Собственный вектор система уравнений собственные числа

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Векторная алгебра.
• Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения

Собственные числа и вектора матриц. Методы их нахождения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть число $\lambda$ и вектор $x\in L, x\neq 0$ таковы, что $$Ax=\lambda x.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$ Тогда число $\lambda$ называется собственным числом линейного оператора $A,$ а вектор $x$ собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу $\lambda.$

В конечномерном пространстве $L_n$ векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству $$(A-\lambda E)X=0,\,\,\,\, X\neq 0.\qquad\qquad\quad\quad (2)$$

Отсюда следует, что число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда детерминант $det(A-\lambda E)=0,$ т. е. $\lambda$ есть корень многочлена $p(\lambda)=det(A-\lambda E),$ называемого характеристическим многочленом оператора $A.$ Столбец координат $X$ любого собственного вектора соответствующего собственному числу $\lambda$ есть нетривиальное решение однородной системы (2).

Примеры.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-\lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-\lambda E)=\begin2-\lambda&-1&2\\5&-3-\lambda&3\\-1&0&-2-\lambda\end=$$ $$=(2-\lambda)(-3-\lambda)(-2-\lambda)+3+2(-3-\lambda)+5(-2-\lambda)=$$ $$=-\lambda^3-3\lambda^2+4\lambda+12+3-6-2\lambda-10-5\lambda=-\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1=0.$$

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.

$$\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+1=(\lambda^3+1)+3\lambda(\lambda+1)=$$ $$=(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1)+3\lambda(\lambda+1)=(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1+3\lambda)=$$ $$=(\lambda+1)(\lambda^2+2\lambda+1)=(\lambda+1)^3=0\Rightarrow \lambda=-1.$$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=-1$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A+E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin3&-1&2\\5&-2&3\\-1&0&-1\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin3&-1\\5&-2\end=-6+5=-1\neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin3&-1\\5&-2\end=-1\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\<\begin3x_1-x_2+2с=0\\ 5x_1-2x_2+3с=0\end\right.\Rightarrow\left\<\begin3x_1-x_2=-2c\\5x_1-2x_2=-3c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin-c\\-c\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin-1\\-1\\1\end.$

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$

Ответ: $\lambda=-1;$ $X=c\begin-1\\-1\\1\end, c\neq 0.$

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора. Число $\lambda$ есть собственное число оператора $A$ в том и только том случае, когда $det(A-\lambda E)=0.$ Запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-\lambda E)=\begin-\lambda&-1&0\\1&1-\lambda&-2\\1&-1&-\lambda\end=$$ $$=-\lambda(1-\lambda)(-\lambda)+2-\lambda+2\lambda=$$ $$=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda+2=0.$$

Решим найденное уравнение, чтобы найти собственные числа.

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=2$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-2E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin-2&-1&0\\1&-1&-2\\1&-1&-2\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin-2&-1\\1&-1\end=2+1=3\neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin-2&-1\\1&-1\end=3\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\<\begin-2x_1-x_2=0\\ x_1-x_2-2с=0\end\right.\Rightarrow\left\<\begin-2x_1-x_2=0\\x_1-x_2=2c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin\frac<2c><3>\\-\frac<4c><3>\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin\frac<2><3>\\-\frac<4><3>\\1\end.$

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде $X(c)=cE.$ Переобозначив постоянную, $\alpha=3c,$ получаем собственный вектор $X=\alpha\begin2\\-4\\3\end, \alpha\neq 0.$

Домашнее задание.

Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

Ответ: $\lambda=2;$ $X=c_1\begin1\\2\\0\end+c_2\begin0\\0\\1\end, $c_1$ и $ c_2$ не равны одновременно нулю.