Составить каноническое уравнение эллипса онлайн

Как видно, одна из осей не может быть определена, так как нам придется брать корень квадратный из отрицательного числа, а следовательно одна из осей будет комплексным числом, что быть не может.

Таким образом по этим двум точкам, нельзя построить эллипс.

А что же можно построить? Перейдя по ссылке данной в начале статьи, мы можем увидеть что это каноническое уравнение гиперболы.

Более подробно, про гиперболу есть отдельный калькулятор Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам

Ellipse Calculator

This calculator will find either the equation of the ellipse from the given parameters or the center, foci, vertices, co-vertices, (semi)major axis length, (semi)minor axis length, area, circumference, latera recta, length of the latera recta, focal parameter, focal length (distance), eccentricity, linear eccentricity, directrices, x-intercepts, y-intercepts, domain, and range of the entered ellipse. Also, it will graph the ellipse. Steps are available.

Your Input

Find the center, foci, vertices, co-vertices, major axis length, semi-major axis length, minor axis length, semi-minor axis length, area, circumference, latera recta, length of the latera recta, focal parameter, focal length, eccentricity, linear eccentricity, directrices, x-intercepts, y-intercepts, domain, and range of the ellipse $$$ 4 x^ <2>+ 9 y^ <2>= 36 $$$ .

Solution

The equation of an ellipse is $$$ \frac<\left(x - h\right)^<2>>> + \frac<\left(y - k\right)^<2>>> = 1 $$$ , where $$$ \left(h, k\right) $$$ is the center, $$$ a $$$ and $$$ b $$$ are the lengths of the semi-major and the semi-minor axes.

Thus, $$$ h = 0 $$$ , $$$ k = 0 $$$ , $$$ a = 3 $$$ , $$$ b = 2 $$$ .

The vertex form is $$$ \frac> <9>+ \frac> <4>= 1 $$$ .

The general form is $$$ 4 x^ <2>+ 9 y^ <2>— 36 = 0 $$$ .

The linear eccentricity is $$$ c = \sqrt — b^<2>> = \sqrt <5>$$$ .

The first focus is $$$ \left(h — c, k\right) = \left(- \sqrt<5>, 0\right) $$$ .

The second focus is $$$ \left(h + c, k\right) = \left(\sqrt<5>, 0\right) $$$ .

The first vertex is $$$ \left(h — a, k\right) = \left(-3, 0\right) $$$ .

The second vertex is $$$ \left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right) $$$ .

The first co-vertex is $$$ \left(h, k — b\right) = \left(0, -2\right) $$$ .

The second co-vertex is $$$ \left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right) $$$ .

The length of the major axis is $$$ 2 a = 6 $$$ .

The length of the minor axis is $$$ 2 b = 4 $$$ .

The area is $$$ \pi a b = 6 \pi $$$ .

The circumference is $$$ 4 a E\left(\frac<\pi><2>\middle| e^<2>\right) = 12 E\left(\frac<5><9>\right) $$$ .

The focal parameter is the distance between the focus and the directrix: $$$ \frac> = \frac<4 \sqrt<5>> <5>$$$ .

The latera recta are the lines parallel to the minor axis that pass through the foci.

The first latus rectum is $$$ x = — \sqrt <5>$$$ .

The second latus rectum is $$$ x = \sqrt <5>$$$ .

The length of the latera recta is $$$ \frac<2 b^<2>>> = \frac<8> <3>$$$ .

The first directrix is $$$ x = h — \frac> = — \frac<9 \sqrt<5>> <5>$$$ .

The second directrix is $$$ x = h + \frac> = \frac<9 \sqrt<5>> <5>$$$ .

The x-intercepts can be found by setting $$$ y = 0 $$$ in the equation and solving for $$$ x $$$ (for steps, see intercepts calculator).

x-intercepts: $$$ \left(-3, 0\right) $$$ , $$$ \left(3, 0\right) $$$

The y-intercepts can be found by setting $$$ x = 0 $$$ in the equation and solving for $$$ y $$$ : (for steps, see intercepts calculator).

y-intercepts: $$$ \left(0, -2\right) $$$ , $$$ \left(0, 2\right) $$$

The domain is $$$ \left[h — a, h + a\right] = \left[-3, 3\right] $$$ .

The range is $$$ \left[k — b, k + b\right] = \left[-2, 2\right] $$$ .

Answer

Standard form: $$$ \frac><3^<2>> + \frac><2^<2>> = 1 $$$ A.

Vertex form: $$$ \frac> <9>+ \frac> <4>= 1 $$$ A.

General form: $$$ 4 x^ <2>+ 9 y^ <2>— 36 = 0 $$$ A.

First focus-directrix form: $$$ \left(x + \sqrt<5>\right)^ <2>+ y^ <2>= \frac<5 \left(x + \frac<9 \sqrt<5>><5>\right)^<2>> <9>$$$ A.

Second focus-directrix form: $$$ \left(x — \sqrt<5>\right)^ <2>+ y^ <2>= \frac<5 \left(x - \frac<9 \sqrt<5>><5>\right)^<2>> <9>$$$ A.

Graph: see the graphing calculator.

Center: $$$ \left(0, 0\right) $$$ A.

First focus: $$$ \left(- \sqrt<5>, 0\right)\approx \left(-2.23606797749979, 0\right) $$$ A.

Second focus: $$$ \left(\sqrt<5>, 0\right)\approx \left(2.23606797749979, 0\right) $$$ A.

First vertex: $$$ \left(-3, 0\right) $$$ A.

Second vertex: $$$ \left(3, 0\right) $$$ A.

First co-vertex: $$$ \left(0, -2\right) $$$ A.

Second co-vertex: $$$ \left(0, 2\right) $$$ A.

Major axis length: $$$ 6 $$$ A.

Semi-major axis length: $$$ 3 $$$ A.

Minor axis length: $$$ 4 $$$ A.

Semi-minor axis length: $$$ 2 $$$ A.

Area: $$$ 6 \pi\approx 18.849555921538759 $$$ A.

Circumference: $$$ 12 E\left(\frac<5><9>\right)\approx 15.86543958929059 $$$ A.

First latus rectum: $$$ x = — \sqrt<5>\approx -2.23606797749979 $$$ A.

Second latus rectum: $$$ x = \sqrt<5>\approx 2.23606797749979 $$$ A.

Length of the latera recta: $$$ \frac<8><3>\approx 2.666666666666667 $$$ A.

Focal parameter: $$$ \frac<4 \sqrt<5>><5>\approx 1.788854381999832 $$$ A.

Eccentricity: $$$ \frac<\sqrt<5>><3>\approx 0.74535599249993 $$$ A.

Linear eccentricity: $$$ \sqrt<5>\approx 2.23606797749979 $$$ A.

First directrix: $$$ x = — \frac<9 \sqrt<5>><5>\approx -4.024922359499621 $$$ A.

Second directrix: $$$ x = \frac<9 \sqrt<5>><5>\approx 4.024922359499621 $$$ A.

x-intercepts: $$$ \left(-3, 0\right) $$$ , $$$ \left(3, 0\right) $$$ A.

y-intercepts: $$$ \left(0, -2\right) $$$ , $$$ \left(0, 2\right) $$$ A.

Domain: $$$ \left[-3, 3\right] $$$ A.

Range: $$$ \left[-2, 2\right] $$$ A.

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

,

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.