Соболев с к дифференциальные уравнения

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения 2

В обычной школьной математике школьники привыкли, что в задачах и уравнениях, к которым эти задачи сводятся, неизвестными являются одно или несколько чисел, т.е.

постоянных величин. Однако с развитием математики и более глубоким осознанием возникающих проблем, которые можно было решить, применяя математику, стали появляться задачи, в которых неизвестными являются не постоянные величины, а переменные, т.е. функции. Уравнения, содержащие неизвестную функцию, которую надо найти, называются функциональными. Большой класс функциональных уравнений связывает между собой аргумент, искомую функцию и её производную. Как правило, аргументом является время. Например, при прямолинейном движении точки уравнение F (t, x, v, a ) = 0 связывает координату x (t ) точки, её скорость v (t ) = dx и ускорение dt a (t ) = dv = d 2 в любой момент времени t, что может быть записано в виде x dt dt F t, x, dx, d 2 = 0. Уравнение, связывающие аргумент, искомую функцию и её одну x dt dt или несколько первых производных, называется дифференциальным уравнением.

Оказывается, дифференциальными уравнениями связаны между собой многие физические величины, например, величина заряда на конденсаторе, электрический ток и скорость его изменения в замкнутом контуре. Дифференциальными уравнениями описываются многие процессы в технике, химии, экономике, биологии, психологии и т.д.

Дифференциальное уравнение, в котором, кроме аргумента и искомой функции входят производные искомой функции вплоть до п-го порядка, называется дифференциальным уравнением п-го порядка. Если дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию одного аргумента, то оно называется обыкновенным. А если неизвестная функция зависит от двух или большего числа аргументов и в уравнение входят частные производные этой функции, то тогда оно называется дифференциальным уравнением с частными производными. В настоящем пособии рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет бесконечное число решений, зависящих от п произвольных констант. Чтобы найти значения этих констант, надо еще задать дополнительные начальные условия.

В настоящем пособии разбираются методы решения дифференциальных уравнений, в основном, первого и второго порядка. Подробно разбираются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов. Данное пособие будет полезно студентам экономических и технических специальностей.

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

1.1. Введение в дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка имеет вид F ( x, y, y ) = 0, где х – dy аргумент, y = y ( x ) – неизвестная функция (которую надо найти), y = – её dx производная. Его решение надо начать с того, что привести его в виду:

dy y = f ( x, y ) = f ( x, y ), где f ( x, y ) – известная функция.

dx Дифференциальное уравнение имеет бесконечное число различных решений. Каждое из таких решений называется частным решением. Совокупность всех частных решений называется общим решением дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную константу С, т.е. имеет вид y = ( x, C ) ; это значит, что при любом значении C = C0 функция y ( x, C0 ) является решением, и любое частное решение можно найти из общего, подобрав соответствующее значение константы С. Если задано дополнительное начальное условие:

y ( x0 ) = y0, то, как привило, можно найти единственное частное решение, удовлетворяющее ему.

Дифференциальное уравнение вида y = f ( x, y ) с начальным условием y ( x0 ) = y называется задачей Коши. Решение дифференциального уравнения может быть получено как в явном виде y = y ( x ) (у выражено через х), так и в неявном, т.е. в виде G ( x, y ) = (когда не удается явно выразить у через х). В последнем случае решение дифференциального уравнения называется интегралом этого ДУ.

Теорема Коши. Если в некоторой (двумерной) окрестности1 точки M 0 ( x0 ; y0 ) f ( x, y ) функция f ( x, y ) и её частная производная по у непрерывны, то найдется такая y (одномерная) окрестность точки x0 в которой решение задачи Коши y = f ( x, y ), y ( x0 ) = y0, существует и единственно.

1.2. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка вида Мы будем классифицировать эти уравнения в зависимости от вида функции f ( x, y ).

1) f ( x, y ) = g ( x ) h( y ) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид Окрестность точки M 0 на плоскости – это внутренность круга или квадрата с центром в данной точке M 0.

Метод решения: разделить переменные (т.е. отделить их друг от друга), а затем проинтегрировать:

( xy ) – дифференциальное уравнение с однородной2 правой частью, т.е.

данное дифференциальное уравнение имеет вид:

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u( x ) :

Интегрируя, находим функцию u( x ), а затем и y ( x ) = x u( x ).

3) f ( x, y ) = A( x ) y + B ( x ) (где A( x ) и B( x ) – некоторые известные функции) – линейное дифференциальное уравнение, т.е. вида y = A( x ) y + B( x ).

Метод решения: существуют два метода решения этого уравнения, которые различаются лишь обозначениями.

Первый метод (метод Бернулли): Решение линейного дифференциального уравнения y = A( x ) y + B( x ) ищут в виде произведения двух функций y = u ( x ) v( x ), которые находят по формулам:

Обоснование: пусть y = u( x ) v ( x ), тогда y = u v + u v, подставим в ДУ (*), получим Мы имеем одно дифференциальное уравнение с двумя неизвестными функциями u( x ) и v ( x ). Однозначно эти функции найти нельзя. Добавим еще одно условие, а именно, положим равной нулю выражение в скобках в последнем уравнении. Получим систему однородная функция порядка k– функция нескольких переменных f ( x1, x2. xn ), для которой выполняется равенство f ( x1, x2. xn ) = f ( x1, x2. xn ) для любого R. Однородная функция f ( x1, x2. xn ) = f ( x1, x2. xn ). Однородная функция двух переменных f ( x, y ) зависит только от отношения переменных, т.е. имеет вид f ( x, y ) = дифференциальных уравнений:

Возьмем частное решение первого уравнения u ( x ) = e Второй способ решения линейного ДУ y = A( x ) y + B( x ) :

(метод Лагранжа вариации постоянной).

Сначала решим соответствующее линейное однородное ДУ Решив это уравнение, получим его общее решение y = C y1 ( x ), где y1 ( x ) = e Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения y = A( x ) y + B( x ) будем искать в виде y = C ( x ) y1 ( x ), где функцию C ( x ) надо найти.

Найдем производную y = C ( x ) y1 ( x ) + C ( x ) y1 ( x ) и подставим её в неоднородное ДУ Поскольку y1 A( x ) y1 C ( x ) y1 C ( x ) A( x ) y1, получим такое уравнение:

находим C ( x ) (при этом возникает настоящая произвольная постоянная).

Понятно, что эти два метода различаются лишь обозначениями:

– дифференциальное уравнение типа Бернулли, т.е. это ДУ вида Для этого ДУ также существуют два метода решения: метод Бернулли и метод сведения к линейному ДУ.

Первый метод: метод Бернулли.

пусть Опять положим равной нулю выражение в скобках в последнем уравнении. Получим систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

Из первого уравнения находим функцию u ( x ) (без произвольной константы), а из второго – функцию v ( x ) (с произвольной константой С).

Второй метод решения дифференциального уравнения Бернулли: сведение его к линейному ДУ.

Умножим обе части уравнения Бернулли на (1 ) y, введем новую переменную z = y1, тогда z x = (1 ) y y и получится линейное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции z( x ) :

Решая это линейное ДУ методом Бернулли или (что почти одно и тоже) методом Лагранжа, находим функцию z( x ), а затем и y ( x ) = z1.

5) если дифференциальное уравнение первого порядка из этих четырех видов, надо его «перевернуть», т.е. записать в виде.

При этом часто получается линейное ДУ или ДУ типа Бернулли относительно неизвестной функции x( y ), которые решаем вышеописанными способами с тем исключением, что во всех формулах х и у меняются местами.

А именно, решение дифференциального уравнения (1) ищется в виде x = u ( y ) v( y ), где а дифференциальное уравнение (2) сводится к линейному ДУ умножением обеих частей на (1 )x и введением новой переменной z = x1, получится z = A1 ( y ) z + B1 ( y ).

6) Если дифференциальное уравнение имеет вид P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0, то его надо сначала привести к виду один из вышеописанных методов. Если оно не является дифференциальным уравнением ни одного из вышеуказанных четырех видов, то надо проверить, не является ли выражение P( x, y )dx + Q ( x, y )dy полным дифференциалом некоторой функции U ( x, y ), т.е. проверить, существует ли такая функция U ( x, y ), что U P ( x, y ), U Q ( x, y ) во всех точках области, в которой ищется решение данного дифференциального уравнения. Как известно из курса дифференциального исчисления функций нескольких переменных, если область односвязна, такая функция U ( x, y ) существует тогда и только тогда, когда и во всех точках этой области выполняется условие Если это условие выполнено, то данное ДУ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Чтобы его решить, надо найти функцию U ( x, y ) :

Для нахождения функции C ( y ) надо найти U = F + C и приравнять функции Q ( x, y ).

Если требуемая функция U ( x, y ) найдена, то общее решение данного ДУ имеет вид 1.3. Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:

Решение. (а) Запишем данное ДУ в виде Правая часть этого ДУ имеет вид произведения двух функций: одной, зависящей только от х, и другой, зависящей только от у, т.е. это ДУ с разделяющимися переменными.

Разделяем их (т.е. отделяем их друг от друга) и интегрируем:

Отсюда (б) Запишем данное ДУ в виде Это ДУ с однородной правой частью, т.к. его правая часть зависит только от dx 1 + y Получили ДУ с разделяющимися переменными, решим его:

Это линейное ДУ, т.к. оно имеет вид y = A( x ) y + B( x ), где A( x ) = 1, B( x ) = 2ln x + 1.

Решение ищем в виде y = u( x ) v ( x ), где (г) Дифференциальное уравнение не принадлежит ни к одному из известных нам типов, поэтому попробуем «перевернуть» его, получим:

ДУ относительно неизвестной функции x( y ), A( y ) = 1, B( y ) = y 3, его решение ищем в поэтому общее решение есть x = y (C 1 y 3 ) = Cy 1 y 4.

(д) Если записать данное ДУ в виде Это дифференциальное уравнение не принадлежит ни к одному из первых четырех типов.

Поэтому проверим, не является ли исходное ДУ уравнением в полных дифференциалах. Здесь Следовательно, левая часть данного дифференциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U ( x, y ) и Найдем функцию U ( x, y ) :

Следовательно, C ( y ) = 2cos 2 y C ( y ) = sin 2 y.

Окончательно, U ( x, y ) = x 3 + 2 x y 2 + sin 2 y, и решение нашего ДУ имеет вид Ответы: (а) y = C Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию:

Решение. (а) Сделаем замену z = 4 x + y + 1, тогда z = 4 + y y = z 4, подставим в исходное ДУ, получим ДУ с разделяющимися переменными:

Подставим начальное условие ( x = 0, y = 1) и определим значение константы С:

(б) Запишем данное ДУ в виде y = f ( x, y ) :

Это ДУ типа Бернулли с показателем = 3. Умножим обе части этого ДУ на ДУ относительно неизвестной функции z( x ) :

Подставляем начальное условие ( x = 1, y = 1 2 ), получаем знак «плюс» и C = 3.

Окончательно y = 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию:

3. Найти общее решение дифференциального уравнения:

4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию:

2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид F ( x, y, y, y ) = 0, где y = y ( x ) – неизвестная функция, которую надо найти. Общее решение такого ДУ зависит от двух произвольных констант С1 и С2, значения которых можно найти, если заданы начальные условия: значение искомой функции и её производной в некоторой точке:

y ( x0 ) = y0, y ( x0 ) = y1, получится частное решение. Дифференциальное уравнение вида y = f ( x, y, y ), где f – известная функция трех переменных, вместе с начальными условиями называется задачей Коши.

Теорема Коши. Если в некоторой (трехмерной) окрестности3 точки M 0 ( x0 ; y0 ; y1 ) функция f ( x, y, y) и её частные производные и непрерывны, то найдется такая (одномерная) окрестность точки x0, в которой решение задачи Коши y = f ( x, y, y ), y ( x0 ) = y0, y ( x0 ) = y1, существует и единственно.

Дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид F ( x, y, y, y. y ( n ) ) = 0, где y = y ( x ) – неизвестная функция. Общее решение такого ДУ зависит от п произвольных констант C1, C2. Cn, значения которых можно найти, если заданы начальные условия:

значение искомой функции и её производных порядка от 1 до (n 1) включительно в некоторой точке: y ( x0 ) = y0, y ( x0 ) = y1. y ( n 1) ( x0 ) = yn 1, получится частное решение.

2.2. Методы понижения порядка ДУ второго и высших порядков.

1) Простейшее дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид y ( n ) = f ( x ), где f ( x ) – известная функция. Решение такого дифференциального уравнения находится пкратным последовательным интегрированием функции f ( x ), при каждом интегрировании возникает аддитивная постоянная.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения y = sin 2 x.

Решение. Последовательно находим:

Общее решение содержит три произвольные константы ( C1 = 1 C1 ):

Далее рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, которые с помощью подходящей замены сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка.

Окрестность точки M 0 в пространстве – это внутренность шара или куба с центром в данной точке M 0.

2) ДУ второго порядка F ( x, y, y, y ) = 0 не содержит явно у, т.е. имеет вид F ( x, y, y ) = 0. Метод решения: ввести новую переменную p = p( x ), тогда которое, находим функцию p ( x ) = y (зависящую от константы С1), затем с помощью интегрирования находим y ( x ) = p ( x )dx (при этом появится вторая константа С2).

Пример 4: Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Поскольку данное ДУ второго порядка не содержит явно у, положим p = p ( x ), тогда y = p, получится линейное ДУ первого порядка относительно неизвестной Здесь A( x ) = ctg x, B( x ) = 2sin 3 x.

Теперь находим и саму функцию Ответ: y = 2 x cos x + 3sin x + 1 sin 3x C1 cos x + C2.

3) ДУ второго порядка F ( x, y, y, y ) = 0 не содержит явно х, т.е. имеет вид F ( y, y, y ) = 0. Метод решения: ввести новую переменную p = p( y ), тогда, по формуле порядка F ( y, p, py p ) = 0, решив которое, находим функцию p ( y ) = y = (она будет содержать также произвольную константу С1). Последнее уравнение есть ДУ первого получаем искомое решение (в неявной форме) содержащее вторую произвольную константу.

Замечание. Если заданы начальные условия и не требуется получить общее решение (а только частное), то значения каждой константы следует находить сразу после её появления подстановкой начальных условий.

Пример 5: Найти частное решение для ДУ второго порядка с начальными условиями: y (0) = 1, y (0) = 2.

Решение. Поскольку данное ДУ второго порядка не содержит явно х, положим y = p ( y ), тогда y = py p. Получим дифференциальное уравнение первого порядка с однородной правой частью (которое одновременно является и ДУ типа Бернулли с параметром = 1 ) относительно неизвестной функции p ( y ) :

Первый способ. Решим уравнение (3) как ДУ с однородной правой частью: Положим Подставив это в уравнение (3) получим ДУ с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем Подставив в последнее равенство начальные условия y (0) = 1, y (0) = 2, определим нужный знак и значение константы С1: 2 = ±1 2C1 0 C1 = 2, перед корнем должен стоять знак «минус», и тогда Последнее уравнение есть ДУ с разделяющимися переменными, решим его:

получим 4 0 = 0 + C2 C2 = 2, следовательно, частное решение (в неявной форме) имеет вид:

Подставляя сюда еще раз начальное условие выбираем знак «плюс».

Умножим обе части этого ДУ на множитель (1 ) p = 2 p и положим z = p1 = p 2.

Тогда zy = 2 ppy. Получим 2 ppy = 1 2 p 2 2 y zy = 2 z 2 y. Решим это линейное ДУ:

Далее решение такое же, что и первым способом.

4) Порядок ДУ можно понизить, используя формулы Тогда, если в ДУ удалось представить левую и правую части в виде полных производных (по x) выражений F ( x, y, y) и G ( x, y, y), т.е. в виде то тогда F ( x, y, y Пример 6: Найти общее решение ДУ второго порядка y y = ( y )2 + y 2 sin x.

Решение. Это ДУ второго порядка содержит явно и х, и у, и y и y. Перепишем его в данное ДУ имеет вид = sin x. Следовательно, Ответ: y = C2eC1x sin x.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям:

3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) второго порядка имеет вид где a ( x ) 0. Если f ( x ) 0, это ЛДУ называется однородным, а если f ( x ) T 0, то оно называется неоднородным. Общее решение однородного ЛДУ (ОЛДУ) второго порядка имеет вид где 1 ( x ), 2 ( x ) – два линейно независимых4 частных решения этого уравнения, образующее его фундаментальную систему решений (ФСР). Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид yон = yoo + yчн., где yон – общее решение неоднородного ЛДУ, yчн – какое-то частное решение неоднородного ЛДУ yoo – общее решение соответствующего однородного ЛДУ.

Пусть дано ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами a + b + c = 0 – соответствующее характеристическое уравнение, имеющее вещественные или комплексные корни 1, 2. Тогда общее решения ОЛДУ (4) имеет следующий вид (в зависимости от знака дискриминанта D = b 2 4ac ):

(а) если D 0 и 1, 2 – различные вещественные корни, то (в) если D 0 и корни 1, 2 = ± i – комплексные, причем, R, R +, i – мнимая единица ( i 2 = 1 ), то Пример 7. Найти общее решение ОЛДУ:

Решение. Составляем соответствующее характеристическое уравнение и находим корни.

функции y1 ( x ). yn ( x ) называются линейно зависимыми на промежутке ( ; ), если тождественное равенство 1 y1 ( x ) +. + 1 y1 ( x ) 0 на ( ; ) выполняется при некоторых 1. n, не равных одновременно нулю. В противном случае, т.е. если тождественное равенство 1 y1 ( x ) +. + 1 y1 ( x ) 0 на ( ; ) возможно только при 1 =. = n = 0, функции y1 ( x ). yn ( x ) называются линейно независимыми на промежутке ( ; ). Две функции y1 ( x ) и y2 ( x ) линейно независимы тогда и только когда, когда они не пропорциональны, т.е. 2 const.

3.2. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных Этот метод позволяет находить общее решение любого неоднородного линейного дифференциального уравнения (НЛДУ), если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ).

Рассмотрим подробно ЛДУ второго порядка.

Теорема. Пусть для однородного ЛДУ второго порядка нам известно его общее решение:

Тогда для неоднородного ЛДУ общее решение можно найти в виде где производные C1 ( x) и C2 ( x) являются решениями системы двух линейных уравнений с расширенной матрицей:

Эта система всегда имеет единственное решение на любом промежутке, где непрерывны все коэффициенты ОЛДУ и a ( x ) 0.

Пример 8 Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Напишем соответствующее однородное ЛДУ:

4 y + y = 0, составим для него характеристическое уравнение 4 2 + 1 = 0 и yоо = C1 cos x + C2 sin x. Общее решение данного уравнения (5) будем искать в виде В данном случае 1 ( x) = cos x, 2 ( x) = sin x.Производные функций C1 ( x) и C2 ( x) удовлетворяют системе линейных уравнений с расширенной матрицей:

Решим эту систему по формулам Крамера:

Следовательно, C1 ( x ) = 1 = Теперь, интегрируя, находим:

где C1, C2 = const. Подставляя полученные функции C1 ( x) и C2 ( x) (7) в (6) получим искомое общее решение неоднородного ЛДУ (5):

(черту над настоящими константами уже можно опустить).

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

2. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Найти общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка:

4. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка Неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ) имеет вид:

или, символически, Соответствующее однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) имеет вид или, символически, L [ y ] = Структура общего решения однородного ЛДУ п-го порядка. Общее решение ОЛДУ (9) с непрерывными коэффициентами имеет вид где 1 ( x). 1 ( x) – линейно независимые частные решения этого ЛДУ, образующие константы.

4.1. Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами.

где ai = const R, a0 0.

Многочлен называется характеристическим для ОЛДУ (3). Алгебраическое уравнение P( ) = также называется характеристическим.

Построение фундаментальной системы решений для ОЛДУ с постоянными коэффициентами п-го порядка Пусть 1, 2. k – все корни (вещественные и/или комплексные) характеристического уравнения (4), а натуральные числа r1, r2. rk – соответствующие кратности этих корней. Это значит, что характеристический многочлен разлагается в произведение и общее количество корней с учетом их кратностей равно порядку п ОЛДУ, т.е.

Заметим также, что все коэффициенты характеристического уравнения вещественны, и поэтому его комплексные корни попарно комплексно сопряжены, т.е. если имеется корень = + i кратности r, то имеется и корень = i той же кратности r.

(1°) Каждому вещественному корню j = R кратности r соответствуют ровно r различных функций, составляющих ФСР уравнения (10):

(2°) Каждой паре комплексно сопряженных корней j = ± i, где R, R +, каждый из которых имеет кратность r, соответствуют r пар функций, составляющих ФСР уравнения (3) (а всего их 2r ):

Полная фундаментальная система решений ОЛДУ (10) состоит из всех функций, построенных таким образом для всех корней характеристического уравнения.

Пример 9. Найти общие решения следующих ОЛДУ:

Решение. Запишем для каждого ОЛДУ характеристический многочлен P( ) и разложим его на множители:

равны 1. Поэтому yоо = C1e 2 x + C2e x cos ( x 3 ) + C2e x sin ( x 3 ) ;

1 = 1, r1 = 2, 2 = 3, r2 = 1, поэтому yоо = C1e x + C2 xe x + C3e3 x.

1 = 0, r1 = 3; 2 = 2, r2 = 1, 3 = 2, r3 = 1, 4,5 = 0 ± 2i, r4,5 = 1, общее решение Общее решение неоднородного ЛДУ есть сумма частного решения этого НЛДУ и общего решения соответствующего однородного ЛДУ Символически:

Пусть правая часть f ( x) неоднородного ЛДУ (1), т.е. L [ y ] = f ( x ), является суммой других функций а для каждого k = 1. m функция yk ( x) является частным решением неоднородного ЛДУ L [ y ] = f k ( x). Тогда функция yo ( x ) = y1( x ) +. + ym ( x ) является частным решением уравнения (8).

4.2. Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и Мы умеем строить общее решение yоо ( x) однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами:

Для этого надо составить характеристического уравнения найти его корни 1, 2. k и определить их кратности r1, r2. rk (натуральные числа, т.е. целые положительные).

Условимся считать, что если вещественное или комплексное число не является корнем данного характеристического уравнения, то мы все равно будем считать его корнем кратности ноль.

Для нахождения общего решения yон ( x) неоднородного ЛДУ надо знать его какое-нибудь частное решение yчн ( x), поскольку yон = yчн + yоо.

Такое частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов в том случае, если функция f ( x) имеет специальный вид первого или второго типа.

Специальный вид правой части 1-го типа: f ( x ) = e x Pm ( x), где R, Pm ( x) – многочлен степени т.

Пусть число является корнем кратности r характеристического уравнения. В этом случае частное решение можно найти в виде:

где P ( x) – многочлен степени т с неопределенными коэффициентами. Напомним, что многочлены степени 0, 1 и 2 с неопределенными коэффициентами имеют вид A, Ax + B, Ax 2 + Bx + D соответственно ( A, B, D. – неопределенные коэффициенты, которые надо найти).

Чтобы найти эти коэффициенты, следует:

(1) найти первую, вторую и т.д. производные функции yчн = x r e x Pm ( x) ;

(2) подставить их в данное НЛДУ a0 y ( n) + a1 y ( n1) +. + an1 y + an y = e x P( x), привести подобные и сократить левую и правую части на e x ;

(3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной х слева и справа;

получится система линейных уравнений (число этих уравнений будет равно (m + 1) – числу искомых неопределенных коэффициентов);

(4) Решить полученную систему уравнений.

Специальный вид правой части 2-го типа: f ( x) = e x ( Pm ( x) cos x + Qk ( x ) sin x ), где R, R +, Pm ( x) и Qk ( x) – многочлены степени т и k соответственно (один из этих многочленов может вовсе отсутствовать, т.е. быть нулевым). Нулевой многочлен будем считать имеющим степень минус один.

Пусть комплексные числа = ± i являются корнями характеристического уравнения кратности r и N = max. В этом случае частное решение можно найти в виде :

Чтобы найти коэффициенты многочленов PN ( x) и QN ( x ), надо:

(1) найти первую, вторую и т.д. производные функции yчн = x r e x Pm ( x) ;

(2) подставить их в данное НЛДУ сократить левую и правую части на e x ;

(3) Представить левую часть в виде в виде A( x) cos x + B( x) sin x, где A( x) и B ( x) – многочлены, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в многочленах при cos x (т.е. в A( x) и Pm ( x) ), а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в многочленах при sin x, т.е. при B ( x) и Qk ( x) );

получится система из 2( N + 1) линейных уравнений;

(4) Решить полученную систему уравнений.

Замечание. Часто правая часть f ( x) не имеет специального вида, но является суммой нескольких функций f ( x ) = f1 ( x) +. + f s ( x), где каждая из функций fi ( x) имеет специальный вид 1-го ил 2-го типа. В этом случае, по теореме 8, частное решение имеет вид yчн = y1 ( x) +. + ys ( x), где yi ( x) – частное решение для НЛДУ Пример 10. Найти общее решение НЛДУ y 2 y 3 y = (4 x + 8)e x + 13sin 2 x.

Решение. Для соответствующего однородного ЛДУ y 2 y 3 y = 0 характеристическое уравнение 2 2 3 = 0 имеет корни 1 = 1 и 2 = 3 кратности r = 1 каждый. Общее решение ОЛДУ есть yоо = С1e x + C2e3 x. Правая часть есть сумма двух функций f ( x) = ( x + 2)e x + 13sin 2 x = f1 ( x) + f 2 ( x), имеющих специальный вид 1-го и 2-го типа соответственно. Частное решение есть сумма: yчн = y1 ( x) + y2 ( x), где (1) f1 ( x) = e x Pm ( x) = e x ( x + 2), = 1 – корень кратности 1, m = 1, следовательно Находим первую и вторую производные:

и подставим в уравнение (12), получим:

Сократим на e x, приведем слева подобные:

0 x 2 8 Ax + (2 A 4 B) = x + 2 и приравняем коэффициенты при x1 и x0 слева и справа, получим систему:

Находим первую и вторую производные:

и подставим в уравнение (13), получим:

приравняем слева и справа коэффициенты при cos 2x и sin 2x, получим систему уравнений:

Пример 11. Не находя неопределенных коэффициентов, указать вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного линейного ДУ y IV 5 y 36 y = 0, для чего найдем корни характеристического уравнения:

Следовательно, общее решение есть yоо = C1e3 x + C2 e 3 x + C3 cos 2 x + C4 sin 2 x.

Правая часть исходного неоднородного ЛДУ есть сумма трех функций:

общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид yон = yоо + yчн, где yчн = y1 + y2 + y3 и yi ( x ) – частное решение неоднородного ЛДУ y IV 5 y 36 y = f i ( x ), i = 1, 2, 3.

1) для неоднородного ЛДУ y IV 5 y 36 y = f1 ( x ) = 3sin 2 x частное решение есть:

2) для неоднородного ЛДУ y IV 5 y 36 y = f 2 ( x ) = xe3 x частное решение есть:

3) для неоднородного ЛДУ y IV 5 y 36 y = f 3 ( x ) = x 2 e 2 x частное решение есть:

Поэтому для всего исходного нелинейного ЛДУ общее решение имеет вид Здесь С1, С2, C3, C4 – произвольные постоянные (которые всегда присутствуют в общем решении дифференциального уравнения), Ai, Bi (i = 1, 2, 3) и D2 – конкретные числовые постоянные, которые, в принципе, можно найти (методом неопределенных коэффициентов), но в данной задаче это не требуется.

1. Найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений:

2. Найти общие решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений методом неопределенных коэффициентов:

3. Найти вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (сами коэффициенты не находить!):

1. Что такое дифференциальное уравнение?

2. Что такое порядок дифференциального уравнения?

3. Сколько произвольных констант имеет общее решение дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка?

4. Как выглядит начальное условие (начальные условия) для дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка?

5. Что такое задача Коши для дифференциального уравнения: (а) первого порядка;

(б) второго порядка?

6. Что такое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, и как 7. Что такое дифференциальное уравнение с однородной правой частью и как его 8. Как выглядит линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и какие способы его решения вы знаете?

9. Как выглядит дифференциальное уравнение типа Бернулли, и какие способы его решения вы знаете?

10. Что такое дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, и как его 11. В каких случаях можно понизить порядок дифференциального уравнения второго порядка? Как это сделать?

12. Как выглядит линейное дифференциальное уравнение п-го порядка:

(а) однородное; (б) неоднородное?

13. Какими свойствами обладают частные решения однородного линейного дифференциального уравнения?

14. Что такое фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения?

15. Какова структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения?

16. Как находить фундаментальную систему решений однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: (а) второго порядка (б) п-го порядка?

17. Какова структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения?

18. В чем состоит принцип наложения частных решений для неоднородного линейного дифференциального уравнения?

19. В чем суть метода Лагранжа решения неоднородного линейного дифференциального уравнения? Почему этот метод также называется методом вариации постоянных?

20. Какие неоднородные линейные дифференциальные уравнения можно решать методом неопределенных коэффициентов. В каком виде следует искать частное решение? Как находить неопределенные коэффициенты?

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. – М.:

Интеграл-Пресс, 2006. – 544 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Дрофа, 2003. – 512 с.

3. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. – 352 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. VIII).

4. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова и Б.П. Демидовича. – М.:

Наука, 1986. – 368 с.

5. Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравнения первого порядка. – М.: Изд-во МГТУ, 2001. – 37 с.

6. Пелевина И.Н., Раров Н.Н., Филиновский А.В. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методические указания для выполнения домашнего задания. – М.: Изд-во МГТУ, 2001. – 38 с..

«Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева. Кафедра: Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей. Самолёт Ан-2. Учебное пособие. (Компьютерный вариант) Составил: Сошин В.М. Компьютерная обработка: студент Гонюшов Е. Пособие предназначено для студентов 1-го курса специальности 13.03., изучающих конструкцию самолета Ан-2 по дисциплине Авиационная техника. Размер файла: 7,27 Мбаит. Файл помещен в компьютере Server ауд. 113-5 Имя файла: E:\. »

«Федеральное агентство по образованию Уральский государственный технический университет УПИ М. В. Белоусов Литье и обработка цветных металлов и сплавов Учебное электронное текстовое издание Подготовлено кафедрой Металлургия алюминия Методические указания к лабораторным занятиям для всех форм обучения специальности 150102 – Металлургия цветных металлов, специальности 080502 – Экономика и управление на предприятии В работе представлены описания нескольких способов получения отливки в лабораторных. »

«Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет Ученые Республики Беларусь Барташевич Александр Александрович к 75-летию со дня рождения Минск 2012 1 Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет Библиотека Отдел справочно-библиографической и информационной работы Ученые Республики Беларусь Барташевич Александр Александрович к 75-летию со дня рождения Библиографический указатель Минск От составителя Библиографический список. »

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Брестский государственный технический университет Кафедра бухгалтерского учета, анализа и аудита Организация бухгалтерского учета и аудита Методические рекомендации и задания к контрольной работе для студентов, обучающихся по специальности Э.01.07.00. Бухгалтерский учет, анализ и аудит заочной формы обучения Брест 2001 г. УДК 338.24.42. В методических рекомендациях представлена программа курса “Организация бухгалтерского учета. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова (СЛИ) Кафедра бухгалтерского учета, анализа, аудита и налогообложения КОНТРОЛЬ И РЕВИЗИЯ Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов по специальности 080109 Бухгалтерский учет, анализ и аудит всех форм. »

«Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Севастопольский национальный технический университет ОЦЕНКА РЕЗЕРВОВ РОСТА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТРУДА РАБОЧИХ Методические указания к самостоятельной работе по дисциплине Экономика предприятия для студентов экономических специальностей всех форм обучения Севастополь 2012 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 336. Методические указания к самостоятельной работе по дисциплине. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра информационных систем Посвящается 60-летию высшего профессионального лесного образования в Республике Коми Ю. А. Жук МУЛЬТИМЕДИЙНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Учебное пособие Утверждено учебно-методическим советом. »

«СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА МАШИНЫ И ОБОРУДОВАНИЕ ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА ПРОЕКТИРОВАНИЕ МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 651600 Технологические машины и оборудование специальности 150405 Машины и оборудование лесного комплекса СЫКТЫВКАР 2007 1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО. »

«Федеральное агентство по образованию ; : • : lllllll Е.А. Ростовцев ИСТОРИЯ КНИЖНОГО ДЕЛА Часть I Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 200?. Федеральное агентство по образованию САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.А. Ростовцев ИСТОРИЯ КНИЖНОГО ДЕЛА Часть I Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета УДК 93/99 (075.8) ББК 76. Y Р Р о с т о в ц е в Е. А. История книжного дела. Часть I: Учеб. »

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ ЗАНЯТИЯ СТУДЕНТОВ ПО РАЗВИТИЮ ФИЗИЧЕСКИХ КАЧЕСТВ И УКРЕПЛЕНИЮ ЗДОРОВЬЯ Методические указания к теоретическим и практическим занятиям для студентов всех специальностей дневной формы обучения по дисциплине Физическое воспитание и спорт Севастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 37.037. Самостоятельные занятия студентов по. »

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ВЕДУЩИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КАЧЕСТВА ЧЕЛОВЕКА И МЕТОДИКА ИХ РАЗВИТИЯ Методические указания к теоретическим занятиям для студентов всех специальностей дневной формы обучения по дисциплине Физическое воспитание и спорт Севастополь 2007 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 796.011 (07) Ведущие физические качества человека и методика их развития: Метод. »

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет Методические указания для выполнения расчетно-графического задания по дисциплине Финансовый учет для студентов 3 курса специальности 7.050106 — Учет и аудит дневной формы обучения Севастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК Методические указания для выполнения расчетно-графического задания по дисциплине Финансовый учет для студентов 3. »

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ТОРГОВО — ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу Холодильная техника и технология (для студентов специальности 260501 и 080104) Контрольная работа №2 Cанкт — Петербург 2008 Составители: доц. Цуранов О.А., доц. Крысин А.Г. Методические указания к выполнению контрольной работы №2 по курсу Холодильная. »

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) Круглые лесоматериалы Методические указания Ухта, УГТУ, 2013 УДК 674.038 ББК 43.90 Б 91 Бурмистрова, О. Н. Б 91 Круглые лесоматериалы [Текст] : метод. указания / О. Н. Бурмистрова, М. А. Воронина. – Ухта : УГТУ, 2013. – 60 с. Методические указания предназначены для выполнения контрольных работ по дисциплине. »

«ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое учебное пособие представляет собой первую часть курса лекций по дискретной математике. Кроме этой части предполагается издание двух частей теоретического материала. Вторая часть будет посвящена дискретному анализу, логике предикатов и теории кодирования и криптографии, в частности, кодированию экономической информации. Третья часть будет посвящена теории графов и ее приложению в экономике и управлении, в частности, сетевому планированию и управлению дискретными системами. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова (СЛИ) Кафедра бухгалтерского учета, анализа, аудита и налогообложения БЮДЖЕТИРОВАНИЕ Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов по специальности 080109 Бухгалтерский учет, анализ и аудит всех форм. »

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к теоретическим и практическим занятиям ТАКТИКА НАПАДЕНИЯ В БАСКЕТБОЛЕ по дисциплине Физическое воспитание и спорт для студентов всех специальностей дневной формы обучения Севастополь 2005 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 37.037. Тактика нападения в баскетболе Методические указания по физвоспитанию /Сост. »

«Л.А. ЖАРИКОВА, Н.В. НАУМОВА БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЁТ В ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАНАХ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Тамбовский государственный технический университет Л.А. ЖАРИКОВА, Н.В. НАУМОВА БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЁТ В ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАНАХ Рекомендовано Учёным советом университета в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов экономических специальностей Тамбов Издательство ТГТУ 2008 УДК 657(100) ББК У052.2 Ж345 Рецензенты: Кандидат экономических наук, доцент. »

«Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению контрольной работы по дисциплине Маркетинг для студентов экономических специальностей заочной формы обучения Севастополь 2012 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) 2 УДК 339.138 Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине Маркетинг для студентов экономических. »

«Федеральное агентство по образованию Сыктывкарский лесной институт – филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова КАФЕДРА ВОСПРОИЗВОДСТВА ЛЕСНЫХ РЕСУРСОВ КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированного специалиста по специальности 080109 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Очная Заочная Курс 1 1. »

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Производную функции переписать через её дифференциалы
Разделить переменные.
Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r 2 , y’ через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде