Алгоритмы

История появления алгоритмов

Появление алгоритмов связывают с зарождением математики. Более 1000 лет назад (в 825 году) ученый из города Хорезма Абдулла (или Абу Джафар) Мухаммед бен Муса аль-Хорезми создал книгу по математике, в которой описал способы выполнения арифметических действий над многозначными числами. Само слово алгоритм возникло в Европе после перевода на латынь книги этого математика.

Понятие алгоритма. Изображение алгоритма в виде блок-схемы.

Алгоритмы линейной и разветвляющейся структуры

1.1. Понятие алгоритма

Алгоритм — четкое описание последовательности действий, которые необходимо выполнить при решении задачи. Можно сказать, что алгоритм описывает процесс преобразования исходных данных в результаты, т.к. для решения любой задачи необходимо:

1. Ввести исходные данные.
2. Преобразовать исходные данные в результаты (выходные данные).
3. Вывести результаты.

Разработка алгоритма решения задачи — это разбиение задачи на последовательно выполняемые этапы, причем результаты выполнения предыдущих этапов могут использоваться при выполнении последующих. При этом должны быть четко указаны как содержание каждого этапа, так и порядок выполнения этапов. Отдельный этап алгоритма представляет собой либо другую, более простую задачу, алгоритм решения которой известен (разработан заранее), либо должен быть достаточно простым и понятным без пояснений. Разработанный алгоритм можно записать несколькими способами:

• на естественном языке;
• в виде блок-схемы;
• в виде R-схемы.

Рассмотрим пример алгоритма на естественном языке:

1. Ввести в компьютер числовые значения переменных а, b и с.
2. Вычислить d по формуле d = b 2 — 4ас.
3. Если d 1 и x ₂.
4. Прекратить вычисления.

1.2. Изображение алгоритма в виде блок-схемы

Блок-схемой называется наглядное графическое изображение алгоритма, когда отдельные его этапы изображаются при помощи различных геометрических фигур — блоков, а связи между этапами (последовательность выполнения этапов) указываются при помощи стрелок, соединяющих эти фигуры. Блоки сопровождаются надписями. Типичные действия алгоритма изображаются следующими геометрическими фигурами:
Блок начала-конца алгоритма (рис. 1.1). Надпись на блоке: «начало» («конец»).
Блок ввода-вывода данных (рис. 1.2). Надпись на блоке: слово «ввод» («вывод» или «печать») и список вводимых (выводимых) переменных.

Рис. 1.1. Блок начала-конца алгоритма	Рис. 1.2. Блок ввода-вывода данных

Блок решения или арифметический (рис. 1.3). Надпись на блоке: операция или группа операций.
Условный блок (рис. 1.4). Надпись на блоке: условие. В результате проверки условия осуществляется выбор одного из возможных путей (ветвей) вычислительного процесса. Если условие выполняется, то следующим выполняется этап по ветви «+», если условие не выполняется, то выполняется этап по ветви «–».

Рис. 1.3. Арифметический блок	Рис. 1.4. Условный блок

В качестве примера рассмотрим блок-схему алгоритма решения уравнения (рис. 1.5), описанного в предыдущем подразделе.

Рис. 1.5. Блок-схема алгоритма решения квадратного уравнения

1.3. Алгоритмы линейной структуры

Линейный алгоритм — это такой, в котором все операции выполняются последовательно одна за другой (рис. 1.6).

Рис. 1.6 Размещение блоков в линейном алгоритме

Рассмотрим несколько примеров линейных алгоритмов.

ПРИМЕР 1.1. Зная длины трех сторон треугольника, вычислить площадь и периметр треугольника.

Пусть a, b, c — длины сторон треугольника. Необходимо найти S — площадь треугольника, P — периметр.

Для нахождения площади можно воспользоваться формулой Герона:

где r — полупериметр.

Входные данные: a, b, c.
Выходные данные: S, P.

Блок-схема алгоритма представлена на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Алгоритм примера 1.1

Внимание. В этих блоках знак «=» означает не математическое равенство, а операцию присваивания. Переменной, стоящей слева от оператора, присваивается значение, указанное справа. Причем это значение может быть уже определено или его необходимо вычислить с помощью выражения. Например, операция r = (a+b+c)/2 — имеет смысл (переменной r присвоить значение r=(a+b+c)/2), а выражение (a+b+c)/2=r — бессмыслица.

ПРИМЕР 1.2. Известны плотность и геометрические размеры цилиндрического слитка, полученного в металлургической лаборатории. Найти объем, массу и площадь основания слитка.

Входные данные: R — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра, ? — плотность материала слитка.
Выходные данные: m — масса слитка, V — объем, S — площадь основания.

Блок-схема представлена на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Алгоритм примера 1.2

ПРИМЕР 1.3. Заданы длины двух катетов в прямоугольном треугольнике. Найти длину гипотенузы, площадь треугольника и величину его углов.

Входные данные: a, b — длины катетов.
Выходные данные: с — длина гипотенузы, S — площадь треугольника, ?, ? — углы.

Блок-схема представлена на рис.1.9.

Рис. 1.9 Алгоритм примера 1.3

1.4. Алгоритмы разветвленной структуры

Алгоритмы разветвленной структуры применяются, когда в зависимости от некоторого условия необходимо выполнить либо одно, либо другое действие. В блок-схемах разветвленные алгоритмы изображаются так, как показано на рис. 1.10 — 1.11.

Рис. 1.10 Фрагмент алгоритма	Рис. 1.11 Пример разветвления

Рассмотрим несколько примеров построения алгоритмов разветвленной структуры.

ПРИМЕР 1.4. Известны коэффициенты и с квадратного уравнения. Вычислить корни квадратного уравнения.

Входные данные: a, b, c.
Выходные данные: x ₁ , x ₂ .

Блок-схема представлена на рис. 1.5.

ПРИМЕР 1.5. Составить программу нахождения действительных и комплексных корней квадратного уравнения. Можно выделить следующие этапы решения задачи:

1. Ввод коэффициентов квадратного уравнения a, b и c.
2. Вычисление дискриминанта d по формуле d = b 2 — 4ас.
3. Проверка знака дискриминанта. Если d >= 0, то вычисление действительных корней по формуле 1.1 и вывод их на экран.
   

   (1.1)

При отрицательном дискриминанте выводится сообщение о том, что действительных корней нет, и вычисляются комплексные корни.Комплексные числа записываются в виде a + ib

a — действительная часть комплексного числа, b — мнимая часть комплексного числа.У обоих комплексных корней действительные части одинаковые, а мнимые отличаются знаком. Поэтому можно в переменной x ₁ хранить действительную часть числа -b/2a, в переменной x ₂ — модуль мнимой части , а в качестве корней вывести x ₁ +ix ₂ и x ₁ -ix ₂.

На рис. 1.12 изображена блок-схема решения задачи. Блок 1 предназначен для ввода коэффициентов квадратного уравнения. В блоке 2 осуществляется вычисление дискриминанта. Блок 3 осуществляет проверку знака дискриминанта, если дискриминант отрицателен, то корни комплексные, их расчет происходит в блоке 4 (действительная часть корня записывается в переменную x ₁ , модуль мнимой — в переменную x ₂ ), а вывод — в блоке 5 (первый корень x ₁ + i x ₂ , второй — x ₁ — i x ₂ ). Если дискриминант положителен, то вычисляются действительные корни уравнения (блок 6) и выводятся на экран (блок 7).

Алгоритмы

Понятие алгоритма. Изображение алгоритма в виде блок-схемы. Алгоритмы линейной и разветвляющейся структуры

1.1. Понятие алгоритма

Алгоритм — четкое описание последовательности действий, которые необходимо выполнить при решении задачи. Можно сказать, что алгоритм описывает процесс преобразования исходных данных в результаты, т.к. для решения любой задачи необходимо:

1. Ввести исходные данные.
2. Преобразовать исходные данные в результаты (выходные данные).
3. Вывести результаты.

Разработка алгоритма решения задачи — это разбиение задачи на последовательно выполняемые этапы, причем результаты выполнения предыдущих этапов могут использоваться при выполнении последующих. При этом должны быть четко указаны как содержание каждого этапа, так и порядок выполнения этапов. Отдельный этап алгоритма представляет собой либо другую, более простую задачу, алгоритм решения которой известен (разработан заранее), либо должен быть достаточно простым и понятным без пояснений. Разработанный алгоритм можно записать несколькими способами:

• на естественном языке;
• в виде блок-схемы;
• в виде R-схемы.

Рассмотрим пример алгоритма на естественном языке:

1. Ввести в компьютер числовые значения переменных а, b и с .
2. Вычислить d по формуле d = b 2 — 4ас .
3. Если d , то напечатать сообщение «Корней нет» и перейти к п.4. Иначе вычислить и напечатать значения x 1 и x 2 .
4. Прекратить вычисления.

1.2. Изображение алгоритма в виде блок-схемы

Блок-схемой называется наглядное графическое изображение алгоритма, когда отдельные его этапы изображаются при помощи различных геометрических фигур — блоков, а связи между этапами (последовательность выполнения этапов) указываются при помощи стрелок, соединяющих эти фигуры. Блоки сопровождаются надписями. Типичные действия алгоритма изображаются следующими геометрическими фигурами:
Блок начала-конца алгоритма (рис. 1.1). Надпись на блоке: «начало» («конец»).
Блок ввода-вывода данных (рис. 1.2). Надпись на блоке: слово «ввод» («вывод» или «печать») и список вводимых (выводимых) переменных.

Рис. 1.1. Блок начала-конца алгоритма	Рис. 1.2. Блок ввода-вывода данных

Блок решения или арифметический (рис. 1.3). Надпись на блоке: операция или группа операций.
Условный блок (рис. 1.4). Надпись на блоке: условие. В результате проверки условия осуществляется выбор одного из возможных путей (ветвей) вычислительного процесса. Если условие выполняется, то следующим выполняется этап по ветви «+», если условие не выполняется, то выполняется этап по ветви «–».

Рис. 1.3. Арифметический блок	Рис. 1.4. Условный блок

В качестве примера рассмотрим блок-схему алгоритма решения уравнения (рис. 1.5), описанного в предыдущем подразделе.

Рис. 1.5. Блок-схема алгоритма решения квадратного уравнения

1.3. Алгоритмы линейной структуры

Линейный алгоритм — это такой, в котором все операции выполняются последовательно одна за другой (рис. 1.6).

Рис. 1.6 Размещение блоков в линейном алгоритме

Рассмотрим несколько примеров линейных алгоритмов.

ПРИМЕР 1.1. Зная длины трех сторон треугольника, вычислить площадь и периметр треугольника.

Пусть a, b, c — длины сторон треугольника. Необходимо найти S — площадь треугольника, P — периметр.

Для нахождения площади можно воспользоваться формулой Герона:

где r — полупериметр.

Входные данные: a, b, c .
Выходные данные: S, P .

Блок-схема алгоритма представлена на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Алгоритм примера 1.1

Внимание. В этих блоках знак «=» означает не математическое равенство, а операцию присваивания. Переменной, стоящей слева от оператора, присваивается значение, указанное справа. Причем это значение может быть уже определено или его необходимо вычислить с помощью выражения. Например, операция r = (a+b+c)/2 — имеет смысл (переменной r присвоить значение r=(a+b+c)/2), а выражение (a+b+c)/2=r — бессмыслица.

ПРИМЕР 1.2. Известны плотность и геометрические размеры цилиндрического слитка, полученного в металлургической лаборатории. Найти объем, массу и площадь основания слитка.

Входные данные: R — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра, ? — плотность материала слитка.
Выходные данные: m — масса слитка, V — объем, S — площадь основания.

Блок-схема представлена на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Алгоритм примера 1.2

ПРИМЕР 1.3. Заданы длины двух катетов в прямоугольном треугольнике. Найти длину гипотенузы, площадь треугольника и величину его углов.

Входные данные: a, b — длины катетов.
Выходные данные: с — длина гипотенузы, S — площадь треугольника, ?, ? — углы.

Блок-схема представлена на рис.1.9.

Рис. 1.9 Алгоритм примера 1.3

1.4. Алгоритмы разветвленной структуры

Алгоритмы разветвленной структуры применяются, когда в зависимости от некоторого условия необходимо выполнить либо одно, либо другое действие. В блок-схемах разветвленные алгоритмы изображаются так, как показано на рис. 1.10 — 1.11.

Рис. 1.10 Фрагмент алгоритма	Рис. 1.11 Пример разветвления

Рассмотрим несколько примеров построения алгоритмов разветвленной структуры.

ПРИМЕР 1.4. Известны коэффициенты и с квадратного уравнения. Вычислить корни квадратного уравнения.

Входные данные: a, b, c .
Выходные данные: x 1 , x 2 .

Блок-схема представлена на рис. 1.5.

ПРИМЕР 1.5. Составить программу нахождения действительных и комплексных корней квадратного уравнения. Можно выделить следующие этапы решения задачи:

1. Ввод коэффициентов квадратного уравнения a, b и c .
2. Вычисление дискриминанта d по формуле d = b 2 — 4ас .
3. Проверка знака дискриминанта. Если d >= 0 , то вычисление действительных корней по формуле 1.1 и вывод их на экран.

   (1.1)

При отрицательном дискриминанте выводится сообщение о том, что действительных корней нет, и вычисляются комплексные корни.Комплексные числа записываются в виде a + ib (формула 1.2):

(1.2)

a — действительная часть комплексного числа, b — мнимая часть комплексного числа.У обоих комплексных корней действительные части одинаковые, а мнимые отличаются знаком. Поэтому можно в переменной x 1 хранить действительную часть числа -b/2a, в переменной x 2 — модуль мнимой части , а в качестве корней вывести x 1 +ix 2 и x 1 -ix 2 .

На рис. 1.12 изображена блок-схема решения задачи. Блок 1 предназначен для ввода коэффициентов квадратного уравнения. В блоке 2 осуществляется вычисление дискриминанта. Блок 3 осуществляет проверку знака дискриминанта, если дискриминант отрицателен, то корни комплексные, их расчет происходит в блоке 4 (действительная часть корня записывается в переменную x 1 , модуль мнимой — в переменную x 2 ) , а вывод — в блоке 5 (первый корень x 1 + i x 2 , второй — x 1 — i x 2 ) . Если дискриминант положителен, то вычисляются действительные корни уравнения (блок 6) и выводятся на экран (блок 7).

Рис. 1.12. Блок-схема решения квадратного уравнения

ПРИМЕР 1.6. Заданы коэффициенты a, b и с биквадратного уравнения ах 4 + bх 2 + с = 0 . Решить уравнение.

Для решения биквадратного уравнения необходимо заменой y = x 2 привести его к квадратному и решить это уравнение.

Входные данные: a, b, c . Выходные данные: х 1 , х 2 , х 3 , х 4 .

Блок-схема представлена на рис. 1.13. Алгоритм состоит из следующих этапов:

1. Вычисление дискриминанта уравнения d.
2. Если d >= 0, определяются y 1 и y 2 , а иначе корней нет.
3. Если y 1 , y 2 y 1 , y 2 >= 0 , то вычисляются четыре корня по формулам 1.3 и выводятся значения корней.

   (1.3)

4. Если условия 3) и 4) не выполняются, то необходимо проверить знак y 1 . Если y 1 >= 0, то вычисляются два корня по формуле 1.4. Если же y 2 >= 0, то вычисляются два корня по формуле 1.5. Вычисленные значения корней выводятся.

Рис. 1.13. Алгоритм решения биквадратного уравнения

Еще раз обратимся к алгоритмам на рис. 1.5, 1.12, 1.13. Нетрудно заметить, что если a принимает значение 0, алгоритмы не работают (ведь на 0 делить нельзя). Это — недостаток алгоритмов. Его можно избежать, если проверять значение переменной a сразу после ввода. Алгоритмы такой проверки приведены ниже. В первом случае (рис. 1.14), если введенное значение переменной a = 0 , выполнение вычислительного процесса сразу же прекращается. Алгоритм, изображённый на рис. 1.15, позволяет при нулевом значении а повторить ввод переменной. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока а не станет отличным от нуля. Подобные алгоритмы называются циклическими .

Внимание. Перед вычислением значения математического выражения это выражение следует проанализировать: для всех ли значений переменных его можно вычислить. В алгоритме необходимо предусмотреть предварительную проверку переменных на значения, для которых выражение не может быть определено. Если, например, требуется вычислить корень четной степени, то нужно перед вычислением проверить подкоренное выражение — оно не должно принимать отрицательные значения, а в случае с дробью — проверить знаменатель на 0. В блок-схеме такие проверки реализуются с помощью условного блока. Отсутствие таких проверок в программе может привести к критическим ошибкам.

© 2008 п. Подгорный, г. Майкоп, Республика Адыгея

Один из методов решения квадратных уравнений

Алгоритм решения данной задачи сначала должен быть представлен в виде словесного описания или графически в виде блок-схемы. Алгоритм вычисления корней квадратного уравнения может быть представлен в виде блок-схем, изображенных на рисунках, отображающих основные элементы блок-схем и алгоритм вычисления корней квадратного уравнения:

Изображение алгоритма в виде блок-схемы позволяет наглядно представить последовательность действий, необходимых для решения поставленной задачи, убедиться самому программисту в правильности понимания поставленной задачи.

После разработки алгоритма решения задачи и представления его в виде блок-схемы можно перейти к написанию программы – последовательности инструкций на выбранном языке программирования, соответствующей разработанному алгоритму. Например, ниже приведен фрагмент программы решения квадратного уравнения, соответствующий приведенному выше алгоритму, составленному на языке Visual Basic.

procedure SqRoot(Editi,Edit2,Edit3:tEdit;Label2:tLabel);
var
a,b,c:real;
d:real;
xl,x2:real;
begin
<Ввод исходных данных>a:=StrToFloat(Editl.text);
b:=StrToFloat(Edit2.text);
с:=StrToFloat(Edj.t3.text);
< Вычисление дискриминанта >d:=Sqr(b)-4*a*c;
if d=0 then begin
Label2.color:=clRed;
Label2.font.color:=clRed;
Label2.caption:=’Дискриминант меньше нуля.’+#13+
‘Уравнение не имеет корней.’ end else
begin

х1:=(-b+Sqrt(d))/(2*a);
x2:=(-b-Sqrt(d))/(2*а);

Label2.font.color:=clBlack;
Label 2.caption=’Корни уравнения:’ +#13+’xl=1+FloatToStr(xl)
+#13+’x2=’+FloatToStr(x2);
end;
end.

Но программа, написанная на языке программирования, состоит из инструкций, понятных человеку, но не понятных процессору компьютера. Поэтому чтобы процессор смог выполнить работу в соответствии с инструкциями исходной программы, она должна быть переведена на язык команд процессора, то есть машинный язык. Задачу преобразования исходной программы в машинный код выполняет специальная программа — компилятор. Помимо преобразования исходной программы в машинную, компилятор выполняет проверку правильности записи инструкций исходной программы, т. е. осуществляет синтаксический анализ.

Компилятор создает исполняемую программу только в том случае, если в тексте исходной программы нет синтаксических ошибок. Однако генерация исполняемой программы машинного кода свидетельствует только об отсутствии в тексте программы синтаксических ошибок. Убедиться в правильности работы программы можно только во время ее тестирования – пробных запусках программы и при анализе полученных результатов. Например, если в программе нахождения корней квадратного уравнения допущена ошибка в записи выражения вычисления дискриминанта, то даже если это выражение будет синтаксически верно, программа выдаст неверные значения корней.

Решение квадратных уравнений средствами Visual Basic

Задача: Дано квадратное уравнение общего вида: ax 2 +bx+c=0. Ввести в память компьютера числовые коэффициенты: a, b, c, выполнить необходимый анализ введенной информации согласно известному из курса средней школы алгоритму решения квадратного уравнения: найти дискриминант d=b 2 -4ac и, проанализировав его знак, найти все действительные корни, если знак дискриминанта положительный, или сообщить о том, что действительных корней нет, если знак дискриминанта отрицательный.

Начать составление проекта решения данной задачи необходимо с ответа на вопрос: что нужно поместить на форму Form1?

Поместим на форму две кнопки: CommandButton1 и CommandButton2.

Для этого нужно воспользоваться Панелью элементов (объектов) управления General, которая расположена в левой части основного окна компилятора Visual Basic.

Первая кнопка CommandButton1 предназначается для начала работы программы согласно следующему алгоритму:

1. ввод коэффициентов исходного уравнения a, b, c;
2. расчет дискриминанта d=b 2 — 4ac;
3. анализ знака дискриминанта, вычисление корней уравнения и вывод их на форму, если знак дискриминанта d>0 (положительный);
4. вывод сообщения: «Решений нет», если знак дискриминанта d 2 -5x+6=0.

Далее рассмотрим процесс решения второго квадратного уравнения: 10x 2 +5x+200=0.

В окне InputBox вводим значение первого коэффициента уравнения a=10.

Ввод первого коэффициента a завершается нажатием кнопки Ok.

Аналогично в окне InputBox вводим значение второго коэффициента уравнения b=5.

Ввод второго коэффициента b так же завершается нажатием соответствующей кнопки Ok.

Наконец, в окне InputBox вводим значение третьего коэффициента нового уравнения c=200.

Ввод третьего коэффициента c так же завершается нажатием соответствующей кнопки Ok.

После этого программа, проанализировав полученную информацию, должна выдать в окне формы соответствующее сообщение о том, что данное уравнение не имеет решений.

И, наконец, рассмотрим процесс решения третьего квадратного уравнения: x 2 -8x+16=0.

Это уравнение имеет двукратный корень, так как его дискриминант d=0. Как и в двух предыдущих случаях, вводим коэффициенты квадратного уравнения. Первым вводим коэффициент a=1.

Далее вводим второй коэффициент уравнения b= –8.

Третий коэффициент уравнения c=16 вводим в последнюю очередь.

В итоге мы должны увидеть правильное решение третьего квадратного уравнения. Действительно последнее уравнение имеет два одинаковых корня.