Смысл задачи дирихле для уравнения пуассона

Численные методы решения уравнений эллиптического типа

Введение

Наиболее распространённым уравнением эллиптического типа является уравнение Пуассона.
К решению этого уравнения сводятся многие задачи математической физики, например задачи о стационарном распределении температуры в твердом теле, задачи диффузии, задачи о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов и многие другие.

Для решения эллиптических уравнений в случае нескольких измерений используют численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Точность решения определяется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера [1]

Цель публикации получить решение уравнения Пуассона для граничных условий Дирихле и Неймана, исследовать сходимость релаксационного метода решения на примерах.

Уравнение Пуассона относится к уравнениям эллиптического типа и в одномерном случае имеет вид [1]:

(1)

где x – координата; u(x) – искомая функция; A(x), f(x) – некоторые непрерывные функции координаты.

Решим одномерное уравнение Пуассона для случая А = 1, которое при этом принимает вид:

(2)

Зададим на отрезке [xmin, xmax] равномерную координатную сетку с шагом ∆х:

(3)

Граничные условия первого рода (условия Дирихле) для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде:

(4)

где х1, xn – координаты граничных точек области [xmin, xmax]; g1, g2 – некоторые
константы.

Граничные условия второго рода (условия Неймана) для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде:

(5)

Проводя дискретизацию граничных условий Дирихле на равномерной координатной сетке (3) с использованием метода конечных разностей, получим:

(6)

где u1, un – значения функции u(x) в точках x1, xn соответственно.

Проводя дискретизацию граничных условий Неймана на сетке (3), получим:

(7)

Проводя дискретизацию уравнения (2) для внутренних точек сетки, получим:

(8)

где ui, fi – значения функций u(x), f(x) в точке сетки с координатой xi.

Таким образом, в результате дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений размерностью n, содержащую n – 2 уравнения вида (8) для внутренних точек области и уравнения (6) и (7) для двух граничных точек [1].

Ниже приведен листинг на Python численного решения уравнения (2) с граничными условиями (4) – (5) на координатной сетке (3).

Разработанная мною на Python программа удобна для анализа граничных условий.Приведенный алгоритм решения на Python использует функцию Numpy — u=linalg.solve(a,b.T).T для решения системы алгебраических уравнений, что повышает быстродействие при квадратной матрице . Однако при росте числа измерений необходимо переходить к использованию трех диагональной матрицы решение для которой усложняется даже для очень простой задачи, вот нашёл на форуме такой пример:

Программа численного решения на равномерной по каждому направлению сетки задачи Дирихле для уравнения конвекции-диффузии

(9)

Используем аппроксимации центральными разностями для конвективного слагаемого и итерационный метод релаксации.для зависимость скорости сходимости от параметра релаксации при численном решении задачи с /(х) = 1 и 6(х) = 0,10. В сеточной задаче:

(10)

Представим матрицу А в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольных матриц:

(10)

Метод релаксации соответствует использованию итерационного метода:

(11)

При \ говорят о верхней релаксации, при — о нижней релаксации.

На графике показана зависимость числа итераций от параметра релаксации для уравнения Пуассона (b(х) = 0) и уравнения конвекции-диффузии (b(х) = 10). Для сеточного уравнения Пуассона оптимальное значении параметра релаксации находится аналитически, а итерационный метод сходиться при .

Приведено решение эллиптической задачи на Python с гибкой системой установки граничных условий
Показано что метод релаксации имеет оптимальный диапазон () параметра релаксации.

Ссылки:

Рындин Е.А. Методы решения задач математической физики. – Таганрог:
Изд-во ТРТУ, 2003. – 120 с.
Вабищевич П.Н.Численные методы: Вычислительный практикум. — М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2010. — 320 с.

Задача Дирихле для одномерного уравнения Пуассона. Аппроксимация. Счётная устойчивость. Алгоритм решения

Уравнение Пуасона описывает з-чи электростатики, теории упругости. -задача Дирихле для уравнение Пуасона. Рассмотрим задачу Дирихле для однородного уравнения Пуасона f(x)-некоторая ф-я источников погрешностей.

Если f — непрерывная на отрезке [0;1] функция и имеет непрерывные до 2 го порядка включительно производные, то существует единственное решение и оно .Для построения разностной схемы разобъем отрезок точками с постоянным шагом h=1/N. Введем разностный оператор A который во внутренних точках сетки задается выражением

Используя разнотную схему уравнение запишется в виде.

Если из предыдущ ур-нияя исключить граничные точки подстав. вместо них их значения, то получим сис-му. . Она имеет трехдиагональный вид. Решить ее можно методом 3-х диаг прогонки. Нетрудно установить что выполнение условия гарантирует устойчивость системы, а также и аппроксимацию.

Алгоритм решения: Аппроксимация : рассмотрим задачу в операторной форме (1). Наряду с (1) рассмотрим конечноразностную з-чу (2) где Ah-лин. конечноразностный оператор , зависящий от шага сетки h Будем говорить что задача (2) аппроксимирует задачу (1) с порядком h , на решении если существует полож. константы M1 что выполняется неравенство Если φ(x)єС 4 [0,1] то использ разлож в ряды Тейлора получим тогда получим

Это разн схема 2-ого пор аппроксимации.

Теорема:Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области имеет единственное решение. Разн схема устойчива если решении разн уравений непрерывно зависит от входных данных Рассмотр п-п максимума. Запишем схему в виде : 1. Схема равномерно устойчива по нач начальным данным если: 2. Устойчива по правой части, если . Наша схема(я в этом не совсем уверена) — выполн всегда -> безусловно устойчива

46. Одномерная задача Неймана. Аппроксимация, счётная устойчивость. Алгоритм решения.

— задача Неймана. Условие — является необходимым условием разрешимости задачи. Для получения разностной схемы второго прядка апроксиммации решения задачи удобно продолжить сетку на одну точку вправо и влево от области определения, при условии достаточной гладкости искомой ф-и.

Будет иметь дело со след сеткой x_k =kh k = -1,0 , 1 … N+1 ., h=1/N.В результате получим следующую разностную схему соответствующую задаче При такой апроксиммации можно использовать метод прогонки.Попытаемся исключить граничные условия. Разрешим граничные условия относительно и . Получим . Исключаем их потому что они являются заведомо ненужными членами в решении. Полученные значения подставим в разност у-ния. Получим:

Система имеет трехдиагональный вид. Решить ее можно методом 3-х диаг прогонки. Нетрудно установить что выполнение условия гарантирует устойчивость системы, а также и аппроксимацию.

Если φ(x)єС 4 [0,1] то использ разлож в ряды Тейлора получим тогда получим

Это разн схема 2-ого пор аппроксимации.

47.Электр-ий ток в полупроводниках.Электронно-дырочный переход и его св-ва.В атоме вещ-ва орбиты электронов группируются в электрон.оболочки.Эл-ны, вращающиеся вокруг ядра,стремятся занять оболочки,располож.наиболее близко к ядру,т.к.в равновесном состоянии суммарная энергия всех эл-нов д.б.мин-ой. Т.о.вокруг ядра образ-ся плотная«упаковка»из эл-нов,причем эл-ны внеш.оболочек связаны с атомным ядром значительно слабее,чем те,кот.находятся на внутрен. оболочках.Поэтому связи м/д атомами в в-ве образ-ся за счет эл-нов внеш. оболочек.При дополнительной энергии эл-ны внеш.оболочки теряют жесткую связь с определенным атомом и начинают свободно перемещаться в объеме.Они-свободные носители заряда.Свободная зона,на уровнях кот.при возбуждении могут находиться эл-ны,наз.зоной проводимости.Зона,ближайшая к зоне проводимости,наз. валентной.При изменении температуры происходит обмен между валентной зоной и зоной проводимости.В полупроводниковой технике используют 4-хвалентные германий и кремний-в-ва кристаллической структуры с ковалентными межатомными связями,при кот.каждый атом связан с соседними посредством 8-ми обобщенных эл-ов.Такая связь устойчива,но при разрывах ковалентных связей в полупроводнике появляются свободные носители заряда-эл-ны и дырки,кот.совершают хаотическое (тепловое)движ-е в кристалле.Появление дырок в полупроводнике и их перемещение в нем связаны с возбуждением валентных эл-ов,когда в результате поглощения энергии один из валентных эл-нов освобождается от связи с атомом,становясь подвижным носителем заряда.Процесс возникновения свободных носителей заряда-генерация.В процессе хаотического движ-я носители могут заполнять освободившиеся ранее связи,тогда происходит исчезновение 2-х носителей заряда-эл-на и дырки,их рекомбинация.В идеальном полупроводниковом кристалле эл-кий ток создается движ-ем равного кол-ва отрицательно заряженных эл-ов и положительно заряженных дырок-собственная проводимость полупроводника.Атомы примеси элемента V группы периодической системы Менделеева наз.донорами.Полупроводник с донорной примесью наз.электронным,или полупроводником п-типа.Полупроводники n- и р-типа наз.примесными,или легированными.Носители заряда,однотипные с примесным полупроводником,наз.основными,а неоднотипные-неосновными.В полупроводнике n-типа основными носителями явл-ся эл-ны,а неосновными-дырки,а в р-полупроводнике,наоборот.ПЕРЕХОД:В каждом полупроводнике подвижные носители заряда(эл-ны и дырки)совершают хаотическое движ-е,обусловленное их тепловой энергией.Неподвижные положительные и отрицательные примесные ионы обозначены знаками«+»и«-» соответственно,а дырки и эле-ны-теми же знаками в кружках.Оба образца нейтральны,т.е.подвижные и неподвижные заряды в них взаимно скомпенсированы.После приведения полупроводников в соприкосновение из-за значительного различия в концентрациях подвижных носителей заряда будет происходить диффузия эл-ов из n-области в р-область и дырок из р-области в n-область,т.е.наблюдаться диффузионный ток.Св-ва p-n-перехода:если к р-n-переходу приложено напряжение знаком+на обл.с эл-ной проводимостью,то эл-ны в n-полупроводнике и дырки в р-полупроводнике удаляются внеш.полем от запирающего слоя в разные стороны,увеличивая его толщину.Сопрот-ние р-n-перехода велико,сила тока мала и не зависит от напряжения.Этот способ включения диода наз.включением в запирающем или в обратном направлении.Обратный ток полупроводникового диода обусловлен собственной проводимостью полупроводниковых материалов,из кот.изготовлен диод,т.е.наличием небольшой концентрации свободных эл-нов в р-полупроводнике и дырок в n-полупроводнике.Если к р-n-переходу приложено напряжение знаком«+»на обл.с дырочной проводимостью и знаком«-»на обл.с электрон.проводимостью,то переходы основных носителей ч/з р-n-переход облегчаются.Двигаясь навстречу друг другу, основные носители входят в запирающий слой,уменьшют его удельное сопротивление.Сила тока ч/з диод ограничивается лишь сопротивлением внешней электр-ой цепи.Этот способ наз.включением в пропускном или в прямом направлении.

48. Особенности представления вещ-ых чисел на ЭВМ. Стандарт IEEE 754. Представление дробей, при к-ром положение двоичной запятой задается неявно в опред-ом месте машинного слова, наз. представлением с фиксированной запятой. Неудобство такого представления проявляется при реш-ии з-ч с величинами, кот. могут сильно изменяться в сторону как очень малых, так и очень больших чисел(Пр. , ). Выход из затруднения сост. в отказе от фиксир. располож. запятой. Если разрешить запятой «плавать» во всех числах, то для вып-я операций над ними в записи каждого числа должна быть инф-ия о месте расположения запятой. В тех случаях, когда эта инф-ия выражена в записи чисел явным образом, говорят о представлении чисел с плавающей запятой. Наиболее удобно, если инф-ия о положении запятой задается в экспоненциальной форме записи, т.е. число записыв. в виде произведения дроби со знаком (мантиссы) и основания сис-мы счисления, возведенного в степень с нек-рым показателем (порядком). Пр. или . Следует отметить ряд особенностей представления вещ-ых чисел в ЭВМ: 1) обл-ть знач-ий опред-ся по числу разрядов в экспоненте, а точность опред-тся по числу разрядов в мантиссе. Станд.форма записи: мантиссу записывают в виде правильной дроби, у кот. первая же цифра после запятой- значащая. Так , а . Такая форма экспоненциальной записи называется нормализованной. Изображение двоичного числа сост.: знаковый бит мантиссы, мантисса, порядок. Положение двоичной запятой в мантиссе неявно фиксируется слева от ее первой цифры. 2) Умножение -разрядных мантисс проще всего вып-ть в виде кратного цикла из операций сдвига и сложения с определением знака рез-та по хорошо изв. правилу знаков (для умножения и деления). Именно по этой причине мантиссу удобнее представлять не в дополнительном коде, а в представлении «знак-величина». 3) при вып. сложения и вычитания основную сложность составл.не собственно эти действия, а процедуры выравнивания. Как и в «ручных» опер-ях над числами в экспоненциальном представлении в первую очередь необх. произвести сравнение порядков. Если они различны, то мантисса операнда с меньшим порядком сдвигается вправо, а порядок увеличивается. Выравнивание произв. до тех пор, пока порядки обоих операндов не сравняются. После этого произв. сложение или вычитание мантисс. Рассм. пример, в кот. для хранения числа исп. 1 байт. Условимся считать старший бит знаковым. Далее разделим оставшиеся биты байта на две группы, или поля, а именно: поле порядка числаи поле мантиссы.Следующие 3 бита после знакового бита будем считать полем порядка числа, а оставшиеся 4 бита полем мантисы, т.е.

Пр1. Пусть байт сод. битовую комбинацию 01101011. При разложении этой комбинации по элементам описанного выше формата получим: знаковый бит =0, поле порядка числа= 110, а поле мантиссы = 1011. Для расшифровки представленного в этом байте знач-я, выделим мантиссу и поместим плавающую точку слева от нее: .1011 Далее выделим знач-е в поле порядка числа (110)и интерпретируем его как целое трехразрядное число, записанное в двоичной нотации с избытком 4. Т.о., в поле порядка числа закодировано целое число 2. Это означает, что плавающую точку в получ. ранее знач-ии след. переместить на 2 бита вправо (при отрицательном порядке перемещ. влево), после чего будет получ. окончательный результат: 10,11. Это знач-е явл. двоичным представлением числа 2 3 /₄. Наконец, определяем, что представляемое число явл. положительным, т.к. знаковый бит им. значение 0.В итоге мы показали, что битовая комбинация 01101011 в двоичной нотации с плавающей точкой представл. число 2 3 /₄. Особенности арифметики чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей точкой можно исп. для моделирования сис-мы действит. чисел в матем-ке, хотя есть нек-ые различия чисел с плавающей запятой от действит. чисел:

На рисунке представлена ось действит. чисел, для представления кот. исп.1 байт

1-ое отличие: числа с плавающей точкой нельзя исп. для записи чисел из областей 1, 3, 5 и 7. Если в рез-те арифметич. операции получ. число из области 1 или 7, то произойдет ошибкапереполнения и рез-т будет неверным. Причина – ограничение обл. знач-й чисел в данном представлении. Точно так же нельзя выразить рез-т из области 3 или 5- ошибка из-за потери значимости. 2-ое отличие: их плотность. Между любыми 2 действит. числами х и у существует другое действит. число незав. от того, насколько близко к у расположен х. Действит. числа формируют континуум. Числа с плавающей точкой –нет. В рассм. выше сис-ме представления можно выразить лишь конечное кол-во действит. чисел. Если полученное число нельзя выразить в используемой сис-ме представления, нужно брать ближайшее число, кот. представимо в этой системе. Такой процесс наз округлением.

В конце 70-х годов был принят стандарт IEEE 754 представления чисел с плавающей запятой(ранее каждый производитель им. свой собственный формат). Стандарт определяет 3 формата: с одинарной точностью (32 бита), с удвоенной точностью (64 бита) и с повышенной точностью (80 битов). Традиционные проблемы, связ. с числами с плавающей точкой, – что делать с переполнением, потерей значимости и неинициализированными числами. Проблема возникает в том случае, если абсолютное значение (модуль) рез-та Interface Implementation Begin End

Имя модуля должно совпадать с именем файла, в котором он содержится. Результат компиляции модуля помещается в файл с тем же именем и расширением .tpu. Секция реализации содержит описание подпрограмм, объявленных в интерфейсной секции, и описание внутренних ресурсов модуля (локальных переменных, типов, подпрограмм). Обращение к этим ресурсам возможно только из подпрограмм, описанных в том же модуле. Секция инициализации содержит операторы, которые выполняют следующие действия, необходимые для нормальной работы процедур модуля (например откр файла, иниц. переменных). Операторы секции инициализации выполняются один раз (при подключении модуля) до начала выполнения основной программы. Эта секция в модуле может отсутствовать.

Программа, которая использует ресурсы нескольких модулей, должна в области описаний содержать спецификацию используемых модулей: Uses , , В спецификации Uses необходимо указывать только те модули, ресурсы которых данная программная единица (программа или модуль) использует непосредственно. Если подключаемый модуль использует другие модули, то их подключение уже описано в нем. Секции инициализации подсоединяемых модулей выполняются в порядке их подключения. Вместе с системой программирования на Borland Pascal поставляются следующие библиотеки: System – основная библиотека – содержит описание всех стандартных процедур и функций, таких, как математические функции, функции преобразований. Graph – библиотека управления экраном в графическом режиме

Библиотека — сборник подпрограмм или объектов, используемых для разработкипрограммного обеспечения (ПО). библиотеки разделяются на динамические и статические. Динамическая -Часть основной программы, которая загружается в ОС по запросу работающей программы в ходе её выполнения. Один и тот же набор функций (подпрограмм) может быть использован сразу в нескольких работающих программах, из-за чего они имеют ещё одно название — библиотеки общего При написании программы программисту достаточно указать компилятору, что следует подключить нужную библиотеку и использовать функцию из неё. Ни исходный текст, ни исполняемый код функции в состав программы на данном этапе не входит.

Статическая -Могут быть в виде исходного текста, подключаемого программистом к своей программе на этапе написания, либо в виде объектных файлов, присоединяемых исполняемой программе на этапе компиляции (расширение .lib). В результате программа включает в себя все необходимые функции, что делает её автономной, но увеличивает размер.

51.Разработка приложений, поддерживающих графический интерфейс Ключевым средством взаимодействия пользователя с компьютером является графический пользовательский интерфейс (GUI) При работе с GUI пользователь имеет произвольный доступ (с помощью клавиатуры) ко всем видимым экранным объектам. Впервые графический интерфейс пользователя был реализован в операционных системах персональных компьютеров, но сейчас элементы GUI стали неотъемлемой частью даже простых приборов. Графический интерфейс пользователя — разновидность пользовательского интерфейса, в котором элементы интерфейса , представленные пользователю на дисплее, исполнены в виде графических изображений. В отличие от интерфейса командной строки, в ГИ пользователь имеет произвольный доступ (с помощью устройств ввода — клавиатуры, мыши, джойстика и т. п.) ко всем видимым экранным объектам (элементам интерфейса) и осуществляет непосредственное манипулирование ими. Чаще всего элементы интерфейса в ГИ реализованы на основе метафор и отображают их назначение и свойства, что облегчает понимание и освоение программ неподготовленными пользователями. Основная черта любой программы с графическим интерфейсом — интерактивность. Программа не просто что-то считает (в пакетном режиме) от начала своего запуска до конца: ее действия зависят от вмешательства пользователя. Фактически, графическое приложение выполняет бесконечный цикл обработки событий. Программа, реализующая графический интерфейс, событийно-ориентирована. Она ждет от интерфейса событий, которые и обрабатывает сообразно своему внутреннему состоянию. Эти события возникают в элементах графического интерфейса и обрабатываются прикрепленными к ним обработчиками.

Инструментарий для разработки пользовательского интерфейса, как правило, включает в себя библиотеку примитивов компонентов интерфейса (меню, кнопки, полосы прокрутки и др.) и предназначен для использования программистами. Специализированные средства для разработки интерфейса позволяют упростить разработку пользовательского интерфейса, предлагая разработчику специфицировать компоненты пользовательского интерфейса с использованием языков спецификаций.

Диалоговые окна могут содержать следующие элементы управления: закладки,Кнопка,Надпись,Поле ввода текста. Элементы могут быть видимыми и не видимыми: таймер, цветовая панель. Рассмотрим на примере кнопки. Кнопки являются элементами управления и служат для выдачи команд на выполнение определенных функциональных действий, поэтому часто их еще называют командными кнопками. На поверхности кнопки могут располагаться текст и/или графическое изображение.В системе современного графического интерфейса имеется возможность отслеживать различные события, связанные с клавиатурой и мышью, и происходящие на «территории» того или иного виджета: OnClick. Также компоненты имеют свойства: Простые свойства — это те, значения которых являются числами или строками. Например, свойства Left иTop принимают целые значения, определяющие положение левого верхнего угла компонента или формы. Свойства Caption и Name представляют собой строки и определяют заголовок и имя компонента или формы. Перечислимые свойства — это те, которые могут принимать значения из предопределенного набора (списка). Простейший пример — это свойство типа Boolean, которое может принимать значения True или False. Вложенные свойства — это те, которые поддерживают вложенные значения (или объекты). Наиболее распространенным примером такого свойства является свойство Style с вложенным множеством булевых значений. Некоторые свойства, например, Font, для изменения своих значений имеют возможность вызвать диалоговое окно.

52. Арифметические основы обработки информации.Электронные вычислительные машины выполняют арифметические и логические операции, при этом исп. 2 класса переменных: числа и логические переменные.Числанесут инф-цию о кол-ных характеристиках сис-мы; над ними производятся арифметические действия.Логические переменныеопределяют состояние сис-мы или принадлежность её к определённому классу состояний (коммутация каналов, управление работой ЭВМ по программе ит.п.).Логические переменные могут принимать только два значения:истина и ложь. В устройствах цифровой обработки инфо-ции этим двум значениям переменных ставится в соотв. два уровня напряжения: высокий— (логическая «1») и низкий — (логический «0»). Однако в эти значения не вкладывается смысл кол-ва.Эл-ты, осуществляющие простейшие операции над такими двоичными сигналами, наз. логическими. На основе логических элементов разрабатываются устройства, выполняющие и арифметические, и логические операции.

В настоящее время в обыденной жизни для кодирования числовой инф-ции исп. десятичная сис-ма счисления с основанием 10, в кот. исп. 10 эл-тов обозначения: числа 0, 1, 2, … 8, 9. В первом (младшем) разряде указывается число единиц, во втором — десятков, в третьем — сотен и т.д.; иными словами, в каждом следующем разряде вес разрядного коэффициента увеличивается в 10 раз.

В цифровых устройствах обработки инф-ции исп. двоичная сис-ма счисления с основанием 2, в кот. исп. два эл-та обозначения: 0 и 1. Веса разрядов слева направо от младших разрядов к старшим увеличиваются в 2 раза, т.е. им. такую послед-сть: 8421. В общем виде эта послед-сть имеет вид:…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 и исп. для перевода двоичного числа в десятичное. Напр., двоичное число 101011 эквивалентно десятичному числу 43:2 5 ·1+2 4 ·0+2 3 ·1+2 2 ·0+2 1 ·1+2 0 ·1=43

В цифровых устройствах исп. специальные термины для обозначения различных по объёму единиц инф-ции: бит, байт, килобайт, мегабайт и т.д.Битили двоичный разрядопределяет значение одного какого-либо знака в двоичном числе. Например, двоичное число 101 имеет три бита или три разряда. Крайний справа разряд, с наименьшим весом, называется младшим, а крайний слева, с наибольшим весом, — старшим. Байт определяет 8-разрядную единицу инф-цию, 1 байт=23 бит, напр., 10110011 или 01010111 и т.д., 1 кбайт = 2 10 байт, 1 Мбайт = 2 10 кбайт = 2 20 байт.

Для представления многоразрядных чисел в двоичной системе счисления требуется большое число двоичных разрядов. Запись облегчается, если использовать шестнадцатеричную систему счисления.

Основанием шестнадцатеричной системысчисления явл. число 16=2 4 , в кот.исп. 16 элементов обозначения: числа от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F. Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное достаточно двоичное число разделить на четырёхбитовые группы: целую часть справа налево, дробную — слева направо от запятой. Крайние группы могут быть неполными.

Каждая двоичная группа представляется соотв. шестнадцатеричным символом (таблица 1). Напр., двоичное число 0101110000111001 в шестнадцатеричной системе выражается числом 5C39.

Пользователю наиболее удобна десятичная сис-ма счисления. Поэтому многие цифровые устройства, работая с двоичными числами, осущ. приём и выдачу пользователю десятичных чисел. При этом применяется двоично-десятичный код.

Двоично-десятичный кодобразуется заменой каждой десятичной цифры числа четырёхразрядным двоичным представлением этой цифры в двоичном коде. Напр., число 15 представляется как 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). При этом в каждом байте располагаются две десятичные цифры. Заметим, что двоично-десятичный код при таком преобразовании не явл. двоичным числом, эквивалентным десятичному числу.

источники:

http://lektsii.org/3-32959.html