Собери алгоритм решения системы уравнений методом алгебраического сложения

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Решение системы линейных уравнений методом алгебраического сложения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение систем методом алгебраического сложения
Алгебра 7 класс

Повторение
Не выполняя построений определить соответствие между системой и графиком
1. 𝑥+4𝑦=7 𝑥+4𝑦=2
4. 3𝑥−2𝑦−1=0 6𝑥−4𝑦−2=0
3. 𝑦=−5𝑥 𝑦=2𝑥+3
2. 𝑦=−2𝑥+3 𝑦=3𝑥−5
А
Г
В
Б

Повторение
Доказать, что системы имеют бесконечное число решений
2𝑥−4𝑦=6 𝑥−𝑦=3
3𝑥+2𝑦=1 1,5𝑥+𝑦=0,5
1 4 𝑥− 3 4 𝑦=3 𝑥−𝑦=12
Выполнить действия с многочленами

2x + 3y – 1 + (3x – 3y + 4) =

7x – 2y + 5 – (7x – 5y + 7) =

Методы решения систем
Графический способ
Метод подстановки
Метод алгебраического сложения

Пример 1
Решим систему методом алгебраического сложения.
3𝑥−𝑦−5=0 2𝑥+𝑦−7=0
Сложить уравнения- это значит составить по отдельности сумму левой и правой части уравнений
+
(3x – y – 5) + (2x + y – 7)= 0 + 0
3x – y – 5 + 2x + y – 7 = 0 + 0
3x + 2x – y + y – 5 – 7 = 0
5x – 12 = 0
𝑥= 12 5
x = 2,4
𝑥=2,4 3∙2,4−𝑦−5=0
3∙2,4−𝑦−5=0
7,2−𝑦=5
-y = 5 — 7,2
y = 2,2
𝑥=2,4 𝑦=2,2
Ответ: (2,4; 2,2)
Можно складывать уравнения почленно.

Массаж для глаз

Алгоритм решения системы методом алгебраического сложения
1. Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.
2. Сложить почленно левые и правые части уравнений системы.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4. Найти соответствующее значение второй переменной.
5. Записать ответ.

См. учебник, стр.217

Подведем итоги
+ мне все было понятно
? у меня есть вопрос
— ничего не понимаю, нужна консультация

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 391 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

44. Способ сложения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 23.10.2021
• 128
• 0

• 23.10.2021
• 181
• 1

• 22.10.2021
• 144
• 0

• 22.10.2021
• 99
• 1

• 22.10.2021
• 74
• 1

• 22.10.2021
• 146
• 5

• 22.10.2021
• 149
• 15

• 22.10.2021
• 174
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 23.10.2021 256
• PPTX 1.2 мбайт
• 2 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Карташова Валентина Ратиборовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 10 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 3701
• Всего материалов: 12

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Решение системы линейных уравнений методом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения

1. Умножить обе части одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (или равными) числами.
2. Сложить (или отнять) уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных.
3. Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
4. Решить полученное уравнение с одной переменной.
5. Найти вторую переменную.
6. Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.

Умножаем первое уравнение на 2

Отнимаем от первого уравнения второе:

Находим y из первого уравнения:

В последовательной записи:

$$ <\left\< \begin 3x+y = 5 | \times 2 \\ x+2y = 5 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 6x+2y = 10 \\ x+2y = 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x = 5 \\ x+2y = 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1 \\ y = 5-3x = 2 \end \right.> $$

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:

$ а) <\left\< \begin 5x-4y = 3 | \times 2 \\ 2x-3y = 4 | \times 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 10x-8y = 6 \\ 10x-15y = 20 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = -14 \\ 2x-3y = 4 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = \frac<3y+4> <2>= -1 \\ y=-2 \end \right.> $

$ б) <\left\< \begin 4x-3y = 7 | \times 3 \\ 3x-4y = 0 | \times 4 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 12x-9y = 21 \\ 12x-16y = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 21 \\ x = \frac<4> <3>y \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 4 \\ y = 3 \end \right.> $

$ в) <\left\< \begin 5a-4b = 9 | \times 2 \\ 2a+3b = -1 | \times 5 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 10a-8b = 18 \\ 10a+15b = -5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin -23b = 23 \\ a = \frac<-3b-1> <2>\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 1 \\ b = -1 \end \right.> $

$ г) <\left\< \begin 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 | \times (-2) \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7a+4b = 5 \\ -6a-4b = -2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 3 \\ b = \frac<1-3a> <2>\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 3 \\ b = -4 \end \right.>$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$$а) <\left\< \begin \frac<4>-y = 7 \\ 3x+ \frac <2>= 9 | \times 2\end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin \frac <4>-y = 7 \\ 6x+y = 18 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 6 \frac<1> <4>x = 25 \\ y = 18-6x\end \right.> \Rightarrow $$

$$\Rightarrow <\left\< \begin x = 25: \frac<25> <4>= 25 \cdot \frac<4> <25>= 4 \\ y = 18-6 \cdot 4 = -6 \end \right.> $$

$ в) <\left\< \begin 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \\ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 15x-3y+14 = 5x+5y \\ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 \end \right.> \Rightarrow $

$ г) <\left\< \begin 5-3(2x+7y) = x+y-52 \\ 4+3(7x+2y) = 23x \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5-6x-21y = x+y-52 \\ 4+21x+6y = 23x \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ 2x-6y = 4 |:2 \end \right.>$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ x-3y = 2 | \times 7 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 7x+22y = 57 \\ 7x-21y = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 43y = 43 \\ x = 3y+2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 5 \\ y = 1 \end \right.>$$

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

Введём новые переменные: $ <\left\< \begin a = \frac<1> \\ b = \frac<1> \end \right.> $

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ <\left\< \begin2a+3b = 1| \times 3 \\ 3a-5b = 11 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 6a+9b = 3 \\ 6a-10b = 22 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 19b = -19 \\ a = \frac<1-3b> <2>\end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 2 \\ b = -1 \end \right.> $$