Составить дифференциальное уравнение для цепи

Составление дифференциального уравнения заданной электрической цепи при заданном входном воздействии 10В и следующих исходных данных

Оглавление.

Составление дифференциального уравнения заданной электрической цепи при заданном входном воздействии 10В и следующих исходных данных. 5

Решение полученного дифференциального уравнения операторным способом, используя преобразования Лапласа. 6

Построение переходного процесса при заданном входном воздействии. 7

Запись выражений и построение частотных характеристик цепи. 9

Получение математического описания цепи в терминах пространства состояний. 13

Получение передаточной функции. 14

Получение дискретной передаточной функции. 14

Список литературы. 16

Введение

В данной работе проводилось исследование электрической цепи с применением математических методов.

В результате различных изменений состояния и параметров, возникают различные переходные процессы, которые являются следствием перераспределения энергии между элементами цепи.

В процессе работы было составлено дифференциальное уравнение, которое описывает входные и выходные параметры цепи, составлено уравнение в терминах пространства состояния, которое послужило проверкой для подтверждения правильности дифференциального уравнения, а также была получена функция в дискретном виде. Все эти виды записи описывают динамический процесс, происходящий в данной схеме электрической цепи.

Найденное дифференциальное уравнение было решено классическим методом и на основе полученного решения, был построен график переходного процесса. Описание в дискретной форме показывает наглядно, насколько различаются графики переходного процесса при разных временах дискретизации.

Для построения графиков использовалась программа MathCAD.

Дифференциальные уравнения для электрической цепи

Министерство Образования Российской Федерации

Курсовая работа по математике

Выполнил: студент группы АТП-05-1

1. Для заданной электрической цепи составить дифференциальные уравнения при входном воздействии типа скачка.

2. Применить к полученному уравнению преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях.

3. Решить уравнение операторным методом.

4. Построить переходный процесс.

5. Записать выражение и построить частотные характеристики цепи: АЧХ, ФЧХ, ДЧХ, МЧХ и АФЧХ (амплитудно-фазовую характеристику).

6. Описать динамику вашей цепи в терминах пространства состояния.

Схема электрической цепи

;

При подстановке данных получаем окончательное дифференциальное уравнение:

Применим преобразование Лапласа и запишем передаточную функцию для данной цепи

Решаем характеристическое уравнение:

График переходного процесса

Заменим P = jω, получая комплексную переменную:

АФЧХ :

ДЧХ :

ФЧХ :

С помощью MathCAD строим все виды характеристик цепи:

Графики частотных характеристик цепи:

АЧХ:

Опишем динамику нашей цепи в терминах пространства состояния.

Составляем матрицу A:

Составляем матрицу единичную матрицу Ep:

Выражение для передаточной функции:

Составляем матрицу из алгебраического дополнения:

Составляем транспонированную матрицу:

Выражение для передаточной функции:

При подстановке данных, получаем:

Передаточная функция равна:

Находим корни корни характеристического уравнения:

Из таблицы оригиналов и значений:

Произведем подстановку данных:

Разделим числитель и знаменатель на z в max степени:

где m- максимальная степень z, L- максимальная степень z в знаменателе:

Находим, целю часть:

График дискретной функции :

RC-цепь. Дифференцирующие и интегрирующие RC-цепи.

Обсудив в предыдущих статьях устройство и принцип работы резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, мы имеем полное право перейти к рассмотрению цепей, состоящих из этих элементов 👍 Этим сегодня и займемся.

Дифференцирующая RC-цепь.

Из названия цепи, в принципе, уже понятно, что за элементы входят в ее состав — это конденсатор и резистор. И выглядит она следующим образом:

Работа данной схемы основана на том, что ток, протекающий через конденсатор, прямо пропорционален скорости изменения напряжения, приложенного к нему:

Напряжения в цепи связаны следующим образом (по закону Кирхгофа):

В то же время, по закону Ома мы можем записать:

Выразим u_c из первого выражения и подставим во второе:

При условии, что C R\medspace\frac>

(то есть скорость изменения напряжения низкая) мы получаем приближенную зависимость для напряжения на выходе:

Таким образом, цепь полностью оправдывает свое название, ведь напряжение на выходе представляет из себя дифференциал входного сигнала. Но возможен еще и другой случай, когда C R\medspace\frac>

>> u_ (быстрое изменение напряжения). При выполнении этого равенства получаем другую ситуацию:

То есть: u_ \approx u_ .

Можно заметить, что условие C R\medspace\frac>

будет лучше выполняться при небольших значениях произведения C R , которое называют постоянной времени цепи:

Давайте разберемся, какой смысл несет в себе эта характеристика. Заряд и разряд конденсатора происходят по экспоненциальному закону:

Здесь U_0 — напряжение на заряженном конденсаторе в начальный момент времени. Теперь посмотрим, каким будет значение напряжения по истечении времени \tau :

Напряжение на конденсаторе уменьшится до 37% от первоначального. Таким образом, \tau — это время, за которое конденсатор:

при заряде — зарядится до 63%
при разряде — разрядится на 63% (разрядится до 37%)

С постоянной времени цепи разобрались, вернемся к дифференцирующей RC-цепи. Теоретические аспекты функционирования проанализировали, так что давайте посмотрим, как все это работает на практике. А для этого попробуем подавать на вход какой-нибудь сигнал и посмотрим, что получится на выходе. В качестве примера, подадим на вход последовательность прямоугольных импульсов:

А вот как выглядит осциллограмма выходного сигнала (второй канал — синий цвет):

Большую часть времени напряжение на входе неизменно, а значит его дифференциал равен 0 (производная константы = 0). Именно это мы и видим на графике, значит RC-цепь выполняет свою дифференцирующую функцию. А с чем связаны всплески на выходной осциллограмме? Все просто — при «включении» входного сигнала происходит процесс заряда конденсатора, то есть по цепи проходит ток и напряжение на выходе максимально. А затем по мере протекания процесса заряда ток уменьшается по экспоненциальному закону до нулевого значения, а вместе с ним уменьшается напряжение на выходе, ведь оно равно u_ = i R . Теперь увеличим масштаб осциллограммы и получим наглядную иллюстрацию процесса заряда:

При «отключении» сигнала на входе дифференцирующей цепи происходит аналогичный переходный процесс, но только вызван он не зарядом, а разрядом конденсатора.

В данном случае постоянная времени цепи имеет небольшую величину, поэтому цепь хорошо дифференцирует входной сигнал. По нашим теоретическим расчетам, чем больше мы будем увеличивать постоянную времени, тем больше выходной сигнал будет похож на входной. Давай проверим это на практике, будем увеличивать сопротивление резистора, что и приведет к росту \tau :

Тут даже не надо ничего комментировать — результат налицо 👍 Мы подтвердили теоретические выкладки, проведя практические эксперименты, так что переходим к следующему вопросу — к интергрирующим RC-цепям.

Интегрирующая RC-цепь.

Запишем выражения для вычисления тока и напряжения данной цепи:

В то же время ток мы можем определить из Закона Ома:

Приравниваем эти выражения и получаем:

Проинтегрируем правую и левую части равенства:

Как и в случае с дифференцирующей RC-цепочкой здесь возможны два случая:

Если u_ , то \frac<1>\int u_\medspace dt\medspace-\medspace \frac<1>\int u_\medspace dt \approx 0 и, соответственно, u_ \approx u_ . То есть сигнал на выходе приближенно повторяет входной сигнал. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы постоянная времени цепи имела малую величину.
Если u_ >> \frac<1>\int u_\medspace dt , то u_ \approx \frac<1>\int u_ \medspace dt . В данном случае цепь хорошо выполняет свою интегрирующую функцию, и чем больше будет величина постоянной времени цепи, тем интегрирующие свойства будут лучше.

Для того, чтобы убедиться в работоспособности цепи, давайте подадим на ее вход точно такой же сигнал, какой мы использовали при анализе работы дифференцирующей цепи, то есть последовательность прямоугольных импульсов.

При малых значениях \tau сигнал на выходе будет очень похож на входной сигнал, а при больших величинах постоянной времени цепи, на выходе мы увидим сигнал, приближенно равный интегралу входного. Последовательность импульсов представляет собой участки равного напряжения, а интеграл от константы представляет из себя линейную функцию ( \int Cdx = Cx ). Таким образом, на выходе мы должны увидеть пилообразное напряжение. Проверяем на практике:

Желтым цветом здесь изображен сигнал на входе, а синим, соответственно, выходные сигналы при разных значениях постоянной времени цепи. Как видите, мы получили именно такой результат, который и ожидали увидеть 👍

источники:

http://kazedu.com/referat/97454

http://microtechnics.ru/differenciruyushhie-i-integriruyushhie-rc-cepi/