнительно малых углах дифракции равняется:

где F – фокусное расстояние.

Также следует обратить внимание на то, что в каждой точке фокальной плоскости линзы, имеет место интерференция N волн, которые приходят в эту точку от N щелей решетки. Данный феномен является так называемой многоволновой или же «многолучевой» интерференцией.

Распространение световой энергии в плоскости наблюдения значительно отличается от того, которое выходит в обыкновенных «двухлучевых» интерференционных схемах. В главные максимумы все волны приходят в фазе, из-за чего амплитуда колебаний увеличивается в N раз, а интенсивность в N 2 раз, относительно колебания, которое провоцирует волна только от одной конкретной щели.

В условиях смещения из главных максимумов, стремительно теряется интенсивность колебаний. Для того, чтобы N волн погасили друг друга, значение разности фаз должно измениться на 2 π N , а не на π , как в случае интерференции двух волн.

На рис. 3 . 10 . 4 можно увидеть векторную диаграмму колебаний, возбуждаемых волнами от всех N щелей, если сдвиг фаз волн от соседних щелей равен 2 π N , а соответствующая разность хода равна отношению λ N .

Векторы, иллюстрирующие N колебаний, в данной ситуации формируют замкнутый многоугольник. Следовательно, при переходе из главного максимума в соседний минимум, разность хода Δ = d sin θ смениться на λ N . Исходя из данного условия, справедливым будет оценить угловую полуширину δ θ главных максимумов:

δ ∆ = δ ( d sin θ ) = d cos θ δ θ ≈ d · δ θ = λ N .

Здесь, дифракционные углы считаются достаточно малыми. Таким образом,

Где N d – это полный размер решетки. Данное выражение находится в полной симметрии с теорией дифракции в параллельных лучах. Согласно этой теории, дифракционная расходимость параллельного пучка лучей эквивалентна отношению длины волны λ к поперечному размеру препятствия.

Рисунок 3 . 10 . 4 . Сложение колебаний в максимуме и минимуме интерференционной картины: a – интерференция двух волн, b – интерференция N волн ( N = 8 ) .

Из описанного выше, можно сделать однозначный вывод: при дифракции света на решетке главные максимумы крайне узки. Рис. 3 . 10 . 5 иллюстрирует изменение остроты главных максимумов при возрастании количества щелей решетки.

Рисунок 3 . 10 . 5 . Распределение интенсивности при дифракции монохроматического света на решетках с различным числом щелей. I 0 – интенсивность колебаний при дифракции света на одной щели.

Исходя из формулы дифракционной решетки, мы можем заявить, что положение главных максимумов, кроме нулевого, зависит от длины волны λ . По этой причине решетка может разбивать излучение в спектр. Следовательно, она является спектральным прибором. В случае, если на решетку попадает не монохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции, а именно при каждом значении m , проявляется спектр исследуемого излучения.

Также стоит обратить внимание на то, что фиолетовая часть спектра расположена ближе к максимуму нулевого порядка. На рис. 3 . 10 . 6 для белого света проиллюстрированы спектры различных порядков. Максимум нулевого порядка остается неокрашенным.

Рисунок 3 . 10 . 6 . Разложение белого света в спектр с помощью дифракционной решетки.

Используя дифракционную решетку, мы получаем возможность производить крайне точные измерения длины волны. При условии, что период d решетки известен, нахождение искомой величины (длины) приводится к измерению угла θ m , соответствующего направлению на выбранной линии в спектре m-го порядка. На практике, чаще всего применяются спектры 1 -го или 2 -го порядков.

Решетка в любом спектральном порядке (кроме m = 0 ) имеет возможность отсоединить одну волну от другой в случае, если в спектре изучаемого излучения есть две спектральные линии, обладающие длинами волн λ 1 и λ 2 .

Разрешающая способность дифракционной решетки — это одна из основных ее характеристик. Ей характеризуется возможность разделения при использовании решетки двух близких спектральных линий с длинами волн λ и λ + Δ λ .

Спектральная разрешающая способность R является отношением длины волны λ к минимальному реальному значению Δ λ , то есть: R = λ ∆ λ

Волновая природа света

Волновая природа света определяет разрешающую способность спектральных приборов, в частности, дифракционной решетки, так же от нее зависит предельное разрешение различных оптических инструментов, которые создают изображение объектов, таких как телескоп, микроскоп и др.

Считается, что если главный максимум для длины волны λ + Δ λ отступает от главного максимума для длины волны λ не менее, чем на полуширину главного максимума, т. е. на δ θ = λ N d , то две ближайшие линии в спектре m-го порядка различимы. Вывод выше является критерием Релея, примененным к спектральному прибору.

Из формулы решетки следует:

d d · cos θ · ∆ θ = m ∆ λ или ∆ θ = m δ cos θ ∆ λ ≈ m d ∆ λ

Где Δ θ является угловым расстоянием между двумя главными максимумами в спектре m -го порядка для двух близких спектральных линий с разницей длин волн Δ λ . Для упрощения, углы дифракции предполагаются незначительно малыми ( cos θ ≈ 1 ) . Уравнивая Δ θ и δ θ , получаем оценку разрешающей силы решетки:

λ N d = m d ∆ λ или R = λ ∆ λ = m N .

Из описанного выше следует, что предельное разрешение дифракционной решетки может зависеть только от порядка спектра m и от количества периодов решетки N .

Пускай период решетки d = 10 – 3 м м , а ее длина L = 10 с м .

В таком случае, N = 10 5 .

Исходя из данных показателей, можно с уверенностью сказать, что это хорошая решетка. В спектре 2 -го порядка разрешающая способность решетки равна R = 2 · 10 5 . Это указывает на то, что минимально разрешенный диапазон длин волн в зеленой части спектра (т.е. при λ = 550 н м ) равен Δ λ = λ R ≈ 2 , 8 · 10 – 3 н м , а предельное разрешение решетки с d = 10 – 2 м и L = 2 с м было бы равным Δ λ = 1 , 4 · 10 – 1 н м .

Рисунок 3 . 10 . 7 . Модель дифракционной решетки.