Соотношение между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

РЕЦЕНЗИЯ

на урок математики с использованием информационных технологий

Учитель Брусенко В.В.

Тема урока «Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения».

Цель урока: «открыть» эту связь. Таким образом, урок с самого начала нацелен на творческую работу учащихся, их самостоятельность как исследователей, так как материал данной темы по программе носит ознакомительный характер. Пробуждению интереса к изучаемой теме служит и то, что урок начинается с отрывка из стихотворения, посвященного теореме Виета.

В соответствии с поставленной целью я выбираю и тип урока. Это урок-исследование, на котором учащиеся учатся анализировать, систематизировать, обобщать знания, овладевают способами самостоятельной деятельности, навыками работы с компьютером.

Для актуализации знаний и умений, учащихся я строю повторение материала на основе дифференциации заданий. Более сильные ученики самостоятельно работают с тренировочными заданиями с помощью компьютера, отправляя их на принтер учителя для проверки правильности своих решений и оценивание. Остальные ученики работают вместе с учителем.

Постановка проблемных вопросов позволила перейти к основной теме урока. Использование слайдов с заданиями по теме урока дает установку на более глубокое изучение и прочное запоминание материала, так как учащиеся анализируют, рассуждают и знакомятся с правильностью и доказательством данных на слайдах утверждений на сайте в Интернете. Таким образом, на уроки учащиеся развивают информационные компетенции.

Кроме того, на уроке развиваются и коммуникативные компетенции учащихся. Организуется работа в малых группах и парах сменного состава. Применение такого способа обучения позволяет учителю выйти с традиционного уровня общения «учитель-ученик» на оптимальный – «ученик-ученик», «ученик-учитель», «ученик – учебный материал»; учащиеся показали умение сотрудничать и работать в группах.

На уроке прослеживаются межпредметные связи с литературой и историей. Через работу с Интернетом учащиеся знакомятся с исторической справкой о Франсуа Виете, со стихотворением, отрывок из которого послужил эпиграфом к уроку. Один из учащихся создает собственный слайд с использованием данного стихотворения.

Самостоятельная работа учащихся в конце урока направлена на закрепление полученных на уроке знаний. Домашнее задание носит творческий характер, является продолжением, углублением и закреплением усвоенных на уроке знаний и их применения в условиях решения нестандартных задач. При этом задания строго дозированы и не вызывают перегрузки учащихся.

Все этапы урока взаимосвязаны, логически последовательны. Переход от одного этапа к другому осуществляется проблемными вопросами, побуждая учащихся к мыслительной деятельности, развивая такие психические процессы, как память, внимание, мышление.

Урок носит воспитывающий и обучающий характер, способствует развитию личности ребенка.

Тема: Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

эпиграф к уроку (на доске): По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Тема: Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Цель урока: «открыть» зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами; научить применять теорему Виета и обратную ей теорему в различных ситуациях при решении квадратных уравнений;

развитие информационно-аналитических компетенций и умений учебного труда (умение работать в должном темпе);

воспитание добросовестного отношения к учебному труду.

Материалы и оборудование урока: проектор, слайд-фильм, компьютерный класс с выходом в интернет.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Продолжительность: 2 урока.

Ход урока (урок сопровождается слайд-фильмом):

I. Проверка домашнего задания, актуализация и коррекция опорных знаний учащихся (используется метод фронтальной беседы и устный опрос)

Для сильных учащихся предлагается тест на компьютере (работа на 5 минут, остальные учащиеся работают с учителем).

На прошлых уроках мы познакомились с новыми уравнениями.

· Назовите их и дайте определение.

· В зависимости от наличия коэффициентов, в квадратном уравнении как оно называется?

· Дайте определение приведенного квадратного уравнения.

Также познакомились с формулами корней квадратного уравнения и дискриминантом.

· Какую связь устанавливают формулы корней квадратного уравнения?

· Какую зависимость устанавливает значение дискриминанта?

(при ответах учащиеся делают записи на доске)

А как вы думаете: все ли связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения мы рассмотрели?

II. Сообщение темы, цели и задач урока, мотивация учебной деятельности школьников, постановка проблемы.

Исследование связи между корнями

и коэффициентами квадратного уравнения.

Открыть тетради записать число и тему урока. Обратимся к домашней работе. Дома вы решали 4 уравнения и заполняли таблицу.

III. Восприятие и первичное осознание нового учебного материала, осмысление связей и отношений в объектах изучения (Применяются следующие методы: 1. работа с таблицей, самостоятельная работа в группах с интернетом с целью восприятия нового материала; 2. беседа с целью проверки и коррекции первичного осознания и воспроизведения учащимися знаний).

Проверьте свою работу по таблице. А теперь посмотрите внимательно, что интересного вы заметили? Обсудите это в парах и попытайтесь сформулировать предположение (выслушиваем предположения). Действительно, вы правы, существует такое утверждение.

Тогда числа х1, х2 , p, q связаны равенствами:

Записываем в тетрадях утверждение №1. Знакомство с доказательство утверждения происходит на сайте по адресу:

q http://www. postupi. ru/ucheb/math/math_alg_uravn01.html

(в процессе доказательства обратного утверждения получается равенство:

х2 + рх + q = (х-х1)(х-х2))

Итак, мы познакомились с доказательством теоремы Виета. Запишите ее в тетрадях.

Числа х1 и х2 являются корнями приведенного квадратного уравнения

Как вы догадались, что данная теорема носит имя автора. Кем же был Франсуа Виет, и когда была доказана эта теорема?

Слайд №5

Франсуа Виет

Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике.

Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой.

В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году.

Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру.

Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.

Итак, какие связи между коэффициентами и корнями приведенного квадратного уравнения мы обнаружили? Чем интересно полученное следствие? Где это можно использовать?

Подумайте и ответьте: где, в каких ситуациях можно воспользоваться теоремой и следствием?

Свои предположения обсудите в парах, и полученные ситуации запишите в тетрадь.

(выслушиваем то, что получилось, обсуждаем)

Давайте, сравним ваши предположения с предлагаемыми ситуациями.

Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета.

• Проверка правильности найденных корней.

• Определение знаков корней квадратного уравнения.

• Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения.

• Составление квадратных уравнений с заданными корнями.

• Разложение квадратного трехчлена на множители.

Самостоятельная работа учащихся.

Решите следующие задания:

1. Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения

х2 — 22х + 105 = 0?

2. Определите знаки корней уравнения х2 + 5х – 36 = 0.

3. Найдите устно корни уравнения х2 — 9х + 20 = 0.

4. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/3 и 0,3.

5. Разложите квадратный трехчлен на множители х2 + 2х — 48.

Учащиеся решают в группах, полученные решения представители от групп объясняют у доски.

Постановка новой проблемы.

Используя ответ задания №4, сначала переходим к квадратному уравнению с целыми коэффициентами, а затем задается вопрос: будет ли верна теорема Виета для данного неприведенного квадратного уравнения?

Учащиеся в парах обсуждают возникшую проблему, пробуют сформулировать по аналогии обобщенную теорему Виета. Обсуждаем полученные варианты ответов. Затем выясняем, как бы выглядело следствие для таких уравнений. Сравниваем со следующим слайдом.

Обобщенная теорема Виета:

Числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 тогда и только тогда, когда

VI. Обобщение и систематизация знаний учащихся осуществляются на основе

Учащимся предлагается применить полученные знания в следующих ситуациях.

Решите следующие задания:

1. В уравнении х2 + pх – 32 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.

2. Один из корней уравнения 10х2 — 33х + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.

3. Разность корней квадратного уравнения х2 — 12х + q = 0 равна 2. Найдите q.

4. Определите знаки корней квадратного уравнения ( если они существуют), не решая уравнения: 5х2 – х – 108 = 0.

Учащиеся решают в парах, полученные решения объясняют у доски.

V. Подведение итогов урока и сообщение домашнего задания.

Учащимся предлагается обратиться к сайту в интернете по адресу

q http://mathem-poem. narod. ru/nach/uchen/uchg. htm —

для ознакомления со стихотворением, две строки которого вынесены эпиграфом в начало урока.

(один из учеников читает стихотворение)

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого –

Умножить ты корни, и дробь уж готова:

В числителе «с», в знаменателе «а».

И сумма корней тоже дроби равна,

Хоть с минусом дробь та, ну, что за беда:

В числителе «в», в знаменателе «а».

Вопросы к учащимся: что нового узнали на уроке? что необходимо хорошо запомнить и понять?

Оценка работы всего класса и отдельных учащихся (выставление оценок за работу с тестом)

Стр.121 – 124 прочитать, выучить теоремы и следствия.

По желанию: при каких а уравнение ах2 – 6х + а = 0 имеет один корень?

Для учащихся I группы (сильных), решить уравнение:

Презентация по математике на тему » Связь корней и коэффициентов квадратного уравнения»(8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Здравствуйте умницы и умники. Привели свое рабочее место в порядок. Нам на урок нужны: ручка и свежая, думающая голова! Все готовы? Давайте начнем урок!

Хочу: пожелать вам, ребята, увеличить объем своих знаний. Могу: сообщаю, что на уроке можно смело высказывать свое мнение, приводить свои способы решения задач, консультироваться с товарищами, и даже сомневаться, и ошибаться в чем-то. Делаю: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит ход решений», и все вместе сегодня мы движемся только вперед. Умею: мы умеем выполнять …………

Эпиграф к уроку: «.. чем больше узнаешь, тем лучше понимаешь, как много тебе еще нужно узнать..»

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных тригонометрических, логарифметических и показательных уравнений и неравенств. Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация о корнях скрыта в его коэффициентах. Кое- что «скрытое» для вас уже открылось. О чем идет речь? Давайте вспомним.

— Сформулируйте определение квадратного уравнения. (уравнение вида ах2 + вх +с = о, а не равно 0) Всегда ли имеет корни квадратное уравнение? ( нет, не всегда.) -Отчего это зависит? (от дискриминанта) — Какое уравнение называется приведенным квадратным уравнением? (а=1). -Как еще связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? (т.Виета) Сформулируйте теорему, обратную т.Виета

Значит, мы можем решать любые квадратные уравнения. Давайте решим некоторые из них. Решить уравнения: 1.345х2+137х-208 = 0 2.5х2 + 8х + 3 = 0 3.2006х2-2007х +1 = 0 4.132х2-247х+145 = 0 5.148х2+2х-150 = 0

А как вы думаете: все ли связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения мы рассмотрели? Нет ли других способов решения таких уравнений? Какой следующий этап в работе вы бы предложили? (выяснить какие новые утверждения, касающиеся уравнений, можно сформулировать)

Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Решая математические задачи, часто приходится встречаться с квадратными уравнениями. Поэтому помимо основных формул для вычисления корней таких уравнений полезно знать методы устного решения. Это помогает не только экономить время, но и развивать внимание. Конечно, не каждое квадратное уравнение можно решить с помощью свойства его коэффициентов, но в школьных учебниках многие уравнения решаются таким способом.

1.Найдите сумму коэффициентов в данных уравнениях. 2.Решите одно из уравнений обычным способом. 3. Какую вы закономерность увидели? Какая же связь существует между корнями и коэффициентами?

Пусть ах2 + bх + с = 0, где а не равно 0 Если а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = с/а ; Если а + с = b, то х1 = -1, х2 = — с/а. Если а + b + с не равно 0, а — b + с не равно 0, то уравнение решается методом «переброски»

Ситуация №2: формулировка и вывод свойства: Если а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = с/а

Ситуация №3: формулировка и вывод свойства: Если а + с = b, то х1 = -1, х2 = — с/а

Если а — в +с или а+в+с не равно 0, то можно устно решить другое уравнение: х2 + вх + ас = 0 и его корни разделить на а.

Решите самостоятельно: 1) 14х2 – 17х + 3 = 0 2) х2 – 39х — 40 = 0 3 ) 100 х2 – 83х — 183 = 0 4) 13х2 – 18х + 5 = 0 5)х2 + 23х — 24 = 0 6)100 х2 + 97х — 197 = 0

Рефлексия 1.Решите квадратное уравнение 3х2 – 10х + 7 = 0 Разложите квадратный трехчлен 3х2 – 10х + 7 на множители 3.Упростите выражение: х2 — 1/ 3х2 – 10х + 7 4. Решите неравенство: 3х2 – 10х + 7 больше или равно нулю 5.Найдите область определения: корень из трехчлена -7- 3х2 + 10х

-Закройте глаза на несколько секунд, сильно напрягая глазные мышцы, затем раскройте их, расслабив мышцы. Повторите 3-4 раза. Посмотрите на переносицу и задержите взор. Затем посмотрите вдаль. Повторите 3-4 раза. Медленно наклоняйте голову: вперед-влево-вправо-назад. Повторите 3-4 раза. — Поморгайте несколько раз глазами, не напрягая мышц. Сделайте глубокий вздох и медленный выдох. Мы друг другу улыбнулись, Вправо, влево повернулись, А затем наверх взметнулись и Немножечко встряхнулись.

Воздух. Учитель. Сделайте глубокий вдох, а затем выдох. Ученики начинают дышать глубже, чем обычно. Учитель. Представьте себе, что ваше тело, словно большая губка, которая жадно впитывает кислород из воздуха. Постарайтесь услышать, как воздух входит в нос, почувствовать, как он наполняет грудь и плечи, руки до самых кончиков пальцев; как воздух струится в область головы, в лицо; воздух заполняет живот, область таза, бедра, колени и стремится дальше – к лодыжкам, ступням и кончикам пальцев. Ученики делают несколько глубоких вдохов и выдохов. Учитель. А теперь все попробуйте пару раз зевнуть. Зевота – естественный способ компенсировать недостаток кислорода. Сначала учащиеся будут зевать скорее искусственно, но иногда после этого возникает настоящий зевок.

Учитель. Теперь предлагаю вам установить контакт с землей, «заземлиться» и почувствовать уверенность. Учитель вместе с обучающимися начинает сильно давить на пол, стоя на одном месте, можно топать ногами и даже пару раз подпрыгнуть вверх. Можно потереть ногами пол, покрутиться на месте.

Учитель. Давайте представим, что вы – пламя. Попробуйте изобразить его. Учитель и учащиеся активно двигают руками, ногами, телом, изображая языки пламени. Учитель. Ощутите энергию и тепло в своем теле.

Эта часть упражнения составляет контраст с предыдущей. Учитель. Представьте себе, что наша классная комната превращается в бассейн. Предлагаю вам немного поплавать. Учитель и учащиеся изображают мягкие, свободные движения в «воде», следя за тем, чтобы двигались суставы – кисти рук, локти, плечи, бедра, колени. Примечание: Если учитель сам принимает участие в этом упражнении, помимо пользы для себя, он поможет также и неуверенным и стеснительным ученикам активнее участвовать в упражнении.

Результатом своей личной работы на уроке считаю, что Я А. Разобрался в теории Б. научился решать задачи В. Повторил весь изученный материал. Чего вам не хватило на уроке при выполнении заданий? А. знаний Б. времени В. желания Г. решал нормально Кто вам оказывал помощь в преодолении трудности на уроке? А. одноклассники Б. учитель В. учебник Г. компьютер Д. никто

Домашнее задание Придумать уравнения и решить их применяя данные свойства.

Окончен урок, и выполнен план. Спасибо, ребята, огромное вам. За то, что упорно и дружно трудились, И знания точно уж вам пригодились