Построение графиков функций
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида область определения выглядит так
- х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
- стационарные и критические точки;
- точки экстремума;
- нули функции;
- точки разрыва функции.
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
- Найти область определения функции.
- Найти область допустимых значений функции.
- Проверить не является ли функция четной или нечетной.
- Проверить не является ли функция периодической.
- Найти нули функции.
- Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
- Найти асимптоты графика функции.
- Найти производную функции.
- Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
- На основании проведенного исследования построить график функции.
x | y |
0 | -1 |
1 | 2 |
Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.
x | y |
0 | 2 |
1 | 1 |
k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.
x | y |
0 | 0 |
1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.
Задача 5. Построить график функции
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б)
г)
д)
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а)
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Преобразование в одно действие типа f(x — a).
Сдвигаем график вправо на 1:
В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г)
Преобразование в одно действие типа
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д)
Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Уравнение касательной к графику функции
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую \(y=f(x)\).
Выберем на ней точку A с координатами \((x_0,y_0)\), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке \(x_0\): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: \((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)\).
Для \(A(x_0,y_0),\ B(x,y)\) получаем: \begin
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде \(y=kx+b\), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\underbrace
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой \(y=f(x)\), абсцисса точки касания \(x_0\).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания \(f(x_0)\)
Шаг 2. Найти общее уравнение производной \(f’ (x)\)
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания \(f'(x_0 )\)
Шаг 4. Записать уравнение касательной \(y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)\), привести его к виду \(y=kx+b\)
На выходе: уравнение касательной в виде \(y=kx+b\)
Пусть \(f(x)=x^2+3\). Найдем касательную к этой параболе в точке \(x_0=1\). |
\(f(x_0)=1^2+3=4 \)
\(f'(x)=2x \)
\(f'(x_0)=2\cdot 1=2\)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: \(y=2x+2\)
п.3. Вертикальная касательная
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода \(x_0\notin D\), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку \(x_0\in D\), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку \((x_0,y_0)\).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида \(y=\sqrt[n]
Пусть \(f(x)=\sqrt[5] Найдем касательную к этой кривой в точке \(x_0=1\). |
\(f(x_0)=\sqrt[5]<1-1>+1=1\)
\(f'(x)=\frac15(x-1)^<\frac15-1>+0=\frac15(x-1)^<-\frac45>=\frac<1><5(x-1)^<\frac45>> \)
\(f'(x_0)=\frac<1><5(1-1)^<\frac45>>=\frac10=+\infty\)
В точке \(x_0\) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: \(x=1\)
Ответ: \(y=2x+2\)
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции \(f(x)=2x^2+4x\)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x(x+2)=0\Rightarrow \left[ \begin Касательная в точке \(x_0=0\): \begin |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
Общее уравнение касательной: \(f'(x)=4x+4\) По условию \(f'(x_0)=tg\alpha=tg45^\circ=1\) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1\Rightarrow 4x_0=-3\Rightarrow x_0=-\frac34 $$ Точка касания \(x_0=-\frac34\) \begin |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой \(2x+y-6=0\). Напишите уравнение этой касательной.
Найдем угловой коэффициент заданной прямой: \(y=-2x+6\Rightarrow k=-2\). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже \(k=-2\). Получаем уравнение: \begin |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
У горизонтальной прямой \(k=0\). Получаем уравнение: \(f'(x_0)=0\). \begin |
Ответ: а) \(y=4x\) и \(y=-4x-8\); б) \(y=x-\frac98\); в) \(2x+y+\frac92=0\); г) \(y=-2\)
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции \(f(x)=\frac
Угловой коэффициент данной прямой \(k_1=11\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_2=-\frac<1>
Уравнение касательной при \(x_0=-14\) \begin
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение \(y=-\frac
и точка касания (8;-2), уравнение \(-\frac
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам \(y=x^2-5x+6\) и \(y=x^2+x+1\). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: \begin
Запишем уравнения касательных \(g_1(x)\) и \(g_2(x)\) через эти переменные. \begin
Точки касания: \begin
Ответ: касательная \(y=-\frac x3+\frac59\); точки касания \(\left(\frac73;-\frac29\right)\) и \(\left(-\frac23;\frac79\right)\)
Пример 5*. Докажите, что кривая \(y=x^4+3x^2+2x\) не пересекается с прямой \(y=2x-1\), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: \(x^4+3x^2+2x=2x-1\) \begin
Значит, \(x\in\varnothing\) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом \(k=2\), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой \(y=2x-1\).
Строим уравнение касательной. По условию: \(f'(x)=4x^3+6x+2=2\) \begin
Уравнение касательной: \(y=2(x-0)+0=2x\)
Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: \(y=2x\) и \(y=2x-1\). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую \(y=2x-1\) имеет угловой коэффициент \(k=-\frac12\), его уравнение: \(y=-\frac12 x+b\). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и \(b=0\). |
Уравнение перпендикуляра: \(y=-\frac x2\).
Находим точку пересечения прямой \(y=2x-1\) и перпендикуляра \(y=-\frac x2\): \begin
Находим расстояние \(OA=\sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2\sqrt<2^2+1^2>=\frac<\sqrt<5>><5>\)
Ответ: \(\frac<\sqrt<5>><5>\)
Составить общее уравнение к графикам функций
Пусть функция определена в некоторой окрестности токи , непрерывна в этой точке и , а (рис.2).
Придав произвольное приращение аргументу , так чтобы , перейдем к точке с абсциссой и ординатой , где .
Уравнение прямой, проходящей через точки и (секущей графика функции , имеет вид: , где отношение представляет собой угловой коэффициент секущей ( .
Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , при стремлении точки по графику к точке .
Для того, чтобы секущая при стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел , то есть , чтобы существовала конечная производная функции в точке .
Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от к пределу при :
Таким образом, получим, что , где — угол наклона касательной к оси (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной . Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид
В случае бесконечной производной .
Из уравнения секущей имеем:
Переходя в равенстве к пределу при , получаем уравнение касательной к графику функции в точке в виде , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку оси абсцисс.
Пусть материальная точка движется прямолинейно и — длина пути, проходимого за время , отсчитываемого от некоторого момента времени .
Для определения скорости в данный момент придадим переменной некоторое приращение , при этом приращение пути будет равно .
Отношение называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени , и обозначается
Предел называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени .
Таким образом, мгновенная скорость в момент времени прямолинейного движения, совершаемого по закону равна значению производной .
Задача 1. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций и .
Прямая является общей касательной графиков функций и , если она касается как одного, так и другого графиков, но совершенно не обязательно в одной и той же точке.
Прямые совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны. Отсюда
Решением системы будут
Уравнения общих касательных имеют вид:
Уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой имеет вид:
Для касания прямой параболы достаточно, чтобы дискриминант квадратного уравнения был равен нулю.
Ответ: Уравнения общих касательных имеют вид: и .
Задача 2. График функции пересекает ось абсцисс в точке , а касательная к графику пересекает ось абсцисс в точке . Напишите уравнение этой касательной, если точка делит пополам отрезок , где — начало координат.
Найдем абсциссу точки , решив уравнение .
Точка имеет координаты . — середина отрезка , значит, точка имеет координаты .
Функция определена при и дифференцируема при .
Составим уравнение касательной в точке графика с абсциссой .
Касательная проходит через точку . Значит,
Решим это уравнение.
Уравнение касательной имеет вид:
Задача 3. Точка движется прямолинейно под действием постоянной силы с ускорением 2 м / с и с нулевой начальной скоростью. Через три секунды после начала движения сила прекращает действовать, и точка начинает двигаться равномерно с набранной скоростью. Найдите закон движения точки.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы в начальный момент времени точка находилась в начале координат, то есть при .
Закон движения при имеет вид: при . При графиком движения является прямая — касательная к параболе , проведенная в точке . Найдем уравнение этой касательной.
Таким образом, закон движения имеет вид:
Задача 4. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 40 м / мин. Ворот находится на берегу на 10 м выше поверхности воды. Найдите:
а) скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 30 м от берега;
b) скорость движения парома в тот момент, когда длина натянутого каната равна 50 м.
а) Пусть м — расстояние от парома до берега. В выбранной системе координат в точке находится ворот, паром — в точке (рис. 3).
По теореме Пифагора:
При наматывании каната на ворот расстояние
С другой стороны,
Из решения уравнения находим искомую скорость движения: (м / мин). Знак «минус» означает, что паром приближается к берегу.
1. Составьте уравнение всех касательных к графику функции , которая проходит через точку :
Сколько существует решений в зависимости от выбора точки?
2. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику отсекает от отрицательной полуоси ОХ отрезок вдвое меньше, чем от положительной полуоси ОУ.
3. На графике функции найти все такие точки, касательная в каждой из которых к графику пересекает положительные полуоси и отсекает от них равные по длине отрезки.
4. Доказать, что касательная к гиперболе образует с осями координат треугольник постоянной площади, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника.
5. График функции пересекает ось абсцисс в точке К, а касательная к графику пересекает ось абсцисс в точке С. Напишите уравнение этой касательной, если начало координат является серединой отрезка КС.
6. Напишите уравнение касательной к графику функции , не пересекающей прямой .
7. Прямая является касательной к графику функции . Найдите координаты точки касания.
8. Докажите, что касательная к графику функции в точке с абсциссой и наклонная асимптота графика функции параллельны.
9. Окружность радиуса 1 с центром на положительной полуоси ОУ касается параболы . Найти точку касания и положение центра окружности.
10. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций:
11. Найдите все значения , при каждом из которых касательные к графикам функций и в точках с абсциссой параллельны.
12. На координатной плоскости построены две параболы и , и к ним проведены две общие касательные. Найдите уравнение этих общих касательных, а также координаты точек касания. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках касания является параллелограммом.
13. При каких значениях параметра , прямая, проходящая через точки и касается параболы ?
14. Найти величину угла, под которым парабола видна из точки .
15. Найти множество точек действительной оси над которыми касательная к графику функции образует с этой осью острый угол, параллельна оси, если
16. При каких значениях параметра , парабола, проходящая через точки и и касается прямой ?
17. Доказать, что при любом значении существует касательная к графику функции , перпендикулярная прямой .
18. Найти все значения параметра , при которых на графике функции существует единственная точка с отрицательной абсциссой, касательная в которой параллельна прямой .
19. Найти все такие числа и , что парабола касается прямых и .
20. При каких значениях существует ровно две точки на графике функции , касательные в которых к этому графику параллельны прямой
21. К параболе проведены две касательные. Одна из них касается левой ветви параболы и одновременно кривой, заданной уравнением . Тангенс угла между двумя касательными равен . Определите площадь фигуры, заключенной между параболой и этими касательными.
22. К графику функции в точке с абсциссой проведена касательная. Найдите расстояние от начала координат до этой касательной.
23. Для параболы точка является ее фокусом. Докажите, что лучи света, исходящие из фокуса, отражаются в любой точке параболы параллельно ее оси симметрии.
24. Дана функция . Докажите, что
фигуры, ограниченные отрезками горизонтальных касательных к графику функции и дугами этого графика между точками его пересечения с касательными имеют равные площади;
прямая, касающаяся графика функции в точке с абсциссой , где , пересечет этот график еще в одной точке, абсцисса которой .
25. Дана функция . Найдите
уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой проходящей через точки с абсциссами 1 и 4 на этом графике;
множество значений углов наклона касательных к графику функции ;
уравнения тех касательных к графику данной функции , которые вместе с осями координат образуют треугольник, площадью .
26. К каждой ветви графика функции проведено по касательной. Пусть точки их пересечения с осями координат (рис. 4). Докажите, что треугольники AOD и BOC равновелики.
27. Две точки движутся по одной прямой по законам и . Каковы их скорости в момент встречи? В какой момент времени их скорости одинаковы? Постройте графики движения и поясните полученные результаты.
28. Покажите, что если точка движется по закону , то на нее действует постоянная сила. Будет ли сила постоянной, если ?
29. Высота тела, брошенного вертикально вверх, меняется в зависимости от времени по закону . Найдите скорость тела в конце десятой секунды. Сколько времени тело будет лететь вверх и какой наибольшей высоты оно достигнет.
30. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону . Определите скорость и ускорение движения в момент времени . Покажите, что ускорение движения пропорционально отклонению .
31. Угол (в радианах), на который повернется колесо за секунд, равен . Найдите угловую скорость колеса в момент с и момент, когда колесо остановится.
32. При деформации одна из сторон прямоугольника увеличивается с постоянной скоростью 1 см / ч, а другая уменьшается со скоростью 0,5 см / ч. Найти скорость изменения площади прямоугольника через 45 минут после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см , а первоначальная площадь прямоугольника 17 см .
33. Человек приближается со скоростью м / с к подножию башни высотой м. Какова скорость его приближения к вершине башни, когда он находится на расстоянии м от основания?
34. Лестница, длиной 5 м, приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4 м. В некоторый момент времени нижний конец лестницы начинает скользить по полу в направлении от стены, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м /с . С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2 м?
35. Из конусообразной воронки высыпается песок с постоянной скоростью а м / с. С какой скоростью будет понижаться уровень песка в воронке?
36. Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 км / ч. В центре окружности стоит фонарь, по касательной к окружности в точке, откуда лошадь начинает свой бег, расположен забор. С какой скоростью будет перемещаться тень лошади вдоль забора в момент, когда лошадь пробежит окружности?
37. Человек приближающийся к вертикальной стене, освещен сзади фонарем, находящемся на расстоянии от стены. Скорость движения человека равна . С какой скоростью увеличивается его тень, если рост человека ?
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-funkcii/
http://cito-web.yspu.org/link1/metod/met33/node3.html