Составить дифференциальное уравнение электрической системы

Составление дифференциального уравнения заданной электрической цепи при заданном входном воздействии 10В и следующих исходных данных

Оглавление.

Составление дифференциального уравнения заданной электрической цепи при заданном входном воздействии 10В и следующих исходных данных. 5

Решение полученного дифференциального уравнения операторным способом, используя преобразования Лапласа. 6

Построение переходного процесса при заданном входном воздействии. 7

Запись выражений и построение частотных характеристик цепи. 9

Получение математического описания цепи в терминах пространства состояний. 13

Получение передаточной функции. 14

Получение дискретной передаточной функции. 14

Список литературы. 16

Введение

В данной работе проводилось исследование электрической цепи с применением математических методов.

В результате различных изменений состояния и параметров, возникают различные переходные процессы, которые являются следствием перераспределения энергии между элементами цепи.

В процессе работы было составлено дифференциальное уравнение, которое описывает входные и выходные параметры цепи, составлено уравнение в терминах пространства состояния, которое послужило проверкой для подтверждения правильности дифференциального уравнения, а также была получена функция в дискретном виде. Все эти виды записи описывают динамический процесс, происходящий в данной схеме электрической цепи.

Найденное дифференциальное уравнение было решено классическим методом и на основе полученного решения, был построен график переходного процесса. Описание в дискретной форме показывает наглядно, насколько различаются графики переходного процесса при разных временах дискретизации.

Для построения графиков использовалась программа MathCAD.

№74 Расчет переходных процессов методом переменных состояния.

Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему дифференциальных уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена.

В более узком смысле в математике уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производных (форма Коши). Система уравнений состояния в обобщенной форме имеет вид:

Та же система уравнений в матричной форме:

или в обобщённой матричной форме:

Система уравнений состояния формы Коши решается методом численного интегрирования (метод Эйлера или метод Рунге-Кутта) на ЭВМ по стандартной программе, которая должна быть в пакете стандартных программ. При отсутствии такой программы в пакете она легко может быть составлена по следующему алгоритму (метод Эйлера) для к-го шага:

Значения производных на к-ом шаге:

Значения переменных на к-ом шаге:

Для определения значений переменных и их производных на 1-м шаге ин¬тегрирова¬ния используются их значения на момент t=0, т.е. их начальные условия x1(0), x2(0). xn(0).

Уравнения состояния формы Коши для заданной схемы могут быть получены из системы уравнений Кирхгофа путем их преобразования. Для этой цели: а) из системы уравнений Кирхгофа методом подстановки исключаются »лишние» переменные, имеющие зависимые начальные условия, и оставляют переменные iL(t) и uC(t), которые не изменяются скачком и имеют независи-мые начальные условия iL(0) и uC(0); б) оставшиеся уравнения решаются относительно производных и приводятся их к форме Коши.

В случае сложных схем уравнения состояния формы Коши могут быть составлены топологическими методами с использованием матриц соединений [A] и [B].

Последовательность расчета переходного процесса методом переменных состояния выглядит так:

1. Производится расчет схемы в установившемся режиме до коммутации и определяются независимые начальные условия iL(0) и uC(0).

2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации.

3. Методом исключения »лишних» переменных система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши, составляются матрицы коэффициентов.

4. Выбирается расчетное время (продолжительность переходного процесса) и число шагов интегрирования N.

5. Решение задачи выполняется на ЭВМ по стандартной программе. Выходную функцию получают в виде графической диаграммы x=f(t)или в виде таблицы координат функций для заданных моментов времени.

Пример. Для схемы рис. 74.1 с заданными параметрами элементов (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C) выполнить расчет переходного процесса и определить функцию uab(t).

1. Выполняется расчет схемы в установившемся режиме переменного тока до коммутации и определяются начальные условия i1(0), i2(0), uC(0).

2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

3. Система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши.

Для этой цели из (1) выражаем

и делаем подстановку в (1) и (2), а из (4) делаем подстановку в (1). Тогда получим:

Подсчитаем значения отднльных коэфициэнтов:

Составляем матрицы коэффициентов:

В качества исследуемого промежутка времени выбираем период переменного тока

Число шагов интегрирования принимаем N = 1000,

Вводим исходные данные в ЭВМ и выполняем рассчет.

В качестве выходной функции принимаем:

Для выходной функции Uab(T) строим графическую диаграмму в интервале периода Т.

Дифференциальные уравнения для электрической цепи

Министерство Образования Российской Федерации

Курсовая работа по математике

Выполнил: студент группы АТП-05-1

1. Для заданной электрической цепи составить дифференциальные уравнения при входном воздействии типа скачка.

2. Применить к полученному уравнению преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях.

3. Решить уравнение операторным методом.

4. Построить переходный процесс.

5. Записать выражение и построить частотные характеристики цепи: АЧХ, ФЧХ, ДЧХ, МЧХ и АФЧХ (амплитудно-фазовую характеристику).

6. Описать динамику вашей цепи в терминах пространства состояния.

Схема электрической цепи

;

При подстановке данных получаем окончательное дифференциальное уравнение:

Применим преобразование Лапласа и запишем передаточную функцию для данной цепи

Решаем характеристическое уравнение:

График переходного процесса

Заменим P = jω, получая комплексную переменную:

АФЧХ :

ДЧХ :

ФЧХ :

С помощью MathCAD строим все виды характеристик цепи:

Графики частотных характеристик цепи:

АЧХ:

Опишем динамику нашей цепи в терминах пространства состояния.

Составляем матрицу A:

Составляем матрицу единичную матрицу Ep:

Выражение для передаточной функции:

Составляем матрицу из алгебраического дополнения:

Составляем транспонированную матрицу:

Выражение для передаточной функции:

При подстановке данных, получаем:

Передаточная функция равна:

Находим корни корни характеристического уравнения:

Из таблицы оригиналов и значений:

Произведем подстановку данных:

Разделим числитель и знаменатель на z в max степени:

где m- максимальная степень z, L- максимальная степень z в знаменателе:

Находим, целю часть:

График дискретной функции :

Составить дифференциальное уравнение электрической системы

Составление дифференциального уравнения заданной электрической цепи при заданном входном воздействии 10В и следующих исходных данных

№74 Расчет переходных процессов методом переменных состояния.

Дифференциальные уравнения для электрической цепи

Похожие работы