Составить каноническое уравнение эксцентриситет это

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Получаем фокусы эллипса:

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Эллипс

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac>>+\frac>>=1\label
$$
при условии $a \geq b > 0$.

Из уравнения \eqref следует, что для всех точек эллипса $|x| \leq a$ и $|y| \leq b$. Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами $2a$ и $2b$.

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты $(a, 0)$, $(-a, 0)$, $(0, b)$ и $(0, -b)$, называются вершинами эллипса. Числа $a$ и $b$ называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты $(x, y)$ какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты $(-x, y)$, $(x, -y)$ и $(-x, -y)$ точек $M_<1>$, $M_<2>$ и $M_<3>$ (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса $a$ с центром в центре эллипса: $x^<2>+y^<2>=a^<2>$. При каждом $x$ таком, что $|x| Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении \(b/a$.

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Фокусами называются точки $F_<1>$ и $F_<2>$ с координатами $(c, 0)$ и $(-c, 0)$ в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности $c=0$, и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Отметим, что \(\varepsilon Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки $M(x, y)$, лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы $x$:
$$
r_<1>=|F_<1>M|=a-\varepsilon x,\ r_<2>=|F_<2>M|=a+\varepsilon x.\label
$$

Очевидно, что $r_<1>^<2>=(x-c)^<2>+y^<2>$. Подставим сюда выражение для $y^<2>$, найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_<1>^<2>=x^<2>-2cx+c^<2>+b^<2>-\fracx^<2>>>.\nonumber
$$

Учитывая равенство \eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_<1>^<2>=a^<2>-2cx+\fracx^<2>>>=(a-\varepsilon x)^<2>.\nonumber
$$
Так как $x \leq a$ и \(\varepsilon Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса $2a$.

Необходимость. Если мы сложим равенства \eqref почленно, то увидим, что
$$
r_<1>+r_<2>=2a.\label
$$
Достаточность. Пусть для точки $M(x, y)$ выполнено условие \eqref, то есть
$$
\sqrt<(x-c)^<2>+y^<2>>=2a-\sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.\nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^<2>=a\sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.\label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение \eqref. Мы придем к $b^<2>x^<2>+a^<2>y^<2>=a^<2>b^<2>$, равносильному уравнению эллипса \eqref.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса $\varepsilon$.

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть $M_<0>(x_<0>, y_<0>)$ — точка на эллипсе и $y_ <0>\neq 0$. Через $M_<0>$ проходит график некоторой функции $y=f(x)$, который целиком лежит на эллипсе. (Для $y_ <0>> 0$ это график $f_<1>(x)=b\sqrt<1-x^<2>/a^<2>>$, для \(y_ <0>Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке $M_<0>(x_<0>, y_<0>)$ есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Рис. 8.5.

Эксцентриситет гиперболы, формула и примеры

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,
если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,
если Δ http://matecos.ru/mat/matematika/krivye-vtorogo-poryadka.html

Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется число e, равное отношению половины расстояния между фокусами гиперболы к ее действительной полуоси.
Эксцентриситетом эллипса называется число e, равное отношению половины расстояния между фокусами эллипса к его большой полуоси.
Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные ее действительной оси и находящиеся от центра на расстоянии, равном отношению действительной полуоси к эксцентриситету.
Директрисами эллипса называются прямые, перпендикулярные его большой оси и находящиеся от центра на расстоянии, равном отношению большой полуоси к эксцентриситету.

, (1)

, (1I)

, a >b (2)

, a 1 (e https://infopedia.su/12×3911.html

Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам

Каноническое уравнение гиперболы

Большая полуось гиперболы

Малая/мнимая полуось гиперболы

Эксцентриситет гиперболы

Фокальный параметр

Фокальное расстояние

Перицентрическое расстояние

Уравнение гиперболы в каноническом виде имеет вот такой вид.

Так же как и при расчете уравнения эллипса по двум точкам, мы можем по двум точкам однозначно построить гиперболу, выраженную через вышеуказанную формулу.

Используя универсальный калькулятор расчет кривой второго порядка на плоскости по точкам, мы легко определим значения и

Кроме этого, зная эти параметры можно рассчитать следующее:
Большая полуось — расстояние от центра гиперболы, до одной из вершин
Фокальное расстояние — расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов
Мнимая полуось — расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат
Связь между тремя параметрами выражена в одной формуле

Эксцентриситет — коэффициент, численно равный, отношению фокусного расстояния к большой полуоси гиперболы

Фокальный параметр —расстояние от фокуса до гиперболы вдоль прямой, параллельной оси ординат

Прицельный параметр — расстояние от фокуса до асимптоты. Численно равен малой полуоси гиперболы.

Перицентрическое расстояние —расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы

Примеры задач

Cоставить каноническое уравнение гиперболы по двум точкам

Вводим данные в поля ввода. Можем писать как выражение, учитвая что квадратный корень обозначается sqrt, а можем сначала получить численные значения и подставить уже окончательные результаты.

В результате получим

Каноническое уравнение гиперболы
Большая полуось гиперболы
4.47213595499958
Малая/мнимая полуось гиперболы
3.4641016147913444
Эксцентриситет гиперболы
1.1661903789073205
Фокальный параметр
1.79999999928
Фокальное расстояние
5.830951894536603
Перицентрическое расстояние
0.8309518945366023

Есть небольшая погрешность в вычислениях, вместо 2.9999999999 должно быть 3. Но думаю, что клиенты отнесутся с снисхождением, к одной десяти миллионной погрешности.

Эксцентриситет гиперболы

Он служит для характеристики формы
гиперболы.

Определение:Эксцентриситетом
гиперболыназывается отношение половины фокусного
расстояния к действительной полуоси,
т.

е,
где,
для гиперболы

Чем меньше эксцентриситет, то есть чем
ближе он к “1”, тем меньше ,
тем меньше, следовательно, отношение,значит,
более вытянут её прямоугольник в
направлении оси, соединяющей вершины
гиперболы.

если a=b, то имеем гиперболуили, которая называется равноостной гиперболой.

Определение:Гиперболыиназываются сопряжёнными гиперболами.

Построим сопряжённые гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы равен,
Примеры.

Решение: Уданной гиперболыa=4
— мнимая полуось,b=3 –
действительная полуось и.
Таким образом.

Решение:(мнимая
полуось).(равноосная
гипербола).

Парабола

Определение:Параболой называется
геометрическое место точек плоскости
равноудалённых от данной точки, называемой
фокусом и от данной прямой, называемой
директрисой, расположенных на этой
плоскости.

Вывод уравнения параболы

В прямоугольной декартовой системе
координат расположим директрису и фокус
следующим образом:
p>0.
“p”-расстояние от фокуса
до директрисы.

png» width=»56″>- уравнение директрисы параболы,-фокус
параболы, точкапараболе.

По определению параболы имеем: MF=MB(1)

Заменим

png» width=»217″>Получим уравнение параболы в этой
системе координат:(2), упростим его:

Примечание 1:Надо доказать что
уравнение (3) есть уравнение данной
параболы. Доказательство смотрите в
учебнике Н. В.

Ефимова (краткий курс
аналитической геометрии, М. 2005, стр. 96).

Таким образом уравнение -простейшее,
т.е. каноническое уравнение параболы,
определяющее параболу в некоторой
системе декартовых координат, есть
уравнение 2-ой степени, относительно
“y”.

Форма параболы

, т.е. параболалежит справа от осиOY(х=0)

При т.е.О(0;0)параболе и называется вершиной параболы.

При неограниченном возрастании “x” неограниченно возрастает и ”y”:.

Направление параболы в точке О(0;0) перпендикулярно к оси ОХ;

Часть параболы, лежащая в верхней полуплоскости, своей выпуклостью обращена “вверх”.

Не будем доказывать эти свойства, т.к.
такого рода исследование линии наиболее
естественно проводить средствами
математического анализа.

Виды парабол

Уравнение (p>0) сводится к уравнениюпутём замены “x” на
“—x”, т.е.

путём
преобразования координат, которое
соответствует изменению осиOXна противоположное. Отсюда следует, что
уравнение

png» width=»77″>также определяет параболу, ось которой
совмещена с осьюOX, а
вершина – с началом координат, но
котонная расположена в левой полуплоскости
().

Осью симметрии любой параболы является та ось, одноимённая координата которой входит в 1-ой степени . Или так: если переменная “y” в уравнении параболы входит в чётной степени, то график симметричен относительно оси ОХ(y=0).

,
здесь “х” – в 1-ой степени и,
следовательно, осью симметрии является
ось ОХ(y=0).

Знак “+” в уравнениях и, (p>0), перед (2px) и (2py) указывает на то, что ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии.

Знак “-” перед (2px)
и (2py) указывает
на то что, ветви параболы направлены в
отрицательном направлении оси симметрии.
Это имеет место, так как ,
следовательно,;
,
следовательно,;
,
следовательно,;
Пример.
Построить кривую по уравнению, её
директрису, фокус:

Решение: Имеем ,
следовательно,.

Гипербола определение, свойства и виды, каноническое уравнение, формула нахождения фокуса, алгоритмы и примеры построения графика функции

При упоминании термина «гипербола» человек с поэтическим складом мышления подумает о преувеличенном сопоставлении. В крайности доходящем до абсурда.

Близкий к математике представит нечто подобное:

Это родственные кривые, полученные при сечении конуса плоскостью. Парабола, эллипс (окружность), гипербола.

Что такое гипербола в математике

Это геометрическое место точек M, физическая разница расстояний от которых до выбранных (F1, F2), называемых фокусами, постоянна.

Оговоримся, что все сказанное относится к Евклидовой плоскости, где параллельные прямые не пересекаются.

Но если из отрезка |F1F2| соорудить координатную прямую X, за начальную точку взять середину (она же будет центром гиперболы) отрезка, то получим декартову систему координат. Где кривая описывается алгебраическим уравнением II-го порядка.

Получим классическую формулу аналитической геометрии:
где a – действительная полуось, b – мнимая.
Особенности:

поскольку x и y связаны квадратной зависимостью, обе оси будут осями симметрии;
пересечения с осью абсцисс (фокусов) с координатами ±a называются вершинами гиперболы, и расстояние между ними является минимальной дистанцией между ветвями (о последних ниже);
кратчайший отрезок от фокуса до вершины зовется перицентрическим расстоянием и пишется «rp».

Асимптоты и фокусы гиперболы

Фокусы находятся на оси X (из этого исходили). Расстояние до центра гиперболы (он же центр симметрии C) называется фокальным и обозначается «c». Его формула:

Умозрительно очевидно, что сечение конуса состоит из двух кривых. Называются они ветвями гиперболы. Также не подлежит сомнению то, что ветви ограничены воображаемой поверхностью. Фокусы всегда находятся внутри ветвей.

Помучившись с производными и пределами, получим формулы асимптот (прямые, расстояние до которых от кривой стремится к нулю на бесконечном удалении от «0»):
Дистанцию от фокуса до асимптоты зовут прицельным параметром и обозначают буквой «b».

Как построить график функции гиперболы

Существует много ресурсов, где можно онлайн наблюдать, как строится функция. Но нужно все уметь самому. Итак, давайте учиться.

Построим для примера график уравнения

По формуле выше выстраиваем асимптоты.

Отмечаем вершины х = ±2 (А1, А2). Приблизительный вид уже ясен.

При х = ±3, y = ±3,5 (примерно).

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом считают величину:
Или, в иной записи:
Является параметром, характеризующим отклонение конического сечения от окружности:

Равнобочная (равносторонняя) гипербола

Таковой кривая является при условии a = b. Если покрутить систему координат, функцию можно свести к виду:
Эксцентриситет данной конструкции составит квадратный корень из 2.

Иначе говоря, получаем график обратной пропорциональности:

Или «любимую» школьниками.

Коль уж речь зашла о школьном курсе, добавим сведений:

прямые x = 0, y = 0 – асимптоты;
область определения – все действительные числа, кроме 0;
область значений – все, за исключением 0;
функция нечетная, поскольку меняет знак при смене знака аргумента;
убывающая при положительных и отрицательных x.

Касательная и нормаль

В каждой точке гладкой кривой возможно построить касательную и нормаль (перпендикуляр). Гипербола – не исключение. Касательная – прямая, совпадающая с кривой только в одной точке (в пределах изгиба одного порядка).

Уравнение касательной в точке с координатами (x0y0) имеет вид:
В другой форме:
Для нормали:

Сопряженные гиперболы

Записанное таким образом уравнение даст сопряженную фигуру:
То есть с теми же асимптотами, но расположенную по-другому, с поворотом на 90°.
Пример на рисунке.

Свойства гиперболы

Их должен знать каждый школьник:

Касательная в произвольной точке H окажется биссектрисой угла F1HF2.

Кривая симметрична относительно осей и своего центра.

Отсеченный асимптотами отрезок касательной делится точкой соприкосновения пополам. Площадь же выделенного треугольника не меняется от изменения точки.

Использование

Где применяются знания о гиперболе:

для создания эллиптических и других координат;
в солнечных часах (сечение конуса света);
для анализа движения космических объектов.

Заключение

Непростая кривая с неожиданными в некоторых случаях применением. Что удивительно, задача о сечениях конуса была поставлена древнегреческими учеными во II-м веке до нашей эры. Это говорит о высочайшем уровне тогдашних инженеров.

Нет, солнечные часы понятно были, а мелких искусственных спутников не было точно. И астероиды не исследовали, но вопросы возникали. И были ответы без ссылок на многочисленных богов. Удивительные люди.

Кривые второго порядка эллипс, окружность, парабола, гипербола (стр. 1 из 2)

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южно-Уральский государственный университет.
Факультет Коммерции
Кафедра «Товароведение и экспертиза потребительских товаров»
«Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола»
РЕФЕРАТ
По дисциплине Высшая математика.
Проверила
Пермина Александра Николаевна
Автор работы
студент группы 131
Кравченко Ольга Владимировна
Реферат защищен
с оценкой________________
Челябинск 2009
Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола.
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.
Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.
Кривая второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением:

Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 есть заданная постоянная величина, называется эллипсом.

Каноническое уравнение эллипса.

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Число a называют большой полуосью эллипса, а число b – его малой полуосью.

Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой ( F1X) равен углу между этой касательной и прямой ( F2X) .
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
Эволютой эллипса является астроида.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение . Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Эллипс также можно описать как

фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
ортогональную проекцию окружность на плоскость.
Пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Каноническое уравнение окружности.

Общее уравнение окружности записывается как:

— центр окружности, R — её радиус.

Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:

Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Длину окружности с радиусом R можно вычислить по формуле C = 2π R.
Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги лежащей в угле и дуги напротив нее.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.
Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.
Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей проходящей через выбранную точку не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.
Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.
Окружность является простой плоской кривой второго порядка.
Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат: (или , если поменять местами оси)

где р (фокальный параметр) — расстояние от фокуса до директрисы

Парабола — кривая второго порядка.
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Для параболы с вершиной в начале координат (0; 0) и положительным направлением ветвей фокус находится в точке (0; 0,25).
Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
Парабола является антиподерой прямой.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

· Прямая пересекает параболу не более чем в двух точках.
· Эксцентриситет параболы е=1.
Гипербола.
Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой.

Для любой гиперболы можно найти декартову систему координат такую, что гипербола будет описываться уравнением:

и называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

· Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы.

Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу).

По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

· Каждая гипербола имеет пару асимптот:
· Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы
· Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.Эксцентриситет гиперболы e> 1
· Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы

Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет

Гипербола и парабола

Переходим ко второй части статьи о линиях второго порядка, посвященной двум другим распространённым кривым – гиперболе и параболе.

Если вы зашли на данную страницу с поисковика либо ещё не успели сориентироваться в теме, то рекомендую сначала изучить первый раздел урока, на котором мы рассмотрели не только основные теоретические моменты, но и познакомились с эллипсом.

Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)

Гипербола и её каноническое уравнение

Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса, здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».

Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….

У гиперболы две симметричные ветви.
У гиперболы две асимптоты.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4

Решение: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:

Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей уже не обойтись:

Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :

Как построить гиперболу?

Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический. С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля… я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.

Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:

1) Прежде всего, находим асимптоты. Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.

2) Теперь находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках . Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины

3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает 2-3-х. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-ой координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса. Из канонического уравнения на черновике выражаем: Уравнение распадается на две функции:

– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
Напрашивается нахождение точек с абсциссами :
4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:
Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.
Отрезок называют действительной осью гиперболы, его длину – расстоянием между вершинами; число называют действительной полуосью гиперболы; число – мнимой полуосью.
В нашем примере: , и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся.
Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет

– определяет нижние дуги гиперболы.

У гиперболы, точно так же, как и у эллипса, есть две особенные точки , которые называются фокусами. Не говорил, но на всякий случай, вдруг кто неверно понимает: центр симметрии и точки фокуса, разумеется, не принадлежат кривым.

Общая концепция определения тоже похожа:

Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .

Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов рассчитывается по формуле: . И, соответственно, фокусы имеют координаты .

Для исследуемой гиперболы :
Разбираемся в определении. Обозначим через расстояния от фокусов до произвольной точки гиперболы:
Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль (абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же:
Если точку «перекинуть» на левую ветвь, и перемещать её там, то данное значение останется неизменным.

Знак модуля нужен по той причине, что разность длин может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви (поскольку отрезок короче отрезка ). Для любой точки левой ветви ситуация ровно противоположная и .

Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать.

Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы . Тогда: , что и требовалось проверить.

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение .
Так как расстояние от центра до фокуса больше расстояния от центра до вершины: , то эксцентриситет гиперболы всегда больше «единицы»: .
Для данного примера: .
По аналогии с эллипсом, зафиксировав значение , желающие могут провести самостоятельный анализ и проверку следующих фактов:

При увеличении эксцентриситета ветви гиперболы «распрямляются» к оси . В предельном случае они стремятся занять положение двух прямых, проходящих через точки параллельно оси ординат.

Если же значение эксцентриситета приближается к единице, то ветви гиперболы «сплющиваются» к оси .
Равносторонняя гипербола
На практике часто встречается гипербола с равными полуосями. Если , то каноническое уравнение заметно упрощается:
А вместе с ним упрощаются и уравнения асимптот:

Прямые пересекаются под прямым углом и «справедливо» делят координатную плоскость на 4 одинаковые части, в двух из которых находятся ветви кривой. Образно говоря, равносторонняя гипербола «идеально сложена», то есть и не растянута и не сплющена.

Так как , то , следовательно, эксцентриситет любой равносторонней гиперболы равен: .
Предлагаю закрепить теорию и практические навыки миниатюрной задачей:
Пример 5
Построить гиперболу и найти её фокусы.

Это пример для самостоятельного решения. Кто пропустит, тот пропустит многое 😉 Решение и чертёж в конце урока.

Начнём тревожить беззаботное существование нашей кривой:

источники:

http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/ellipse/

http://student-madi.ru/matematika/ekstsentrisitet-giperboly-formula-i-primery.html

Составить каноническое уравнение эксцентриситет это

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Понятие о кривых второго порядка

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Эллипс

Определение эллипса.

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

Уравнение касательной к эллипсу.

Эксцентриситет гиперболы, формула и примеры

<img decoding="async" src="https://student-madi.ru/wp-content/uploads/2020/04/00a75d0c5133f91dcc25acd02a73855f.gif" />

<img decoding="async" src="https://student-madi.ru/wp-content/uploads/2020/04/4d05abecec538b78a442cad282cc2f0c.gif" />

Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы

Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам

Примеры задач

Эксцентриситет гиперболы

Парабола

Вывод уравнения параболы

Форма параболы

Виды парабол

Гипербола определение, свойства и виды, каноническое уравнение, формула нахождения фокуса, алгоритмы и примеры построения графика функции

Что такое гипербола в математике

Асимптоты и фокусы гиперболы

Как построить график функции гиперболы

Эксцентриситет гиперболы

Равнобочная (равносторонняя) гипербола

Касательная и нормаль

Сопряженные гиперболы

Свойства гиперболы

Использование

Заключение

Кривые второго порядка эллипс, окружность, парабола, гипербола (стр. 1 из 2)

Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет