Собственные функции и собственные значения уравнения шредингера для
9.4.Уравнение Шредингера для стационарных состояний
В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение
(20)
где m — масса частицы, — мнимая единица, U — потенциальная энергия частицы, D — оператор Лапласа [ см. (1.10)].
Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию Y (x, y, z, t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.
Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя
Y (x, y, z, t) = y (x, y, z) exp[-i(E/)t] (21)
где E/= w .
В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид
(22)
где Е, U — полная и потенциальная энергия, m — масса частицы.
Следует заметить, что исторически название «волновой функции» возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.
9.5. Собственные функции и собственные значения. Свободная частица
Функции Y , удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.
Значения Е, при которых существуют решения уравнения (22), называются собственными значениями.
В качестве примера определим y и Е для свободной частицы.
Свободной называют частицу, на которую не действуют силы, т.е. . Cледовательно, U(x)=const и ее можно принять равной нулю. Таким образом, в случае свободного движения частицы, ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость . Направим ось Х вдоль вектора . Тогда (22) можно записать в виде
. (23)
Прямой подстановкой можно убедится, что частным решением этого уравнения является функция y (х)=Аexp(ikx), где А=сonst, k=const c собственным значением энергии
Е= .(24)
C учетом (21) волновая функция
Y (х)=Аexp(-i w t+ ikx)= Аexp[-(i/)(Еt- р x х)]. (25)
здесь w =Е/, k=р x /
Функция (25) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [cм. (16)].
Из (24) следует, что зависимость энергии от импульса
Е= 2 k 2 /(2m)=Р х 2 /(2m)=mv 2 /2 (26)
оказывается обычной для нерелятивиских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.
Плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства
т.е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.
Собственные функции и собственные значения уравнения шредингера для
Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.
4.1. Уравнение Шредингера
В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера
(4.1) |
где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона
в которой и заменены операторами импульса x, y, z и координаты , , :
х → = х, y → = y, z → = z,
(4.2) |
Уравнение Шредингера
Зависящее от времени уравнение Шредингера:
где – гамильтониан системы.
Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или
Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E
θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).
Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:
или
Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():
−(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),
где Δ – лапласиан.
Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).
Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид
ψ() = Eψ(). | (4.3) |
Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.
Так как в стационарном состоянии
Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ) | (4.4) |
и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она
|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.
4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками
Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:
(4.5) |
Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками
Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L
(4.6) |
Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид
ψ(x)= Аsin kx + Bcos kx, | (4.7) |
где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует
Аsin kL = 0. | (4.8) |
kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений En
n = 1, 2, 3, … | (4.9) |
Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии En соответствует волновая функция ψn(x), которая с учетом условия нормировки
(4.10) |
В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψn в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полностью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.
Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.
4.3. Гармонический осциллятор
Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид
(4.11) |
В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид
(4.12) |
Допустимые значения полной энергии определяются формулой
En = ћω0(n + 1/2), n = 0, 1, 2, | (4.13) |
В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.
Частица в одномерной потенциальной яме
Одномерная прямоугольная яма шириной L:
n = 1, 2, …
Одномерный гармонический осциллятор:
En = ћω0(n + 1/2), n = 0, 1, 2,
4.4. Частица в поле с центральной симметрией
В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид
(4.14) |
Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций
ψ(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ), | (4.15) |
где радиальная функция Rnl(r) и угловая функция Ylm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям
2 Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ) | (4.16) |
Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ) | (4.17) |
Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Ylm(θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции Rnl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции Rnl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.
Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r0 = ћ 2 /mee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.
Решения уравнения |
существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.
4.5. Орбитальный момент количества движения
Собственные значения L 2 и Lz являются решением уравнений
2 Ylm(θ,φ) = L 2 Ylm(θ,φ) и zYlm(θ,φ) = LzYlm(θ,φ).
Они имеют следующие дискретные значения
L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
Lz = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.
Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:
Спектроскопические названия орбитальных моментов l
l = 0 | s-состояние |
l = 1 | p-состояние |
l = 2 | d-состояние |
l = 3 | f-состояние |
l = 4 | g-состояние |
l = 5 | h-состояние |
и. т. д. |
Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Ylm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:
(4.18) |
Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).
Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.
Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения
=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.
Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .
4.6. Спин
Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:
2 = ћ 2 s(s + 1) | (4.19) |
В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:
szћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.
Число sz − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина sz совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения sz = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.
4.7. Полный момент количества движения
Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.
= + .
Квадрат полного момента имеет значение:
2 = ћ 2 j(j + 1).
Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:
j = l + s, l + s −1. |l − s|
Проекция на выделенную ось Jz также принимает дискретные значения:
Число значений проекции Jz равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z lz и sz, то jz также определена однозначно: jz = lz + sz.
4.8. Квантовые числа
Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.
Таблица квантовых чисел
n | Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞. |
J, j | Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1). |
L, l | Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1). |
m | Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0. |
S, s | Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы определенного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1). |
sz | Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0. |
P или π | Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные. |
I | Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий |
Для обозначения спинового момента часто используют букву J.
Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это
- Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
- Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
- Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
- Спин протона s =1/2.
Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:
- Кулоновский потенциал U = Q/r,
- Прямоугольная потенциальная яма
- Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
- Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):
где U0, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, jz, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ —). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.
Задачи
4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.
4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.
4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d5/2?
4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).
4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>n = |1, 1 /2: 3 /2>, |l,s:j>p = |1, 1 /2: 3 /2>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>1 = |1, 1 /2: 3 /2> и |l,s:j>2 = |1, 1 /2: 3 /2>?
4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента jz. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; jz = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; jz = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ
4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2
4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2
4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию Jz. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?
4.10. Почему возникают вырожденные состояния?
4.11. Написать оператор Гамильтона электронов в атоме He.
4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.
4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?
4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.
4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.
4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /2L, x = 2 /3L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0
4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /3L, 2 /3L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2
4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3
4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм
4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.
4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?
4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?
4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать Lz и L 2 ?
Ответ: Lz = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2
4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать Lz и L 2 ?
Собственные значения и собственные функции операторов
Вы будете перенаправлены на Автор24
Собственные значения, собственные функции
Физический смысл имеют те решения уравнения Шредингера:
которые удовлетворяют естественным (стандартным) условиям. Согласно им волновая функция должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой во всем пространстве, даже в точках разрыва потенциальной энергии. Решения, которые удовлетворяют данным требованиям, возможны не при любых значениях $E$, а только при некоторых, которые обозначим: $E_1,E_2,\dots ,\ E_n.$
Значения энергии ($E_1,E_2,\dots ,\ E_n.$), при которых уравнение (1) имеет необходимые решения, называют собственными значениями. При этом функции $\Psi_1,\ \Psi_2,\ \dots ,\ \Psi_n$, которые являются решениями уравнения (1) при $E=E_1,E=E_2,\dots ,E=\ E_n$ называют собственными функциями, принадлежащими собственным значениям. В этом состоит сущность общего принципа квантования.
Собственные значения энергии $E$ принимают за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях. Данные значения могут быть дискретными или непрерывными, при этом возникает дискретный или непрерывный энергетический спектр.
Собственные значения и собственные функции операторов
Рассмотрим уравнение вида:
где $a_n$ — собственные значения, $\Psi_n$ — собственные функции, соответствующие собственным значениям. Каждая из этих функций предполагается нормированной так, что:
Итак, значения, которые может принимать данная физическая величина в квантовой механике, называют собственными значениями. Совокупность собственных значений — спектр собственных значений рассматриваемой величины.
Готовые работы на аналогичную тему
Если система находится в каком-то состоянии, которое характеризует волновая функция $\Psi$, то проведение измерения некоторой величины $a$, относящейся к исследуемой системе, даст одно из собственных значений $a_n.$
Собственные значения всех операторов физических величин принимают исключительно действительные значения.
Совокупность собственных функций составляет полную систему, это значит, что любое состояние системы $\Psi$ представимо в виде единственного и однозначного разложения в ряд по собственным функциям:
где $<\left|C_n\right|>^2$ — вероятность того, что при измерении физической величины, которая соответствует оператору $\hat$ будет соответствовать измерение $A_n$ для волновой функции $\Psi_n.$
Среднее значение физической величины
Среднее значение любой физической величины ($\left\langle A\right\rangle $) в квантовой механике определяется из вероятностного смысла волновой функции:
Аналогов такого усреднения в классической физике нет. В ней часто проводят усреднение по времени для некоторой величины. Для большого количества частиц проводят усреднения по ансамблю, как например, вычисляют среднюю скорость движения молекул в веществе. В рассматриваемом нами случае усреднение производится по квантовому состоянию микрообъекта в фиксированный момент времени. Провести подобное усреднение эмпирически весьма затруднительно.
Среднее значение по квантовому состоянию величины координаты частицы можно определить как:
Дисперсия физической величины
Подобно теории вероятности в квантовой физике вводят дисперсию среднего значения координаты. Она определяет разброс полученных при измерении величин относительно среднего значения исследуемой координаты. Дисперсию при этом определяют как:
где $\left\langle x^2\right\rangle =\int\limits_V<\Psi^*\left(\overrightarrow
Аналогичное выражение можно использовать для дисперсии величины импульса:
где квадрат вредней величины импульса равен:
Сделав обобщение, можно записать, что дисперсия некоторой величины $A$, которая определяет разброс результатов измерений по отношению к среднему, можно найти как:
Отметим, что дисперсия величины $A$ в собственном состоянии равна нулю, что означает физическая величина, имеет определенное значение, которое точно определено и равно собственному значению оператора $\hat.$
Решение:
Используем выражение для оператора импульса:
подставим его в уравнение:
вместо оператора $\hat$, имеем:
Уравнению (1.3) удовлетворяет функция:
Данная функция удовлетворяет естественным условиям, то есть искомая функция найдена.
Задание: Какова средняя кинетическая энергия частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками ($0
Решение:
Проведем нормирование функции $\Psi\left(x\right).$Найдем коэффициент $A$. Для этого запишем:
Величина средней кинетической энергии определяется как:
\[\left\langle E_k\right\rangle =\int\limits^l_0<\Psi^*>\left(<\hat
Подставим результат выражения (2.3), стоящий в правой части в формулу (2.2), имеем:
Ответ: $\left\langle E_k\right\rangle =\frac<5>
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 12 05 2021
http://nuclphys.sinp.msu.ru/sem2/sem04.html
http://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/sobstvennye_znacheniya_i_sobstvennye_funkcii_operatorov/