Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.
Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0
Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0
Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0
Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1
Задача 61629 Составить канонические уравнения: а).
Условие
Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В — точки, лежащие на кривой, F — фокус, a — большая (действительная) полуось, b — малая (мнимая) полуось, — эксцентриситет, — уравнение асимптот гиперболы, D — директриса кривой, 2c — фокусное расстояние), если
а). ; б). k = 1/2, = , в). D: y = -1.
Решение
a) Каноническое уравнение эллипса:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
Подставляем координаты точек A и B:
б) Каноническое уравнение гиперболы:
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
Уравнения асимптот y= ± (b/a) x
Уравнения асимптот y= ± k x; k=1/2
значит b/a=1/2 ⇒ [b] b=a/2[/b]
Нужна еще одна зависимость.
Подставляем в каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
если каноническое уравнение параболы имеет вид
x^2=2py, то фокус параболы
О т в е т. [b]x^2 = 4y [/b]
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Аналитическая геометрия
- Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.
Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Эллипс.
Эллипс с каноническим уравнением $\frac
Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.
Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt\geq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $\overline
Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.
Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)
Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$
Примеры.
2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$
б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt:$
$c=\sqrt<5^2-3^2>=\sqrt<16>=4\Rightarrow F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0).$
г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Ответ: а) $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0);$ в) $e=\frac<4><5>;$ г) $D_1: x=-\frac<25><4>$ и $D_2: x=\frac<25><4>.$
2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:
Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=\sqrt 5.$
Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac<3><2/3>=-\frac<9> <2>$ и $D_2: x=\frac<3><2/3>=\frac<9><2>.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$
Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ $a=3,$ $b=\sqrt 5;$ $ e=\frac<2><3>.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$
2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, \sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.
Решение.
Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$
Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, \sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $\frac
Таким образом, уравнение эллипса $\frac
Далее найдем координаты фокусов:
$c=\sqrt=\sqrt<16-4>=2\sqrt 3\Rightarrow F_1(-2\sqrt 3, 0),\,\,\, F_2(2\sqrt 3, 0).$
Отсюда находим $\overline
Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac
Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_1: \sqrt 3 x+8=0$
расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_2: \sqrt 3 x-8=0$
Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) — $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.
Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt\geq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $\overline
Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы.
Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).
Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей дирек трисы постоянно и равно $e.$
Примеры.
2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:
а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$
б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt:$
$c=\sqrt<3^2+4^2>=\sqrt<25>=5\Rightarrow F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0).$
г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=\pm\fracx:$
д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Ответ: а) $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0);$ в) $e=\frac<5><3>;$ г) $y=\pm\frac<4><3>x;$ д ) $D_1: x=-\frac<9><5>$ и $D_2: x=\frac<9><5>.$
2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.
Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:
Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$
Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=\pm\fracx,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=\pm\frac(x-x_0),$
$$y+3=\frac<4><3>(x-2)\Rightarrow 3y+9=4x-8\Rightarrow 4x-3y-17=0.$$
$$y+3=-\frac<4><3>(x-2)\Rightarrow 3y+9=-4x+8\Rightarrow 4x+3y+1=0.$$
Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac<3><5/3>=-\frac<9> <5>$ и $D_2: x=\frac<3><5/3>=\frac<9><5>.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$
Ответ: $C=(2, -3);$ $a=3,$ $b=4;$ $ e=\frac<5><3>,$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$
2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac
Решение.
Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:
Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac
Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:
Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|\overline
Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac<4><5/4>\Rightarrow x=-\frac<16><5>\Rightarrow 5x+16=0;$
$D_2: x=\frac<4><5/4>\Rightarrow x=\frac<16><5>\Rightarrow 5x-16=0;$
Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac
Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: \sqrt 5x+16=0$
расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: \sqrt 5x-16=0$
Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=\frac<41><4>;$ $d_1=\frac<41><5>;$ $d_2=\frac<9><5>.$
2.273. Найти точки гиперболы $\frac
Решение.
Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, \, b=4.$ Следовательно, $c=\sqrt\Rightarrow c=\sqrt<9+16>=\sqrt <25>=5.$
Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$
Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$
Чтобы н айти точки гиперболы $\frac
Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$
Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=\pm\sqrt<24-2,4^2-10\cdot 2,4>=\sqrt<-5,76>$ — нет корней .
Ответ: $(-6, \pm4\sqrt 3).$
Парабола.
Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.
Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$ — осью параболы.
Точка $F\left(\frac
<2>, 0\right)$ называется фокусом параболы, вектор $\overline
Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой.
Примеры.
2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.
Решение.
Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $
$$y^2=6x\Rightarrow y^2=2\cdot 3x\Rightarrow p=2.$$
Ответ: $p=3.$
2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$
Решение.
Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:
Ответ: $y^2=-x.$
2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$
Решение.
Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$
Приведем заданное уравнние к такому виду:
Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ — парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$
Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$
2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$
Решение.
Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12x\Rightarrow 36=12x\Rightarrow x=3.$$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$
Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$
Далее находим фокальный параметр точки:
Ответ: $6.$
2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $\alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света, причем $tg\alpha=\frac<3><4>.$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.
Решение.
Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$
Координаты фокуса $F(p/2, 0)\Rightarrow F(3,0).$
Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $\alpha: tg\alpha=\frac<3><4>$ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tg\alpha=\frac<3><4>.$
Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$
$0=\frac<3><4>\cdot 3+b\Rightarrow b=-\frac<9><4>.$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=\frac<3><4>x-\frac<9><4>.$
Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:
Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=\frac<18^2><12>=\frac<324><12>=27.$
Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$
Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$
Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:
$y-18=\frac<1><3>(x-27)\Rightarrow 3y-54=x-27\Rightarrow x-3y+27=0.$
Далее, найдем угол $\beta$ между лучем $y=\frac<3><4>x-\frac<9><4>$ и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=\frac
$$L_2: x-3y+27=0\Rightarrow y=\frac<1><3>x+9\Rightarrow k_2=\frac<1><3>.$$
Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $\pi-2\beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $\pi-(\pi-2\beta)-\alpha=2\beta-\alpha.$
Зная $tg\beta=\frac<1><3>$ и $tg\alpha=k_1=\frac<3><4>$ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2\beta-\alpha):$
$$tg(2\beta-\alpha)=\frac
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=61629
http://mathportal.net/index.php/analiticheskaya-geometriya/ellips-giperbola-parabola-direktorialnoe-svojstvo-ellipsa-i-giperboly