Составить нормальное уравнение плоскости проходящей через точку

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:

.

(1)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M₀ и и через прямую L(Рис.1).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M₀ и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:

.

(6)

Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.

(7)

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

(10)

(11)

Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(12)

Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:

(13)

Упростим уравнение (13):

(14)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:

(15)

Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:

(16)

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:

Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :

(21)

(22)

Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(23)

Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:

(24)

Упростим уравнение (24):

(25)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.

(26)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).

Нормальное уравнение плоскости: описание, примеры, решение задач

Статья раскрывает суть нормального (нормированного) уравнения и показывает, при каких видах задач его чаще всего применяют. Рассмотрим выведение нормального уравнения плоскости с примерами решений. Приведем примеры приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду. Решим задачи по нахождению расстояния от точки до плоскости при помощи нормального уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости – описание и пример

Возьмем прямоугольную систему координат О х у z трехмерного пространства. Если плоскость удалена на расстояние p ≥ 0 в положительном направлении нормального вектора n → . Возьмем за единицу длину вектора n → . Получим, что координатами направляющего косинуса являются n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , тогда n → = cos 2 α , cos 2 β , cos 2 γ = 1 .

Примем обозначение O N за расстояние от точки до плоскости, таким образом, точка N принадлежит плоскости, где длиной отрезка O N будет значение p . Представим это на рисунке, изображенном ниже.

Теперь найдем уравнение заданной плоскости.

В трехмерном пространстве обозначим точку M ( x , y , z ) . Отсюда получим, что O M → , являющийся ее радиус вектором, с координатами ( x , y , z ) . Запись примет вид O M → = ( x , y , z ) . Отсюда получаем, что плоскость определена множеством точек M ( x , y , z ) , тогда числовая проекция вектора O M → по направлению n → равна значению p . Запись принимает вид n p n → O M → = p . Рассмотрим на приведенном ниже рисунке.

Из вышесказанного получим, что определение скалярного произведения векторов по формуле n → = ( cos α , cos β , cos γ ) и O M → = ( x , y , z ) в результате дают равенство

n → , O M → = n → · O M → · cos n ⇀ , O M → ^ = n → · n p n → O M → = 1 · p = p

Данная формула представляет скалярное произведение в координатной форме. Тогда получаем следующее выражение:

n → , O M → = cos α · x + cos β · y + cos γ · z

При сопоставлении двух последних равенств получаем уравнение плоскости такого вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z = p . Упростим выражения. Для этого необходимо перенести значение p в левую сторону, получим cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 .

cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 называют нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Реже его называют нормированным уравнением заданной плоскости.

Теперь заданное в прямоугольной системе координат О х у z нормальное уравнение принимает вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . Р имеет значение расстояния положительного направления единичного нормального вектора плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) .

Чаще всего косинус не представляется явно в уравнении плоскости, потому как cos α , cos β и cos γ является некоторыми действительными числами, сумма квадратов которых равна единице.

Рассмотрим пример нормального уравнения плоскости.

Если имеется плоскость, заданная в прямоугольной системе координат O x y z при помощи уравнения нормального вида, — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 .

Отсюда cos α = — 1 4 , cos β = — 3 4 , cos γ = 6 4 .

Из выражения находим, что — 1 4 , — 3 4 , 6 4 — координаты нормального вектора плоскости n → . Его длина вычисляется из формулы n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 2 = 1 . Плоскость располагается относительно координат в направлении вектора n → на расстоянии 7 единиц, потому как p = 7 .

Отсюда ясно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 , где A , B , C – некоторые действительные числа, при которых длина нормального вектора плоскости n → = ( A , B , C ) равняется 1 , причем D является неотрицательным числом.

Чтобы выявить, является представленное уравнение нормальным уравнением плоскости, необходимо выполнение обоих условий n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 и p ≥ 0 , тогда получим уравнение плоскости нормального вида. При невыполнении хотя бы одного условия, уравнение не является нормальным.

Рассмотрим на примере.

Выявить уравнение плоскости нормального вида из заданных уравнений:

1 7 x — 4 7 y + 4 2 7 — 3 = 0 1 3 x + 7 6 y — 5 6 z + 2 5 = 0 1 3 x + 1 2 y + 1 4 z — 11 = 0

Начнем решение с первого уравнения. Для этого необходимо проверить, равняется ли длина нормального вектора n → = 1 7 , — 4 7 , 4 2 7 единице.

Вычисляем длину по формуле и получаем: n → = 1 7 2 + — 4 7 2 + 4 2 7 2 = 1 49 + 16 49 + 32 49 = 1

Необходимо поработать с числом p , так как его значение должно быть положительным. Это верно, так как p = 3 . Значит, первое заданное уравнение плоскости можно считать уравнением плоскости в нормальном виде.

Второе уравнение из заданных нельзя считать нормальным уравнением плоскости, так как условие p ≥ 0 не выполняется, ибо в данном уравнении p = — 2 5 .

Третье уравнение имеет нормальный вектор с координатами n → = 1 3 , 1 2 , 1 4 , длина которого не равняется единице из вычислений:

n → = 1 3 2 + 1 2 2 + 1 4 2 = 1 9 + 1 4 + 1 16 = 61 12 ≠ 1

Отсюда следует, что его нельзя считать за уравнение плоскости в нормальном виде.

Ответ: 1 7 x — 4 7 y + 4 2 7 z — 3 = 0 уравнение является нормальным уравнением плоскости.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Для приведения уравнения плоскости A x + B y + C z + D = 0 к нормальному виду, обе части умножаются на нормированный множитель ± 1 A 2 + B 2 + C 2 . Знак определятся по числу D , он должен быть противоположным значения числа D .

Когда D = 0 , знак может быть любым.

Нормальным уравнением плоскости считается общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель, потому как длина вектора с кооординатами ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 равна 1 .

Отсюда получаем, что ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 = A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 + C 2 = 1 .

Знак множителя необходим для того, что проверять выполнимость условия p ≥ 0 .

Привести уравнение 2 x — 3 y + z + 5 = 0 к нормальному виду.

Из условия имеем, что A = 2 , B = — 3 , C = 1 , D = 5 . Исходя из того, что D является положительным числом, нормирующий множитель дожжен иметь противоположный знак. Отсюда получим, что получим отрицательный результат.

— 1 A 2 + B 2 + C 2 = — 1 2 2 + ( — 3 ) 2 + 1 2 = — 1 14

Чтобы получить искомое нормальное уравнение плоскости, обе части уравнения необходимо умножить на нормирующий множитель. Получим:

— 1 14 · 2 x — 3 y + z + 5 = — 1 14 · 0 ⇔ ⇔ — 2 14 x + 3 14 y — 1 14 z — 5 14 = 0

Ответ: — 2 14 x + 3 14 y — 1 14 z — 5 14 = 0 .

Написать нормальное уравнение плоскости, если оно задано уравнением 3 x — 4 z = 0 прямоугольной системы координат O x y z .

Из условия видно, что A = 3 , B = 0 , C = — 4 , D = 0 . Знака перед множителем нет, потому как D = 0 . Значит, возьмем со знаком « + ». Получаем выражение вида:

1 A 2 + B 2 + C 2 = 1 3 2 + 0 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5

При умножении обеих частей уравнения на нормирующий множитель, получаем уравнение плоскости нормального вида 3 5 x — 4 5 z = 0 .

Ответ: 3 5 x — 4 5 z = 0 .

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Теперь раскроем тему нормального уравнения плоскости, где уравнение плоскости нормального вида применимо для нахождения расстояния от заданной точки в пространстве до плоскости.

При заданной системе координат О х у z трехмерного пространства имеем плоскость с уравнением cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где необходимо определить расстояние от p до точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) заданной плоскости. Его вычисляют по формуле p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p . Само расстояние является числом, которое получается при подстановке координат точки в левую сторону уравнения. Для вывода формулы необходимо обратиться к статье расстояния от точки до плоскости.

Имеется уравнение плоскости вида — 1 3 x + 2 3 y — 2 3 z — 1 = 0 , которое располагается в прямоугольной системе координат. Определить расстояние от точки с координатами M 0 ( 1 , — 3 , 0 ) до плоскости.

Координаты точки M необходимо подставить в левую часть уравнения плоскости. Тогда получаем:

— 1 3 · 1 + 2 3 · ( — 3 ) — 2 3 · 0 — 1 = 0

Искомое расстояние – величина абсолютная, значит p = — 3 1 3 = 3 1 3 .

Если плоскость задана другим уравнением, а необходимо произвести вычисление от заданной точки до плоскости, необходимо привести уравнение к виду нормального уравнения плоскости, используя формулу p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p .

Найти расстояние от заданной точки с координатами M 0 ( 5 , — 1 , 2 ) до плоскости x 5 + y — 2 + z 4 = 1 .

По условию имеем уравнение плоскости в отрезках. Это значит, что необходимо привести его к нормальному уравнению плоскости. Для этого переходим к общему уравнению, после чего приведем к нормальному виду.

Получаем: x 5 + y — 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 5 x — 1 2 y + 1 4 z — 1 = 0

Для вычисления нормирующего множителя применяем: 1 1 5 2 + — 1 2 2 + 1 4 2 = 1 141 25 · 16 = 20 141

Обе части уравнения 1 5 x — 1 2 y + 1 4 z — 1 = 0 умножаем на нормирующий множитель. Теперь получено нормальное уравнение исходной плоскости вида:

4 141 x — 10 141 y + 5 141 z — 20 141 = 0

Отсюда видно, что cos α = 4 141 , cos β = — 10 141 , cos γ = 5 141 , p = — 20 141 , x 0 = 5 , y 0 = — 1 , z 0 = 2

Все имеющиеся данные помогут использовать формулу для нахождения искомого расстояния от точки до плоскости:

p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p = 4 141 · 5 — 10 141 · — 1 + 5 141 · 2 — 20 141 = 20 141

Уравнение плоскости, которая проходит через заданную прямую и заданную точку.

В этой статье собрана информация, необходимая для решения задачи составления уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку. После решения этой задачи в общем виде мы приведем развернутые решения примеров на составление уравнения плоскости, которая проходит через заданную прямую и точку.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана прямая a и точка , не лежащая на прямой a . Поставим перед собой задачу: получить уравнение плоскости , проходящей через прямую a и точку М₃ .

Сначала покажем, что существует единственная плоскость, уравнение которой нам требуется составить.

Напомним две аксиомы:

• через три различные точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;
• если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Из этих утверждений следует, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Таким образом, в поставленной нами задаче через прямую a и точку M₃ проходит единственная плоскость , и нам требуется написать уравнение этой плоскости.

Теперь приступим к нахождению уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую a и точку .

Если прямая a задана через указание координат двух различных точек М₁ и М₂ , лежащих на ней, то наша задача сводится к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки М₁ , М₂ и М₃ .

Если же прямая a задана иначе, то нам сначала придется найти координаты двух точек М₁ и М₂ , лежащих на прямой a , а уже после этого записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ , М₂ и М₃ , которое и будет искомым уравнением плоскости, проходящей через прямую a и точку М₃ .

Разберемся, как найти координаты двух различных точек М₁ и М₂ , лежащих на заданной прямой a .

В прямоугольной системе координат в пространстве любой прямой линии соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет получить ее параметрические уравнения прямой в пространстве вида . Тогда, приняв , имеем точку , лежащую на прямой a . Придав параметру отличное от нуля действительное значение, из параметрических уравнений прямой a мы сможем вычислить координаты точки М₂ , также лежащей на прямой a и отличной от точки М₁ .

После этого нам останется лишь написать уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки и , в виде .

Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую a и заданную точку М₃ , не лежащую на прямой a .

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую.

Покажем решения нескольких примеров, в которых разберем рассмотренный метод нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Начнем с самого простого случая.

Напишите общее уравнение плоскости, которая проходит через координатную прямую Ox и точку .

Возьмем на координатной прямой Ox две различные точки, например, и .

Теперь получим уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ , М₂ и М₃ :

Это уравнение является искомым общим уравнением плоскости, проходящей через заданную прямую Ox и точку .

.

Если известно, что плоскость проходит через заданную точку и заданную прямую, и требуется написать уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости, то следует сначала получить общее уравнение заданной плоскости, а от него переходить к уравнению плоскости требуемого вида.

Составьте нормальное уравнение плоскости, которая проходит через прямую и точку .

Сначала напишем общее уравнение заданной плоскости. Для этого найдем координаты двух различных точек, лежащих на прямой . Параметрические уравнения этой прямой имеют вид . Пусть точка М₁ соответствует значению , а точка М₂ — . Вычисляем координаты точек М₁ и М₂ :

Теперь мы можем составить общее уравнение прямой, проходящей через точку и прямую :

Осталось получить требуемый вид уравнения плоскости, умножив обе части полученного уравнения на нормирующий множитель .

.

Итак, нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и заданную прямую, упирается в нахождение координат двух различных точек, лежащих на заданной прямой. В этом часто состоит основная сложность при решении подобных задач. В заключении разберем решение примера на составление уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую, которую определяют уравнения двух пересекающихся плоскостей.

В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка и прямая a , которая является линией пересечения двух плоскостей и . Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую a и точку М₃ .

Отталкиваясь от заданных уравнений двух пересекающихся плоскостей и , получим параметрические уравнения прямой a , чтобы найти координаты двух точек М₁ и М₂ , лежащих на прямой a . После этого напишем требуемое уравнение плоскости, проходящей через точку М₃ и прямую a , как уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ , М₂ и М₃ .

Процесс перехода от уравнений двух плоскостей, пересекающихся по прямой a , к параметрическим уравнениям прямой a подробно описан в статье уравнения прямой – уравнения двух пересекающихся плоскостей. Не будем на этом подробно останавливаться, а запишем лишь итоговый результат . При получаем точку , при — точку .

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую , имеет вид

.