Соответствие уравнений шредингера их физическому смыслу

Уравнение Шредингера и его смысл

Двойственная природа света и вещества. Уравнение де Броиля.

Сосуществование двух серьезных научных теорий, каждая из которых объясняла одни свойства света, но не могла объяснить другие. Вместе же эти две теории полностью дополняли друг друга.

Свет одновременно обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и дискретных фотонов.

Взаимосвязь между корпускулярными и волновыми свойствами света находит простое толкование при статистическом подходе к распространению света.

Взаимодействие фотонов с веществом (например, при прохождении света через дифракционную решетку) приводит к перераспределению фотонов в пространстве и возникновению дифракционной картины на экране. Очевидно, что освещенность в различных точках экрана прямо пропорциональна вероятности попадания фотонов в эти точки экрана. Но, с другой стороны, из волновых представлений видно, что освещенность пропорциональна интенсивности света J, а та, в свою очередь, пропорциональна квадрату амплитуды А 2 . Отсюда вывод: квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке есть мера вероятности попадания фотонов в эту точку.

Уравнение де Броиля.

Физический смысл соотношения де Бройля: одна из физических характеристик любой частицы — ее скорость. Волна описывается длиной или частотой. Соотношение, связывающее импульс квантовой частицы р с длиной волны λ, которая ее описывает: λ = h/p где h — постоянная Планка.Иными словами, волновые и корпускулярные свойства квантовой частицы фундаментальным образом взаимосвязаны.

14)Вероятностная трактовка волн де Броиля. Если считать электрон частицей, то, чтобы электрон оставался на своей орбите, у него должна быть одна и та же скорость (или, вернее, импульс) на любом расстоянии от ядра. Если же считать электрон волной, то, чтобы он вписался в орбиту заданного радиуса, надо, чтобы длина окружности этой орбиты была равна целому числу длины его волны. Главный же физический смысл соотношения де Бройля в том, что мы всегда можем определить разрешенные импульсы или длины волн электронов на орбитах. Однако, соотношение де Бройля показывает, для большинства орбит с конкретным радиусом либо волновое, либо корпускулярное описание покажет, что электрон не может находиться на этом расстоянии от ядра.

Волны де Бройля не являются Э.М. или механическими волнами, а являются волнами вероятности. Модуль волны характеризует вероятность нахождения частицы в пространстве.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

где Δx — неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, Δp — неопределенность импульса частицы на ось х, а h — постоянная Планка, равняется примерно 6,626 x 10 –34 Дж·с.

Чем меньше неопределенность в отношении одной переменной (например, Δx), тем более неопределенной становится другая переменная (Δv) На самом деле, если нам удастся абсолютно точно определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности. Т.е. если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представлении.

Уравнение Шредингера и его смысл.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции. Уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — координата, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Уравнение Шрёдингера

Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

Уравнение Шредингера (общие свойства)

№1 Стационарное уравнение Шредингера имеет вид . Это уравнение записано для….

Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид

, где потенциальная энергия микрочастицы. Для одномерного случая . Кроме того, внутри потенциального ящика , а вне ящика частица находиться не может, т.к. его стенки бесконечно высоки. Поэтому данное уравнение Шредингера записано для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками.

Линейного гармонического осциллятора

ü Частицы в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками

Частицы в трехмерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками

Электрона в атоме водорода

Установите соответствия между квантовомеханическими задачами и уравнениями Шредингера для них.

Общий вид стационарного уравнения Шредингера имеет вид:

потенциальная энергия частицы,

оператор Лапласа. Для одновременного случая

.Выражение для потенциальной энергии гармонического осциллятора ,т.е частицы совершающей одномерное движение под действием квазиупругой силы имеет вид U= .

Значение потенциальной энергии электрона в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками U=0.Электрон в водородоподобном атоме обладаем потенциальной энергией Для атома водородаZ=1 .

Таким образом, для электрона в одномерном потенциальном ящике ур-ие Шредингера имеет вид:

С помощью волновой функции ,являющейся решением уравнения Шредингера ,можно определить….

Варианты ответа: (Укажите не менее двух вариантов ответа)

Средние значения физических величин ,характеризующих частицу

Вероятность того,что частица находится в определенной области пространства

Величина имеет смысл плотности вероятности(вероятности,отнесенной к единице объема),т.е определяет вероятность пребывания частицы в соответствующем месте пространства.Тогда вероятность W обнаружения частицы в определенной области пространства равна

Уравнение Шредингера (конкретные ситуации)

№1Собственные функции электрона в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками имеют вид где ширина ящика, квантовое число, имеющее смысл номера энергетического уровня. Если число узлов функции на отрезке и , то равно…

Число узлов , т.е. число точек, в которых волновая функция на отрезке обращается в нуль, связано с номером энергетического уровня соотношением . Тогда , и по условию это отношение равно 1,5. Решая полученное уравнение относительно , получаем, что

Ядерные реакции.

№1В ядерной реакции буквой обозначена частица …

Из законов сохранения массового числа и зарядового числа следует, что заряд частицы равен нулю, а массовое число равно 1. Следовательно, буквой обозначен нейтрон.

На графике в полулогарифмическом масштабе показана зависимость изменения числа радиоактивных ядер изотопа от времени.Постоянная радиоактивного распада в равна …(ответ округлите до целых)

Число радиоактивных ядер изменяется со временем по закону -начальное число ядер, -постоянная радиоактивного распада.Прологарифмировав это выражение,получим

ln .Следовательно, =0,07

Законы сохранения в ядерных реакциях.

Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения …

Во всех фундаментальных взаимодействиях выполняются законы сохранения: энергии, импульса, момента импульса (спина) и всех зарядов (электрического , барионного и лептонного ). Эти законы сохранения не только ограничивают последствия различных взаимодействий, но определяют также все возможности этих последствий. Для выбора правильного ответа надо проверить, каким законом сохранения запрещена и какими разрешена приведенная реакция взаимопревращения элементарных частиц. Согласно закону сохранения лептонного заряда в замкнутой системе при любых процессах, разность между числом лептонов и антилептонов сохраняется. Условились считать для лептонов: . лептонный заряд а для антилептонов: . лептонный заряд . Для всех остальных элементарных частиц лептонные заряды принимаются равными нулю. Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения лептонного заряда , т.к.

ü Лептонного заряда

Спинового момента импульса

Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения…

Во всех фундаментальных взаимодействиях выполняются законы сохранения: энергии,импульса,момента импульса(спина)и всех зарядов(электрического Q,барионного B и лептонного L).Эти законы сохранения не только ограничивают последствия различных взаимодействий,но определяют также все возможности этих последствий. Согласно закону сохранения барионного заряда B,для всех процессов с участием барионов и антибарионов суммарный барионный зарад сохраняется. Барионам (нуклонам n,p и гиперонам)приписывается барионный заряд

B=-1,а всем остальным частицам барионный заряд-B=0.Реакция не может идти из-за нарушения закона барионного заряда B,т.к (+1)+(+1)

Варианты ответа: ,лептонного заряда,спинового момента импульса,электрического заряда.

Законом сохранения электрического заряда запрещены реакции…

Варианты ответа(не менее 2):

При взаимодействии элементарных частиц и их превращении в другие возможны только такие процессы,в которых выполняются законы сохранения,в частности закон сохранения электрического заряда:суммарный электрический заряд частиц,вступающих в реакцию,равен суммарному электрическому заряду частиц,полученных в результате реакции.Электрический заряд Q в единицах элементарного заряда равен:у нейтрона (n) Q=0,протона (P) Q=+1, электрона ( )Q=-1,позитрона ( ) Q=+1,электронного нейтрино и антинейтрино ( Q=0, антипротона ( Q=-1, мюонного нейтрино ( )Q=0, мюона ( ) Q=-1.Закон сохранения электрического заряда не выполняется в реакциях:

№1Известно четыре вида фундаментальных взаимодействий. В одном из них участниками являются все заряженные частицы, обладающие магнитным моментом, переносчиками –фотона. Этот вид взаимодействия характеризуется сравнительной интенсивностью , радиус его действия равен …

Все перечисленные характеристики соответствуют электромагнитному взаимодействию. Его радиус действия равен бесконечности.

ü