Составить квадратное уравнение по его корням
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 55. Составление квадратного уравнения по заданным корням
Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x1 и x2. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение
где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x1 и x2 можно записать в виде (1).
Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x1 и x2 имеют уравнения вида (1) и только, они.
Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.
Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида
где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение
411. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:
а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 /4 и 1 /6; г) — 1 /2 и — 1 /3 .
412. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:
413. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 /7 и — 1 /2, а сумма всех коэффициентов равна 36.
414. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 /5 и — 1 /7?
415. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение и его корни
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:
Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D \ge 0$) справедливо следующее:
$$ x_1+x_2 = -b, \quad x_1 x_2 = c $$
$$ x_1 = -6, x_2 = 1, \quad x_1+x_2 = -5, \quad x_1 x_2 = -6 $$
Теорема Виета
Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D \ge 0$) справедливо следующее:
$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$
$$ 2x^2+5x-3 = 2 \left(x-\frac<1> <2>\right)(x+3) $$
$$ x_1 = \frac<1><2>, x_2=-3, \quad x_1+x_2=-\frac<5><2>, \quad x_1 x_2 = — \frac<3> <2>$$
Примеры
Пример 1. Составьте квадратное уравнение по его корням:
Искомое уравнение: $x^2-3x-10 = 0$
Искомое уравнение: $x^2-3,5x-2 = 0$
$$ \left(x-\frac<1> <3>\right) \left(x-\frac<1> <2>\right) = x^2- \left(\frac<1><3>+\frac<1> <2>\right)x+\frac<1> <3>\cdot \frac<1> <2>= x^2-\frac<5> <6>x+\frac<1> <6>$$
Искомое уравнение: $x^2-\frac<5> <6>x+\frac<1> <6>= 0 или 6x^2-5x+1 = 0$
$г) \frac<3><5>$ — один корень
$$ \left(x-\frac<3> <5>\right)^2 = x^2-2 \cdot \frac<3> <5>x+ \left(\frac<3> <5>\right)^2 = x^2-\frac<6> <5>x+\frac<9><25>$$
Искомое уравнение: $x^2-\frac<6> <5>x+ \frac<9> <25>= 0$ или $25x^2-30x+9 = 0$
Пример 2. Один из корней уравнения $x^2+bx-21 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент b.
По теореме Виета можем записать:
Получаем: второй корень равен -7, уравнение имеет вид $x^2+4x-21 = 0$.
Ответ: $x_2$ = -7, b = 4
Пример 3. Один из корней уравнения $x^2+3x+c = 0$ равен 12. Найдите другой корень и коэффициент c.
По теореме Виета можем записать:
$$ <\left\< \begin
Получаем: второй корень равен -15, уравнение имеет вид $x^2+3x-180 = 0$.
Ответ: $x_2$ = -15, c = -180
Пример 4*. Дано уравнение $x^2+5x-7 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$.
Не решая его, постройте уравнение:
а) с корнями $y_1 = \frac<1>
По теореме Виета для корней исходного уравнения получаем:
Для корней искомого уравнения можем записать:
$$ y^2-\frac<5> <7>y-\frac<1> <7>= 0 \iff 7y^2-5y-1 = 0 $$
б) с корнями $y_1 = \frac
Для корней искомого уравнения можем записать:
$$ y^2+\frac<39> <7>y+1 = 0 \iff 7y^2+39y+7 = 0 $$
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.
С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).
Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Немного теории.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
\( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \)
имеет вид
\( ax^2+bx+c=0, \)
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\( x^2 = -\frac
Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin
http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/teorema-vieta/
http://www.math-solution.ru/math-task/quadr-eq