Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Теорема. Пусть p1 и p2 – две произвольные скрещивающиеся прямые скрещивающиеся прямые . Если рассмотреть всевозможные прямые A1A2, такие, что точка A1 лежит на прямой p1, а точка A2 лежит на прямой p2, то будут выполнены следующие два утверждения:
- Среди всех прямых A1A2 существует единственная прямая, перпендикулярная к прямой p1 и к прямой p2 ( общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым ).
- Среди всех отрезков A1A2наименьшую длину имеет отрезок общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.
Доказательство. Докажем сначала существование общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.
Через произвольную точку прямой p1 проведем прямую , параллельную прямой параллельную прямой p2 , а через произвольную точку прямой p2 проведем прямую , параллельную прямой параллельную прямой p1 . Обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямые p1 и , а буквой β плоскость, проходящую через прямые p2 и (рис 1).
Поскольку прямая p1 параллельна прямой , лежащей на плоскости β , то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая p1 параллельна плоскости β. Точно так же, поскольку прямая параллельна прямой p2 , лежащей на плоскости β , то прямая по признаку параллельности прямой и плоскости параллельна плоскости β. Таким образом, плоскость α содержит две пересекающиеся прямые p1 и , паралельные плоскости β. В силу признака параллельности плоскостей заключаем, что плоскости α и β параллельны.
Спроектируем прямую p1 на плоскость β. Получим прямую , являющуюся проекцией прямой проекцией прямой p1, и обозначим точку пересечения прямых p2 и буквой B2 (рис. 2).
Спроектируем теперь прямую p2 на плоскость α . Получим прямую , являющуюся проекцией прямой проекцией прямой p2 , и обозначим точку пересечения прямых p1 и буквой B1 (рис. 3).
Доказательство существования общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено.
Докажем, что построенная прямая B1B2 является единственным общим перпендикуляром к прямым p1 и p2 .
Таким образом, общий перпендикуляр к прямым p1 и p2 является линией пересечения плоскостей γ и δ, то есть прямой B1B2 .
Доказательство единственности общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено. Утверждение 1 доказано.
Перейдем к доказательству утверждения 2. Для этого рассмотрим произвольный отрезок A1A2 , у которого конец A1 лежит на плоскости α , а конец A2 лежит на плоскости β . Опустим перпендикуляр из точки A1 на плоскость β и обозначим основание этого перпендикуляра символом A3 (рис. 4).
Если отрезок A1A2 не является перпендикуляром к плоскостям α и β, то точка A3 не совпадет с точкой A2 , и треугольник A1A2A3 будет прямоугольным треугольником с гипотенузой A1A2 и катетом A1A3. Поскольку в прямоугольном треугольнике длина катета меньше длины гипотенузы, то
Условие перпендикулярности прямых
I. Выясним условие перпендикулярности двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2.
Пусть прямые y=k1x+b1 и y=k2x+b2 образуют с положительным направлением оси Ox углы α1 и α2 соответственно.
Обозначим точки пересечения прямых с осью абсцисс через A и B, точку пересечения прямых — C.
Так как α2 — внешний угол при вершине B треугольника ABC, то
Отсюда угловой коэффициент второй прямой
условие перпендикулярности прямых:
прямые, заданные уравнениями y=k1x+b1 и y=k2x+b2 перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку:
и условие перпендикулярности прямых в этом случае имеет вид:
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
Пусть $L_1: \frac
1) Находим уравнение плоскости $P,$ проходящей через прямую $L_1,$ параллельно прямой $L_2:$
Плоскость $P$ проходит через точку $M_1(x_1, y_1, z_1),$ перпендикулярно вектору $\overline n=[\overline s_1, \overline s_2]=(n_x, n_y, n_z),$ где $\overline s_1=(m_1, l_1, k_1)$ и $\overline s_2=(m_2, l_2, k_2)$ — направляющие вектора прямых $L_1$ и $L_2.$ Следовательно, уравнение плоскости $P: n_x(x-x_1)+n_y(y-y_1)+n_z(z-z_1)=0.$
2) Расстояние между прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки прямой $L_2$ до плоскости $P:$
Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
Для нахождения общего перпендикуляра прямых $L_1$ и $L_2,$ необходимо найти уравнения
плоскостей $P_1$ и $P_2,$ проходящих, соответственно, через прямые $L_1$ и $L_2,$ перпендикулярно плоскости $P.$
Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0;$
Тогда уравнение общего перпендикуляра имеет вид
Пример.
2.214.
а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися;
б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1;$
в) вычислить расстояние между прямыми;
г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым $L_1$ и $L_2.$
Решение.
а) Если прямые $L_1$ и $L_2$ лежат в одной плоскости, то их направляющие вектора $\overline
Следовательно, вектора не компланарны и прямые не лежат в одной плоскости.
б) Запишем уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1.$ Эта плоскость проходит через точку $M_2(21, -5, 2)$ перпендикулярно вектору $\overline n=[\overline s_1, \overline s_2].$
Таким образом, вектор $\overline n$ имеет координаты $\overline n(-12, -9, -36).$
Находим уравнение плоскости $$P:\,\, -12(x-21)-9(y+5)-36(z-2)=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow-12x-9y-36z+252-45+72=0\Rightarrow -12x-9y-36z+279=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x+3y+12z-93=0.$$
в) Расстояние между прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки прямой $L_1$ до плоскости $P:$
Ответ: $\frac<76><13>.$
г) Найдем уравнения плоскостей $P_1$ и $P_2,$ проходящих, соответственно, через прямые $L_1$ и $L_2,$ перпендикулярно плоскости $P.$
Имеем, $M_1=(-7, -4, -3)\in P_1,$
Таким образом, $$P_1: 54(x+7)-44(y+4)-7(z+3)=54x-44y-7z+378-176-21=$$ $$=54x-44y-7z+181=0.$$
Аналогично находим $P_2:$
Имеем, $M_2=(21, -5, 2)\in P_2,$
Таким образом, $$P_1: -45(x-21)-76(y+5)+34(z-2)=-45x-76y+34z+945-380-68=$$ $$=-45x-76y+34z+497=0.$$
Ответ: $\left\<\begin
2.215.
а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися;
б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1;$
в) вычислить расстояние между прямыми;
г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым $L_1$ и $L_2.$
Ответ: б) $4x+12y+12z+76=0;$
г) $\left\<\begin
http://www.treugolniki.ru/uslovie-perpendikulyarnosti-pryamyx/
http://mathportal.net/index.php/component/content/article/87-visshaya-matematika/analiticheskaya-geometriya/152-rasstoyanie-mezhdu-dvumya-skreshchivayushchimisya-pryamymi