Составить натуральное уравнение кривой онлайн

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Кривизна и кручение. Натуральные уравнения кривой

Краткие теоретические сведения

Кривизна кривой

Кривизной $k$ кривой в данной точке называют модуль скорости вращения касательной по отношению к длине дуги.

Регулярная дважды дифференцируемая без особых точек кривая $\gamma$, заданная векторной функцией $\vec=\vec(t)$, имеет в каждой точке определенную кривизну, причем $$ |k(t)|=\frac<|\vec(t)\times \vec(t)|><|\vec|^3>. $$

Для кривой, заданной параметрически $$ x=x(t), \,\, y=y(t), \,\, z=z(t), $$ кривизна в точке $P(t=t_0)$ находится по формуле: $$ k^2(t_0)=\frac<\left| \begin y’ & z’ \\ y»& z» \\ \end \right|^2+\left| \begin z’ & x’ \\ z»& x» \\ \end \right|^2+\left| \begin x’ & y’ \\ x» & y» \\ \end \right|^2><\Bigl((x')^2+(y')^2+(z')^2\Bigr)^3>, $$ где все производные вычисляются при $t=t_0$.

Если кривая задана естественной параметризацией $\vec=\vec(s)$, то векторы $\vec(s)$ и $\vec(s)$ перпендикулярны, причем $|\vec(s)|=1$. Тогда выражение для кривизны принимает вид: $$ k(s)= |\vec(s)|. $$

Что вы скажете о кривой, которая в каждой свой точке имеет нулевую кривизну?

Кручение

Абсолютным кручением $\varkappa$ кривой называют скорость вращения соприкасающейся плоскости вокруг касательной. $$ |\varkappa (t)|=\frac<|(\vec(t), \vec(t), \vec(t))|><|\vec(t)\times \vec(t)|^2>. $$

В случае естественной параметризации $$ |\varkappa(s)|=\frac<|(\vec(s), \vec(s), \vec(s))|> $$

Натуральные уравнения кривой

Если кривая задана естественной параметризацией $\vec=\vec(s)$, то кривизна и кручение будут являться функциями длины дуги $$ k=k(s), \quad \varkappa=\varkappa(s). $$ Система этих двух соотношений называется натуральными уравнениями кривой.

Натуральные уравнения полностью определяют форму кривой, ибо связывают инварианты, которые не меняются при преобразовании координат (при изменении положения указанной кривой в пространстве относительно системы координат).

Решение задач

Задача 1 (Феденко №351)

Найдите кривизну кривой: $$ x=a\,\mbox^3t,\,\,y=a\,\mbox^3t. $$

Задача 2 (Феденко №380)

Найдите параболу $y=ax^2+bx+c$, имеющую с синусоидой $y=\mboxx$ в точке $A(\pi/2,1)$ общие касательную и кривизну.

Задача 3 (Феденко №405)

Составьте натуральные уравнения кривой: $$ x=a(\mbox\,t+t\,\mbox\,t), \,\, y=a(\mbox\,t-t\,\mbox\,t). $$

Краткое решение задачи 3

Натуральные уравнения: $$ k=\frac<1>,\,\,s=\frac <2>$$ или $$ k^2=\frac<1><2as>. $$

Феденко записывает ответы через радиус кривизны: $R=\frac<1>$.

Задача 4 (Феденко №486, №514)

Найдите кривизну и кручение, составьте натуральные уравнения кривой: $$ x=a\,\mboxt, \, y=a\,\mboxt, \, z=a\, t. $$

Решение задачи 4

Задачу можно решать двумя способами:

1 способ. Найти $k(t), \varkappa(t), s(t)$.

2 способ. Сначала найти выразить $t$ через $s$ и записать естественную параметризацию кривой $\vec=\vec(s)$. А далее найти $k(s)$ и $\varkappa(s)$.

В задаче №473 была та же кривая и мы получили, что $$s=a\sqrt<2>\,\mbox\,t.$$ Используя тождества для гиперболических функций, выразим $t$ через $s$ и подставим их в выражения для кривизны и кручения: \begin s=a\sqrt<2>\,\mboxt=a\sqrt<2>\,\sqrt<\mbox^2t-1> \,\, \Rightarrow \,\, \mbox^2t=\frac<2a^2>+1 \,\, \Rightarrow \end \begin k(s)=\varkappa(s)=\frac<1><2a\,\mbox^2t> = \frac. \end

Вычисления сделаны для $a>0$.

Задача 5 (Феденко №496)

Найдите функцию $f(t)$, для которой данная кривая — плоская: $$ \vec(t)=\t, \, a\,\mboxt, \, f(t)\> $$

Решение задачи 5

Для плоской кривой кручение равно нулю: \begin \varkappa(t) = \left| \begin -a\,\mboxt & a\,\mboxt & f'(t) \\ -a\,\mboxt & -a\,\mboxt & f»(t) \\ a\,\mboxt & -a\,\mboxt & f»'(t) \\ \end \right| = \left( f'(t) + f»'(t) \right)\cdot2a^2=0. \end \begin f'(t)=-f»'(t) \quad \Rightarrow \quad f(t)=c_1+c_2\,\mboxt+c_3\,\mboxt. \end

Как найти уравнение плоскости, в которой лежит кривая?

Известно, что плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости! Второй способ — составить уравнение плоскости по трем точкам.

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс