Составить дифференциальное уравнение по фундаментальной системе решений

Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шумилина Маргарита Алексеевна

В статье рассмотрен алгоритм восстановления линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений как приложение определителя Вронского . На примерах показана реализация данного алгоритма, возможность его использования.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шумилина Маргарита Алексеевна

Текст научной работы на тему «Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений»

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЛИНЕИНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ РЕШЕНИЙ Шумилина М.А.

Шумилина Маргарита Алексеевна — магистрант, физико-математический факультет, Воронежский государственный педагогический университет, г. Воронеж

Аннотация: в статье рассмотрен алгоритм восстановления линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений как приложение определителя Вронского. На примерах показана реализация данного алгоритма, возможность его использования.

Ключевые слова: однородное линейное дифференциальное уравнение, фундаментальная система решений, определителем Вронского.

Приложения определителя Вронского при изучении дифференциальных уравнений часто обходят стороной. Одним из таких приложений является восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений, о котором практически нигде не упоминается, поэтому в статье показаны применение данного приложения при решении задач.

Предположим, дана система функций на отрезке с определителем

Вронского Ш ( х) не равным нулю. Необходимо составить линейное однородное уравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций у1 (х) ,у2(х) ,. . . ,уп (х) .

Эта задача решается довольно легко. Так как общее решение этого уравнения должно иметь вид: 3 = С1У1 (х) + С2у2(х) + —I- Спуп(х) , система функций у(х) ,У1(х) ,у2(х) ,. . .,уп (х) линейно зависима, поэтому её вронскиан (имеющий порядок п + 1) должен быть равен нулю: у(х) у^х) . уп(х)

у ( х) у1 ( х) . ■ ■ у1 (х) = о. Раскрывая этот определитель по первому столбцу, получим

уМ(х) у[п\х) . у^п)(х) искомое уравнение. [2, с. 98]

Пример №1. Составить приведенное однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее фундаментальную систему решений: у1 (х) = 5 ¿пх,у2(х) = £дх. [1] Решение. Составляем определитель третьего порядка:

этх соэх — этх 1 2этх

и приравниваем его к нулю. Раскрывая определитель, получаем:

/sinx \ „ (2sin2x sin2x\ , 3sinx

-5—sinx у — -— +- y+-—у = 0

\cos¿x ) \coszx COS XJ cos¿x

„ sin2x(2 + cos2x) , 3sinx У——-у +7777ГУ = 0

COS2X COS3X COS2X’

Значит, приведенное уравнение имеет вид:

sinx cos х sinx

Его особыми точками являются точки, где s i n х = 0 или со s х = 0 , т.е точки х = —, tt£Z. Алгоритм составления линейного однородного уравнения по заданной фундаментальной системе решений, состоящей из функций у! (х) ,у2(х) ,. . .,уп (х) выглядит следующим образом:

1) найти производные данных функций до и-го порядка;

2) составить вронскиан имеющий порядок п + 1 ;

3) приравнять данный вронскиан к нулю;

4) раскрыть определитель Вронского, упростить выражение;

5) записать полученное уравнение.

Рассмотрим восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений, на конкретном примере №2, представленном в таблице 1.

Задание Последовательность решения Методика решения

Необходимо построить линейное однородное дифференциальное уравнение, по имеющееся в качестве фундаментальной системы решений функции х, х 1пх. [3] 1 „ 2 m 6 у’2 = 1, у; = о , у;’ = о. Уз = 1пх + 1, Уз’ = ^Уз’ = -^. Находим производные данных функций.

W(x) = 1 У х х xlnx 1 1 lnx+1 у —

2 2 1 у — 0 — X3 X б 1 У —I о —? ‘ X4 X2 = 0 Составим вронскиан и приравняем к нулю, что соответствует искомому дифференциальному уравнению.

X , 1 у—т Inx + 1 X2 „ 2 1 У X3 X ,„ 6 1 У 0 1 у — xlnx X „ 2 1 У X3 X ,„ б 1 У Раскроем определитель по третьему столбцу.

( 2 , 6(1пх + 1) „ у'» х=У х* У х3 2(/пх+1) ,„ у» х3 У X4 / 2 61пх „ \ х=У х3 У у'» 21пх ,„ у» х2 х2 У X3 Разложим оба определителя третьего порядка по правилу треугольников или правилу Саррюса.

4 4 , 8 „ 4 ,„ Упростим выражение, раскрыв скобки.

х3у»‘ + 2х2у» — ху’ + у = 0 Умножим на — х 5 и разделим на 4.

На примере показана работа составленного алгоритма и возможность его применения при решении задач. С помощью подробного, поэтапного разбора решения, рассмотрена возможность восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Данное приложение определителя Вронского может быть использовано при изучении дифференциальных уравнений. Выполнение данной задачи по алгоритму помогает обучающимся усвоить материал.

1. Виленкин Н.Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. / Н.Я. Виленкин, М.А. Доброхотова, А.Н. Сафонов. М.: Просвещение, 1984. 176 с.

2. Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. М.: МГИУ, 2007. 254 с.

3. Степанов В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1950. 473 с.

ЛДУ с переменными коэффициентами. Метод Лагранжа

Линейные дифференциальные уравнения с переменные коэффициентами

Если известно частное решение уравнения

то его порядок можно понизить на единицу (не нарушая линейности уравнения), полагая , где — новая неизвестная функция, а затем делая замену (можно непосредственно делать замену ).

Если известно частных линейно независимых решений уравнения (32), то порядок уравнения может быть понижен на единиц.

Общее решение уравнения

есть сумма какого-нибудь его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (32).

Если известна фундаментальная система соответствующего однородного уравнения (32), то общее решение неоднородного уравнения (33) может быть найдено методом вариации постоянных ( метод Лагранжа ).

Общее решение уравнения (32) имеет вид

где — произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (33) в виде

где — некоторые пока неизвестные функции от . Для их определения получаем систему

Разрешая эту систему относительно , получаем

где — произвольные постоянные. Внося найденные значения в (34), получаем общее решения уравнения (33).

В частности, для уравнения второго порядка

Решая (36) относительно и , получаем

где и — постоянные интегрирования.

Замечание. Для уравнения , где , система (36) будет выглядеть так:

Пример 1. Найти общее решение уравнения , если есть его частное решение.

Решение. Положим , где — новая неизвестная функция от , тогда

Подставляя в данное уравнение, получаем

Но так как есть частное решение данного уравнения, то , поэтому имеем

Но , а значит , и уравнение (37) примет вид

Перепишем его в виде . Отсюда имеем , откуда

Интегрируя это уравнение, найдем и, следовательно, общее решение данного уравнения будет

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. пример 1)

и следовательно, его фундаментальная система решений будет

Будем искать общее решение данного уравнения методом вариации произвольных постоянных:

где — постоянные неизвестные функции от , подлежащие определению. Для их нахождения составим следующую систему:

Отсюда находим: . Интегрируя, получаем

Подставляя эти значения и в выражение для , найдем общее решение данного уравнения

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Соответствующее однородное уравнение будет . Его характеристическое уравнение имеет мнимые корни , и общее решение однородного уравнения имеет вид

Общее решение исходного уравнения ищем в виде

где и — неизвестные функции от . Для их нахождения составим систему

Разрешаем эту систему относительно и :

Подставляя выражения и в (38), получаем общее решение данного уравнения

Здесь есть частное решение исходного неоднородного уравнения.

Пример 4. Зная фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, найти частное решение уравнения

Решение. Применяя метод вариации постоянных, находим общее решение уравнения (39):

При первые два слагаемых правой части (40) стремятся к бесконечности, причем при любых , неравных нулю одновременно, функция есть бесконечно большая функция при . Третье слагаемое правой части (40) имеет пределом ноль при , что легко установить с помощью правила Лопиталя. Таким образом, функция , которая получается из (40) при и , будет решением уравнения (39), удовлетворяющим условию .

Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений

Рассмотрим линейно независимую на отрезке систему функций

имеющих все производные до n-го порядка включительно. Тогда уравнение

где — неизвестная функция, будет линейным дифференциальным уравнением, для которого, как нетрудно видеть, функции составляют фундаментальную систему решений. Коэффициент при в (42) есть определитель Вронского системы (41). Те точки, в которых этот определитель обращается в ноль, будут особыми точками построенного уравнения — в этих точках обращается в ноль коэффициент при старшей производной .

Пример 1. Составить дифференциальное уравнение, для которого образуют фундаментальную систему решений.

Решение. Применяя формулу (42), получаем

Раскрывая определитель в левой части (43) по элементам третьего столбца, будем иметь . Это и есть искомое дифференциальное уравнение.

Пример 2. Составить дифференциальное уравнение, для которого функции фундаментальную систему решений образуют функции .

Решение. Составим уравнение вида (42):

Раскрывая последний определитель по элементам 3-го столбца, будем иметь

В этом примере определитель Вронского обращается в ноль при . Это не противоречит общей теории, в силу которой определитель Вронского фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения

с непрерывными на отрезке коэффициентами не обращается в ноль ни в одной точке отрезка . Записав уравнение (44) в виде

видим, что коэффициент при терпит разрыв при , так что в точке непрерывность коэффициентов уравнения (45) нарушается.

Разные задачи

Пусть — фундаментальная система линейного однородного уравнения

Тогда имеет место формула Остроградского–Лиувилля

где — определитель Вронского, а — любое значение из отрезка , на котором непрерывны коэффициенты уравнения.

Пример 1. Показать, что линейное дифференциальное уравнение имеет решение вида , где — некоторый многочлен. Показать, что второе решение этого уравнения имеет вид , где — также многочлен.

Решение. Будем искать решение в виде многочлена, например, первой степени: . Подставляя в уравнение, найдем, что . Пусть , тогда ;. таким образом, многочлен будет решением данного уравнения. Перепишем данное уравнение в виде

Пусть — второе частное решение данного уравнения, линейно независимое с первым. Находим определитель Вронского системы решений

здесь . Применяя формулу Остроградского–Лиувилля, будем иметь

где — любое значение , причем , или ; здесь . Для нахождения получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Деля обе части этого уравнения на , приведем его к виду

Фундаментальная система решений

Содержание:

Одним из важнейших понятий в теории однородных систем линейных ОДУ является понятие фундаментальной системы решений.

Определение 5.2. Линейно независимую в промежутке систему из вектор-функций вида (5.7), каждая из которых является в нем решением однородной системы п линейных ОДУ (5.3), называют фундаментальной системой решений для (5.3) в этом промежутке.

Теорема 5.7. Фундаментальные системы решений существуют.

Пусть чисел

образуют единичную матрицу размера n, определитель которой Рассмотрим n решений однородной системы (5.3), которые определены в некотором промежутке числовой прямой точке удовлетворяют начальным условиям Тогда получим в промежутке Т.

На основании теоремы 5.5 и определения 5.1 отсюда следует, что эти решения линейно независимы в промежутке Т и, согласно определению 5.2, образуют в нем фундаментальную систему решений для (5.3).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Запись в виде (5.3) соответствует нормальной однородной системе линейных ОДУ с переменными коэффициентами, поскольку элементы матрицы A(t) этой системы являются функциями независимого переменного t.

• Такие системы удается проинтегрировать и получить решение в виде аналитической зависимости лишь в исключительных случаях. Однако существует одна замечательная формула, связывающая между собой решения произвольной однородной системы (5.3) ОДУ с переменными коэффициентами.

Вычислим производную по t от определителя Вронского (5.6), составленного из решений системы ОДУ (5.3):

В (5.8) использовано правило вычисления производной от определителя квадратной матрицы размера п [II]. Так как определитель представляет собой сумму слагаемых с соответствующими знаками, а каждое слагаемое есть произведение п элементов, то, используя правило дифференцирования произведения п функций [II], приходим к записи (5.8). Вектор-функция является решением однородной системы (5.3), т.е. Поэтому первый определитель в правой части (5.8) имеет вид

Здесь использовано правило сложения определителей, а также то, что определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Аналогично второе, третье и т.д. (вплоть до последнего) слагаемые в (5.8) равны: С учетом этих выражений (5.8) принимает вид Отсюда следует, что определитель Вронского удовлетворяет линейному однородному ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем соотношение которое называют формулой Остроградского — Лиувил-ля (Ж. Лиувилль (1809-1882) — французский математик и механик, а о русском математике и механике М.В. Остроградском (1801-1861) см. Краткий исторический очерк.

Пример с решением №1

Рассмотрим нормальную систему ОДУ где — произвольная функция, непрерывная в некотором промежутке .

Решение:

Матрица этой системы Отсюда следует, что и формула Остроградского — Лиувилля принимает вид где

Итак, для двух произвольных решений рассматриваемой системы справедливо (5.11). Отметим, что (5.11) можно использовать для контроля точности получаемых решений системы

ОДУ при ее численном интегрировании

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система m линейных уравнений с п переменными называется однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю.

В общем случае однородная система (или система однородных уравнений) имеет вид:

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0; 0; 0). Действительно, набор значений неизвестных

удовлетворяет всем уравнениям системы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. По отношению к системе (1.25) система (1.34) называется приведенной.

Если в системе (1.34) то она имеет только одно нулевое решение (см. теорему 1.7).

ТЕОРЕМА 1.11. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестных, т.е. при

Следствие 1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение. Следствие 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Обозначим решение системы (1.34) в виде строки

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если строка — решение системы (1.34), то и строка — также решение этой системы.

2. Если строки — решения системы (1.34), то при любых с> и с2 их линейная комбинация — также решение данной системы.

Убедиться в справедливости указанных свойств решений системы линейных однородных уравнений можно непосредственной подстановкой их в уравнения системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Поэтому целесообразно найти такие линейно независимые решения системы (1.34), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы (1.34) является линейной комбинацией решений

ТЕОРЕМА 1.12. Если ранг г матрицы однородной системы линейных уравнений (1.34) меньше числа неизвестных n, то всякая ее фундаментальная система решений состоит из решений (или матрица фундаментальной системы имеет столбцов).

Поэтому общее решение системы (1.34) линейных однородных уравнений имеет вид:

(1.35)

где —любая фундаментальная система решений; — произвольные числа и Замечание. Общее решение системы линейных уравнений с п неизвестными (1.25) равно сумме общего решения соответствующей ей приведенной системы линейных уравнений (1.34) и произвольного частного решения этой системы (1.25).

Для нахождения фундаментальной системы решений предположим, что ранг Тогда базисные неизвестные этой системы линейно выражаются через свободные переменные Положим значения свободных переменных Затем находим второе решение, принимая Иными словами, мы последовательно присваиваем каждой свободной переменной единичное значение, положив остальные нулями.

Пример с решением №2

Найти решение и фундаментальную систему решения системы линейных однородных уравнений: Решение:

Составим матрицу системы, и прямым ходом метода Гаусса приведем ее к ступенчатому виду:

Выпишем систему уравнений: Обратный ход метода Гаусса дает значения базисных неизвестных выраженные через свободную переменную . Обозначим ее

Из последнего уравнения находим Затем, поднимаясь вверх по системе, определяем все неизвестные

Эти последние выражения представляют запись общего решения нашей однородной системы. Если теперь давать переменной с числовые значения, можно получить фундаментальное решение системы.

Поскольку ранг однородной системы равен четырем, то фундаментальная система решений для нее состоит из решения.

Положив значение свободной переменной (других свободных переменных у нас нет), получим фундаментальное решение системы:

Заметим, что если и решением будет нулевой вектор о; его называют тривиальным решением; этот вектор всегда есть среди решений однородной системы.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.