Составить общее уравнение линейного пространства

Линейные и евклидовы пространства с примерами решения и образцами выполнения

Евклидово пространство — это вещественное линейное пространство, в котором зафиксирована симметричная положительно определенная билинейная форма. Значение билинейной формы на паре элементов называется скалярным произведением этих векторов.

Линейные и евклидовы пространства

Определение линейного пространства

Определение:

Множество V элементов х, у, z,… называется линейным пространством (действительным или комплексным), если по некоторому правилу

I. любым двум элементам х и у из V поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый х + у и называемый суммой элементов х и у;

II. любому элементу х из V и каждому числу а (вещественному или комплексному) поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый ах и называемый произведением элемента х на число а, и эти правила сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам:

1. (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность);
2. х + у = у + х (коммутативность)-,
3. во множестве V существует элемент θ такой, что для любого элемента х из V выполняется равенство х + θ = х;
4. для любого элемента х из V во множестве V существует элемент (-х) такой, что х + (-х) = θ;
5. а(х + у) = ах + ау;
6. (а + β)х = ах + βх;
7. а( β х) = (а β )х;
8. 1х = х.

Элемент θ называется нулевым элементом, а элемент (-х) — противоположным элементу х.
Элементы х, у, z,… линейного пространства часто называют векторами. Поэтому линейное пространство называют также векторным пространством.

Примеры линейных пространств

1. Совокупность свободных геометрических векторов V3 в пространстве с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число (рис. 1).

Этим же свойством обладают: совокупность V1 векторов на прямой и совокупность V2 векторов на плоскости.

2, Совокупность упорядоченных наборов () из n действительных чисел.

Операции — сложение и умножение на действительное число — вводятся так:

б) умножение на число —

Обозначение: Rn (n -мерное вещественное координатное пространство).

3. Совокупность всевозможных матриц Rmxn размера m х n с введенными правилами сложения матриц,

и умножения матрицы на число,

В частности, совокупность n-строк, R1xn и совокупность столбцов высоты m, Rmx1, являются линейными пространствами.

4. Множество С(-1, 1) вещественных функций, непрерывных на интервале (-1, I), с естественными операциями сложения функций и умножения функции на число.

Во всех приведенных примерах требования 1-8 проверяются непосредственно.

Простейшие свойства линейных пространств

1. Нулевой элемент θ определен однозначно.

Пусть θ1 и θ2 — нулевые элементы пространства V. Рассмотрим их сумму θ1 + θ2. Вследствие того, что θ2 — нулевой элемент, из аксиомы 3 получаем, что θ1+ θ2 = θ1, а так как элемент θ1 — также нулевой, то θ1 + θ2 = θ2 + θ1 = θ2 , т. е. θ1 = θ2 .

2. Для любого элемента х противоположный ему элемент (—х) определен однозначно.

Пусть x — и х_ — элементы, противоположные элементу х. Покажем, что они равны.

Рассмотрим сумму х_ + х + x — . Пользуясь аксиомой 1 и тем, что элемент x — противоположен элементу х, получаем:

Аналогично убеждаемся в том, что

Нетрудно убедится также в справедливости следующих свойств:

1. Для любого элемента х выполняется равенство 0х = θ.
2. Для любого элемента х выполняется равенство —х = (- 1)х.
3. Для любого числа а выполняется равенство аθ = θ.
4. Из того, что ах = θ, следует, что либо а = 0, либо х = θ.

Линейные подпространства

Непустое подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V, если для любых элементов х и у из W и любого числа а выполняются следующие условия:

Иногда говорят: «множество W замкнуто относительно указанных операций».

Примеры линейных подпространств

1.Множество векторов на плоскости V2 является линейным подпространством линейного пространства V3.

2. Совокупность решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными

образует линейное подпространство линейного пространства Rnx1. В самом деле, сумма решений однородной системы () является решением этой же системы и произведение решения системы (*) на число также является ее решением.

3. Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на интервале (-1, 1) и обращающихся в нуль при t = 0, образует линейное подпространство линейного пространства С(— 1,1).

Сумма f(t) + g(t) функций f(t) и g(t), обращающихся в нуль при t = 0, t(0) = f(0) = 0, и произведение af(t) функции f(t), обращающейся в нуль при t = 0, f(0) = 0, на число а равны нулю при t = 0.

Свойства линейного подпространства

1. Если x1, …, хq — элементы линейного подпространства W, то любая их линейная комбинация также лежит в W.
2. Линейное подпространство W само является линейным пространством.

Достаточно убедиться лишь в том, что нулевой элемент 0 и элемент, противоположный произвольному элементу из W, лежат в W. Указанные векторы получаются умножением произвольного элемента х ∈ W на 0 и на -1: θ = 0х, -х = (- 1)х.

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть V — линейное пространство, W1 w W2 — его линейные подпространства. Суммой W1 + W2 линейных подпространств W1 и W2 называется совокупность всевозможных элементов х пространства V, которые можно представить в следующем виде

где x1 лежит в W1, а х2 — в W2. Коротко это можно записать так:

Сумма линейных подпространств W1 и W2 нaзывается прямой, если для каждого элемента х этой суммы разложение (1) единственно (рис. 3).

Обозначение: W1⊕W2

Пересечением W1 ∩ W2 линейных подпространств W1 и W2 линейного пространства V называется совокупность элементов, которые принадлежат одновременно и линейному подпространству W1, и линейному подпространству W2.

Свойства пересечения и суммы линейных подпространств

1. Сумма W1 + W2 является линейным подпространством пространства V.

Возьмем в W1 + W2 два произвольных элемента х и у. По определению суммы подпространств найдутся элементы х1, у1, из W1 и х2, у2, из W2 такие, что

Это позволяет записать сумму х + у в следующем виде

Так как то сумма х + у лежит в W1 + W2.

Аналогично доказывается включение ах ∈ W1 + W2.

2. Пересечение W1 ∩ W2 является линейным подпространством пространства V.

3. Если нулевой элемент является единственным общим вектором подпространств W1 й W2 линейного пространства V, то их сумма является прямой — W1 ⊕ W2.

Линейная оболочка

Линейной оболочкой L(X) подмножества X линейного пространства V называется совокупность всевозможных линейных комбинаций элементов из X,

Последнее читается так: «линейная оболочка L(X) состоит из всевозможных элементов у, представимых в виде линейных комбинаций элементов множества X».

Основные свойства линейной оболочки

1. Линейная оболочка L(X) содержит само множество X.
2. L(X) — линейное подпространство пространства V.

Сумма линейных комбинаций элементов множества X и произведение линейной комбинации элементов на любое число снова являются линейными комбинациями элементов множества X.

3. L(X) — наименьшее линейное подпространство, содержащее множество X.

Это свойство следует понимать так: если линейное подпространство W содержит множество X , то W содержит и его линейную оболочку L(X).

Пусть W — линейное подпространство, содержащее заданное множество X. Тогда произвольная линейная комбинация элементов множества X — элемент линейной оболочки L(X) — содержится и в подпространстве W.

Пример:

Рассмотрим в линейном пространстве R3 две тройки ξ = (1,1,0) и η = (1,0, I) (рис.4). Множество решений уравнения

является линейной оболочкой L(ξ , η) троек ξ и η.
Действительно, тройки (I, 1, 0) и (1, 0, I) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (2), и значит, любое решение этого уравнения является их линейной комбинацией.

Пример:

Рассмотрим в линейном пространстве С(- ∞, ∞) вещественнозначных функций, непрерывных на всей числовой оси, набор X одночленов 1, х,…, хn:

Линейная оболочка L(X) представляет собой совокупность многочленов с вещественными коэффициентами, степени которых не превосходят n.

Обозначение:

Линейная зависимость

Определение. Система элементов х1 . .. , хq линейного пространства V называется линейно зависимой, если найдутся числа a1,… , аq, не все равные нулю и такие, что
(1)

Если равенство (1) выполняется только при а1 = … = аq = 0, то система элементов x1,…, хq называется линейно независимой.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема:

Система элементов x1,…, хq (q ≥ 2) линейно зависима в том и только в том случае, если хотя бы один из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Предположим сначала, что система элементов x1,…, xq линейно зависима. Будем Считать для определенности, что в равенстве (1) отличен от нуля коэффициент аq. Перенося все слагаемые, кроме последнего, в правую часть, после деления на аq ≠ 0 получим, что элемент хq является линейной комбинацией элементов х1 …, хq:

Обратно, если один из элементов равен линейной комбинации остальных,

то, перенося его в левую часть, получим линейную комбинацию

в которой есть отличные от нуля коэффициенты (-1 ≠ 0). Значит, система элементов x1,…., хq линейно зависима.

Теорема:

Пусть система элементов х1,…,хq линейно независима и y=. Тогда коэффициенты a1 ,… ,аq определяются по элементу у единственным образом.
Пусть

Из линейной независимости элементов x1…, xq вытекает, что a1 — β1 = … = аq — βq = 0 и, значит,

Теорема:

Система элементов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
Пусть первые q элементов системы х1 … , хq, xq+1… , xm линейно зависимы. Тогда найдется линейная комбинация этих элементов такая, что

и не все коэффициенты а1 … ,аq равны нулю. Добавляя элементы xq+1… , xm с нулевыми множителями, получаем, что и в линейной комбинации

равны нулю не все коэффициенты.

Пример. Векторы из V2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (рис.5).

Базис. Размерность

Упорядоченная система элементов e1,…, еn линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства, если элементы e1,…, еn линейно независимы и каждый элемент из V можно представить в виде их линейной комбинации. Упорядоченность означает здесь, что каждому элементу приписан определенный (порядковый) номер. Из одной системы п элементов можно построить n! упорядоченных систем.

Пример:

Пусть a, b, с — тройка некомпланарных векторов из Vз (рис.6). Тогда упорядоченные тройки а, b, с; b, с, а; с, а, b; b, а, с; а, с, b и с, b, а — различные базисы V3.

Пусть с = (e1 … еn) — базис пространства V.

Тогда для любого элемента х из V найдется набор чисел такой, что

В силу теоремы 2 числа — координаты элемента х в базисе с — определены однозначно.

Посмотрим, что происходит с координатами элементов при простейших действиях с ними.

и для любого числа а

Таким образом, при сложении элементов их соответствующие координаты складываются, а при умножении элемента на число все его координаты умножаются на это число.

Координаты элемента часто удобно записывать в виде столбца. Например,

— координатный столбец элемента в базисе e.

Разложим произвольную систему элементов x1,…, хq по базису e,

ли рассмотрим координатные столбцы элементов ч1,…, хq в этом базисе:

Теорема:

Система элементов х1,… ,хq линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их координатных столбцов в каком-нибудь базисе.

причем хотя бы один из коэффициентов λk отличен от нуля. Запишем это подробнее

Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису вытекает, что

Таким образом, линейная комбинация координатных столбцов элементов x1,…, xq равна нулевому столбцу (с теми же коэффициентами λ1,…, λg). Это и означает, что система координатных столбцов линейно зависима.

Если же выполняется равенство (2), то, проводя рассуждения в обратном порядке, получаем формулу (1).

Тем самым, обращение в нуль некоторой нетривиальной (хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейной комбинации элементов линейного пространства равносильно тому, что нетривиальная линейная комбинация их координатных столбцов (с теми же коэффициентами) равна нулевому столбцу.

Теорема:

Пусть базис с линейного пространства V состоит из п элементов. Тогда всякая система из то элементов, где т > п, линейно зависима.

4 В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть случай m = п + 1.

Пусть x1. . ,хп+1 — произвольные элементы пространства V. Разложим каждый элемент по базису e = (е1 …, еп):

и запишем координаты элементов х1 …, xn+1 в виде матрицы, отводя j-й столбец координатам элемента xj, j = 1,…, п + 1. Получим матрицу из п строк и п + 1 столбцов —

Ввиду того, что ранг матрицы К не превосходит числа п ее строк, столбцы матрицы К (их п + 1) линейно зависимы. А так как это координатные столбцы элементов x1…..хп+1, то согласно теореме 4 система элементов x1…..хп+1 также линейно зависима.

Следствие:

Все базисы линейного пространства V состоят из одинакового числа элементов.
Пусть базис e состоит из п элементов, а базис e’ из п‘ элементов. В силу только что доказанной теоремы из линейной независимости системы е’1,…, е’n заключаем, что п’ ≤ п. Меняя базисы e и e’ местами, в силу этой же теоремы получаем, что п ≤ п’.

Тем самым, п = п’.
Размерностью линейного пространства V называется число элементов базиса этого пространства.

Пример:

Базис координатного пространства R» образуют элементы

Система элементов e1,e2, …,еп линейно независима: из равенства

и значит, a1 = … = an = 0.

Кроме того, любой элемент из R» можно записать в виде линейной комбинации элементов e1…..еп: ‘

Тем самым, размерность пространства R» равна п.

Пример:

Однородная линейная система

имеющая ненулевые решения, обладает фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является базисом линейного пространства решений однородной системы. Размерность этого линейного пространства равна числу элементов ФСР, т.е. п — r, где r — ранг матрицы коэффициентов однородной системы, an — число неизвестных.

Пример:

Размерность линейного пространства Мп многочленов степени не выше п равна п + I.

Так как всякий многочлен P(t) степени не выше п имеет вид

то достаточно показать линейную независимость элементов

где t произвольно. Полагая t = 0, получаем, что ао = 0.

Продифференцируем равенство (3) по t:

Вновь положив t = 0, получим, что a1 = 0.

Продолжая этот процесс, последовательно убеждаемся в том, что a0 = a1 = … = ап = 0. Это означает, что система элементов e1 = I,… ,en+1 = t» линейно независима. Следовательно, искомая размерность равна n + 1.

Линейное пространство, размерность которого равна п, называется п-мерным.

Обозначение: dim V = п.

Соглашение. Далее в этой главе всюду считается, если не оговорено противное, что размерность линейного пространства V равна п.

Ясно, что если W — подпространство n-мерного линейного пространства V, то dim W ≤ п.

Покажем, что в п-мерном линейном пространстве V есть линейные подпространства любой размерности k ≤ п.

Пусть e = (е1 … еn) — базис пространства V. Легко убедиться в том, что линейная оболочка

имеет размерность k.

По определению dim < θ >= 0.

Теорема:

О пополнении базиса. Пусть система элементов а1.. , аk линейного пространства V размерности п линейно независима и к

так как в нетривиальной линейной комбинации

коэффициент μ ≠ 0 вследствие линейной независимости системы а1…., аk.

Если бы разложение вида (4) можно было бы написать для любого элемента b пространства V, то исходная система a1…, аk была бы базисом согласно определению. Но в силу условия k

строками которой являются координаты векторов а1, а2, а3, а4, равен четырем. Это означает, что строки матрицы А, а, значит, и векторы а1, а2, а3, а4 линейно независимы.

Подобный подход используется и в общем случае: чтобы дополнить систему k линейно независимых элементов

до базиса пространства R» , матрица

элементарными преобразованиями строк приводится к трапециевидной форме, а затем дополняется п — k строками вида

(0 … 1 … 0)

так, чтобы ранг получаемой матрицы был равен п. Справедливо следующее утверждение.

Теорема:

Пусть W1 и W2 — линейные подпространства линейного пространства V. Тогда

Замена базиса

Пусть e = (e1 … еn) и e’ = (е’1, … е’n) — базисы линейного пространства V. Разложим элементы базиса e’ по базису с. Имеем

Эти соотношения удобно записать в матричной форме
(2)

называется матрицей перехода от базиса e к базису e’.

Свойства матрицы перехода

1. det S ≠ 0.

Доказательство этого свойства проводится от противного.

Из равенства detS = 0 вытекает линейная зависимость столбцов матрицы S. Эти столбцы являются координатными столбцами элементов е’1,…, е’n в базисе e. Поэтому (и вследствие теоремы 4) элементы е’1…..с’n должны быть линейно зависимыми.

Последнее противоречит тому, что e’ — базис. Значит, допущение, что det S = 0, неверно.

2. Если и — координаты элемента х в базисах e и e’ соответственно, то:
(3)

Заменяя в формуле

e’j их выражениями (1), получаем, что

Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису имеем

Переходя к матричной записи найденных равенств, убеждаемся в справедливости свойства 2.

3. S -1 — матрица перехода от базиса e’ к базису e.

Свойство 3 доказывается умножением обеих частей матричного равенства (2) на матрицу S -1 справа.

Евклидовы пространства

Вещественное линейное пространство V называется (вещественным) евклидовым пространством, если любым двум элементам х и у из V ставится в соответствие число, обозначаемое через (х,у), такое, что для любых элементов х, y,z и произвольного вещественного числа а выполняются следующие условия:

4. (х, х) ≥ 0; причем равенство нулю возможно в том и только в том случае, если х = θ.

Число (х, у) называется скалярным произведением элементов х и у. Примеры евклидовых пространств.

1. В пространстве свободных векторов К] скалярное произведение векторов а и b определяется так:

2. Скалярное произведение произвольных элементов из координатного пространства R» можно определить формулой

3, Линейное подпространство евклидова пространства само является евклидовым пространством.

Пользуясь определением евклидова пространства, нетрудно доказать следующие свойства:

Теорема:

Неравенство Коши—Буняковского. Для любых двух элементов х и у евклидова пространства V справедливо неравенство

Если (х, х) = θ , то х = θ и неравенство выполняется вследствие того, что ( θ , у) = 0.

Обратимся к случаю (х, х) ≠ 0. Тогда (х, х) > 0. По определению скалярного произведения неравенство

справедливо для любых элементов х и у из пространства V и любого вещественного числа t. Запишем неравенство (1) подробнее:

Левую часть последнего неравенства можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно t. Из того, что знак этого квадратного трехчлена не изменяется при любых t, заключаем, что его дискриминант неположителен,

Перенося вычитаемое в правую часть, получаем требуемое неравенство.

Замечание:

Часто доказанное неравенство записывают в равносильной форме,

Следует подчеркнуть, что слева в этом неравенстве стоит абсолютная величина (модуль) скалярного произведения, а в правой части — нормы векторов х и у.

Определение:

Длиной (нормой) элемента х называется число |х|, вычисляемое по правилу

Ясно, что |х| ≥ 0 для любого х, причем равенство |х| = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.

Рассмотрим цепочку равенств:

Заменяя второе слагаемое на 2|(х, у)| ≥ 2(х, у) и применяя неравенство Коши—Буняковского |(х,у)| ≤ |х| • |у|, получаем, что

После извлечения квадратного корня приходим к неравенству треугольника:
|х + у| ≤ |х| + |у|
(рис.7).

Углом между ненулевыми элементами х и у евклидова пространства называется число φ, подчиненное следующим двум условиям:

Определение угла корректно, так как согласно теореме 8 имеем

для любых ненулевых элементов х и у.

Элементы х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Для ортогональных элементов из соотношения (2) вытекает равенство

являющееся обобщением известной теоремы Пифагора’, квадрат длины суммы ортогональных элементов равен сумме квадратов их длин (рис. 8).

Система элементов f1…..f k называется ортогональной, если (fi, fj) =0′ при i ≠ j, и ортонормированной, если

Определение:

называют символом Кронекера.

Теорема:

Ортонормированная система элементов линейно независима.

Умножая обе части равенства

скалярно на элемент fj, j = 1 ,… ,k, получаем, что

И так как (fj, fj) = 1,то aj = 0, j = 1,…, k.

Метод ортогонализации

Покажем, как, пользуясь заданной системой линейно независимых элементов f1,… ,fk евклидова пространства Е, построить в нем ортонормированную систему из к элементов.

Для того, чтобы элемент

был ортогонален элементу g1, необходимо выполнение следующего равенства:

Тем самым, элемент

ортогонален элементу g1 (рис. 9 а).

Пользуясь построенными элементами g1, g2 и заданным элементом fз, построим элемент

ортогональный как элементу g1, так и элементу g2. Для этого коэффициенты β1 и β2 должны удовлетворять следующим условиям:

Таким образом, элемент
, (f3,g|) (f3,g2)

ортогонален элементам g1 и g2 (рис. 9 6).

Аналогичными рассуждениями можно показать, что элемент

ортогонален элементам

Делением каждого элемента gi (i = 1…..k) на его длину |g

Базис e = (e1 … еn) евклидова пространства называется ортонормированным, или ортобазисом, если

Суммируя вышеизложенное, получаем следующий результат.

Теорема:

В любом евклидовом пространстве существует о ртонормированный базис.
Пример:

Методом ортогонализации построить ортоиормированный базис евклидова пространства Е по его базису

Полагаем b1 = a1 и b2 = а2 — ab1. Для того, чтобы вектор

был ортогонален вектору b1, необходимо выполнение неравенства

Для того, чтобы вектор

был ортогонален векторам b1 и b2, необходимо выполнение равенств

Тем самым, вектор

Система векторов b1, b2, b3 ортогональна. Поделив каждый вектор на его длину, получим

— ортонормированный базис пространства Е.

При помощи ортонормированного базиса скалярное произведение элементов вычисляется особенно просто. Пусть e = (e1 … еn) — ортонормированный базис пространства Е. Вычислим скалярное произведение элементов х и у, предварительно разложив их по базису e

Ортогональное дополнение

Пусть W — линейное подпространство евклидова пространства V. Совокупность W⊥ элементов у пространства V, обладающих свойством

(y. х) = 0,

где х — произвольный элемент из W, называется ортогональным дополнением подпространства W. Другими словами, ортогональное дополнение W⊥ состоит из всех элементов у, ортогональных всем элементам подпространства W.

Свойства ортогонального дополнения

1. W⊥ — линейное подпространство пространства V. Пусть элементы y1, у2 лежат в W⊥ , т. е.

для любого элемента х из W. Складывая эти равенства и пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем,что

для любого элемента х из W. Это означает, что

Из того, что (у, х) = 0 для любого элемента х из W, вытекает равенство (ау, х) = а(у, х) и, значит, включение ay ∈ W⊥ .

Свойство 2 означает, что любой элемент х пространства V можно представить, причем единственным образом, в виде суммы элементов из W и W⊥ :

x = y+z. ‘ (*)

Элемент у ∈ W называется ортогональной проекцией элемента х на линейное подпространство W, а элемент z ∈ W⊥ — его ортогональной составляющей (рис. 11).

Покажем, как по заданным элементу х и линейному подпространству W найти его ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую г.

Можно считать, что в линейном подпространстве W задан ортонормированный базис e1…..еk. Запишем искомый элемент у в виде линейной комбинации

Подставляя это выражение в формулу (*):

и умножая обе части полученного равенства последовательно на элементы e1,…, еk, в предположении z ⊥ W приходим к соотношениям

обладают требуемыми свойствами. *

Пример:

Найти ортогональную проекцию вектора х = (4, 2, 3, 5) на линейное подпространство W ⊂ R4, заданное системой уравнений

Векторы a1 = (1,0,0,-1) и а2 = (0,1,-1,0) образуют фундаментальную систему решений и, следовательно, базис подпространства W. Кроме того, векторы a1 и а2 ортогональны. Для того, чтобы построить ортонормированный базис подпространства W, достаточно разделить эти векторы на иx длины. В результате получим

является ортогональной проекцией вектора х = (4,2, 3, 5), на подпространство W, а вектор

— его ортогональной составляющей.

Унитарные пространства

Унитарным пространством называется линейное комплексное пространство U, в котором каждой упорядоченной паре элементов х и у из U ставится в соответствие число — скалярное произведение (х, у) так, что для любых элементов х, у и z из U и любого комплексного числа а выполняются следующие соотношения:

1. (у, х) = (х, у) (черта в правой части указывает на операцию комплексного сопряжения);
2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z);
3. (ах, у) = а(х, у);
4. (х, х) ≥ 0, причем равенство (х, х) = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.

Пример:

В координатном пространстве Сn, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы п комплексных чисел, скалярное произведение можно ввести так

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Линейные пространства: определение и примеры

Аксиомы линейного пространства

Линейным (векторным) пространством называется множество произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам и поставлен в соответствие вектор , называемый суммой векторов и , любому вектору и любому числу из поля действительных чисел поставлен в соответствие вектор , называемый произведением вектора на число ; так что выполняются следующие условия:

Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства . Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества , такие векторы называются равными.

В определении линейного пространства операция умножения вектора на число введена для действительных чисел. Такое пространство называют линейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел , или, короче, вещественным линейным пространством . Если в определении вместо поля действительных чисел взять поле комплексных чисел , то получим линейное пространство над полем комплексных чисел , или, короче, комплексное линейное пространство . В качестве числового поля можно выбрать и поле рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел. Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейные пространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опуская слово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже — линейные.

1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.

2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.

3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.

4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

5. Разностью векторов и называется сумма вектора с противоположным вектором и обозначается: .

6. Два ненулевых вектора и называются коллинеарными (пропорциональными), если существует такое число , что . Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой вектор считается коллинеарным с любым вектором.

Следствия аксиом линейного пространства

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В линейном пространстве для любого вектора существует единственный противоположный вектор .

3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. .

4. Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е для любого числа .

5. Вектор, противоположный данному вектору, равен произведению данного вектора на число (-1), т.е. .

6. В выражениях вида (сумма конечного числа векторов) или (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.

Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если и — два нулевых вектора, то по аксиоме 3 получаем два равенства: или , левые части которых равны по аксиоме 1. Следовательно, равны и правые части, т.е. . Единственность противоположного вектора. Если вектор имеет два противоположных вектора и , то по аксиомам 2, 3,4 получаем их равенство:

Остальные свойства доказываются аналогично.

Примеры линейных пространств

1. Обозначим — множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями и . Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множество является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.

2. Обозначим — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма не принадлежит рассматриваемому множеству.

3. Обозначим — множество матриц-столбцов размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец . Следовательно, множество является вещественным линейным пространством. Аналогично, множество столбцов размеров с комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.

4. Обозначим — множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где — действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве . Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству . Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.

Множество решений неоднородной системы , напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента ( не является решением неоднородной системы).

5. Обозначим — множество матриц размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица соответствующих размеров. Следовательно, множество является линейным пространством.

6. Обозначим — множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множество является линейным пространством над полем комплексных чисел. Множество многочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множество многочленов степени не выше, чем , с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.

Множество многочленов степени не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.

7. Обозначим — множество действительных функций, определенных и непрерывных на . Сумма функций и произведение функции на действительное число определяются равенствами:

Эти операции действительно определены на , так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами . Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенства для любого . По этому , т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция , тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функции выполняется равенство , т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для вектора будет функция . Тогда (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 — из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию: для любого , т.е. . Таким образом, рассматриваемое множество с введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что — множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго .и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.

Обозначим — множество тригонометрических двучленов (часто ты ) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида , где . Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как ). Поэтому множество с обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен , тождественно равный нулю.

Множество действительных функций, определенных и монотонных на , не является линейным пространством, так как разность двух монотонных функций может оказаться немонотонной функцией.

8. Обозначим — множество действительных функций, определенных на множестве , с операциями:

Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество может быть выбрано произвольно. В частности, если , то — упорядоченный набор чисел , где Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров , т.е. множество совпадает с множеством (см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если (напомним, что — множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство — множество числовых последовательностей . В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.

9. Обозначим — множество положительных действительных чисел, в котором сумма и произведение (обозначения в этом примере отличаются от обычных) определены равенствами: , другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число — как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве , так как произведение положительных чисел есть положительное число и любая действительная степень положительного числа есть положительное число. Проверим справедливость аксиом. Равенства

показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как , т.е. . Противоположным для вектором является вектор , который определен, так как . В самом деле, . Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:

Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

10. Пусть — вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество определенных на линейных скалярных функций, т.е. функций , принимающих действительные значения и удовлетворяющих условиям:

Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма и произведение определяются равенствами:

Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве , является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным к пространству и обозначается . Его элементы называют ковекторами.

Например, множество линейных форм переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству .

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Благодарю Ю.А.Смолькина за обнаружение 07.08.19 ошибки на настоящей странице и информирование о ней.

Линейное пространство

Определения

Пусть дано множество $ \mathbb V_<>=\left\ < X,Y,Z,U,\dots \right\>$ элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения $ X+Y_<> $ и умножения на любое вещественное число $ \alpha_<> $: $ \alpha \cdot X_<> $, и множество $ \mathbb V_<> $ замкнуто относительно этих операций: $ X+Y \in \mathbb V ,\ \alpha \cdot X \in \mathbb V_<> $. Пусть эти операции подчиняются аксиомам:

1. $ X+Y=Y+X_<> $ для $ \ < X,\, Y\>\subset \mathbb V_<> $;

2. $ (X+Y)+Z_<>=X+(Y+Z) $ для $ \ < X,\, Y,\, Z \>\subset \mathbb V_<> $;

3. в $ \mathbb V_<> $ cуществует нулевой вектор $ \mathbb O_<> $ со свойством $ X+ \mathbb O =X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $;

4. для каждого $ X\in \mathbb V_<> $ существует обратный вектор $ X^<\prime>\in \mathbb V_<> $ со свойством $ X+X^<\prime>=\mathbb O_<> $;

5. $ 1\cdot X=X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $;

6. $ \lambda \left(\mu X \right)_<>= \left(\lambda \mu \right)X $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $, $ \ <\lambda ,\, \mu \>\subset \mathbb R_<> $ ;

7. $ (\lambda + \mu)X=\lambda X + \mu X_<> $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $, $ \<\lambda ,\, \mu \>\subset \mathbb R_<> $ ;

8. $ \lambda (X + Y) =\lambda X_<> + \lambda Y $ для $ \ < X,\, Y\>\subset \mathbb V_<> , \lambda \in \mathbb R $.

Тогда такое множество $ \mathbb V_<> $ называется линейным (векторным) пространством, его элементы называются векторами, и — чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из $ \mathbb R_<> $ — последние называются скалярами 1) . Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .

Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору $ X\in \mathbb V_<> $: $ X^<\prime>=-1\cdot X_<> $, его привычно обозначают $ — X_<> $.

Подмножество $ \mathbb V_ <1>$ линейного пространства $ \mathbb V_<> $, само являющееся линейным пространством (т.е. $ \mathbb V_ <1>$ замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства $ \mathbb V_<> $. Тривиальными подпространствами линейного пространства $ \mathbb V_<> $ называются само $ \mathbb V_<> $ и пространство, состоящее из одного нулевого вектора $ \mathbb O_<> $.

Примеры линейных пространств

Пример 1. Пространство $ \mathbb R^ <3>$ упорядоченных троек вещественных чисел $ (a_1,a_2,a_<3>) $ с операциями, определяемыми равенствами:

$$ (a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)= (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3),\ \alpha (a_1,a_2,a_3) = ( \alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3 ) \ . $$ Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан координатами своего конца $ (a_1,a_2,a_<3>) $. На рисунке показано и типичное подпространство пространства $ \mathbb R^ <3>$: плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами $ \mathbb V_1 $ являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения 2) очевидна.

Пример 2. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства $ \mathbb V_1 $ (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор» 3) ) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства $ \mathbb R^ <3>$. Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости $ \mathbb V_1 $.

Пример 3. Естественным обобщением $ \mathbb R^ <3>$ служит пространство $ \mathbb R_<>^ $: векторное пространство строк $ (a_1,\dots,a_) $ или столбцов $ (a_1,\dots,a_n)^ <^\top>$. Один из способов задания подпространства в $ \mathbb R_<>^ $ — задание набора ограничений. Множество решений системы линейных однородных уравнений:

$$ \left\<\begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+\ldots+a_<1n>x_n &=&0,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+\ldots+a_<2n>x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&0 \end\right. \iff AX=\mathbb O $$ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R_<>^ $. В самом деле, если $$x_1=\alpha_1,\dots, x_n=\alpha_n $$ — решение системы, то и $$x_1=t \alpha_1,\dots, x_n= t \alpha_n $$ — тоже решение при любом $ t \in \mathbb R $. Если $$x_1=\beta_1,\dots, x_n=\beta_n $$ — еще одно решение системы, то и $$x_1=\alpha_1+\beta_1,\dots,x_n=\alpha_n+\beta_n $$ — тоже будет ее решением.

Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?

Пример 4. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей $ (a_1,\dots,a_n, \dots ) $, обычно являющееся объектом математического анализа — при рассмотрении последовательностей и рядов. Подпространство этого пространства образуют, например, линейные рекуррентные последовательности $ \_ $ удовлетворяющие — при произвольных числах $ \ \> \subset \mathbb R $ — линейному однородному разностному уравнению $ n_<> $-го порядка, $$ x_=a_1 x_+ \dots+ a_n x_K \ npu \ K \in \ <0,1,2,\dots \>\ ; $$ здесь числа $ \< a_1,\dots,a_, a_n \ne 0 \> \subset \mathbb R $ считаются фиксированными.

Можно рассматривать строки (последовательности) «бесконечные в обе стороны» $ \< \dots,a_<-2>,a_<-1>,a_0,a_1,a_2,\dots \> $ — они используются в ТЕОРИИ СИГНАЛОВ.

Пример 5. Множество $ m\times n_<> $-матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство. Будем обозначать это пространство $ \mathbb R^ $.

В пространстве квадратных матриц фиксированного порядка каждое из следующих подмножеств составляет линейное подпространство: симметричных, кососимметричных, верхнетреугольных, нижнетреугольных и диагональных матриц.

Пример 6. Множество полиномов одной переменной $ x_<> $ степени в точности равной $ n_<> $ с коэффициентами из $ \mathbb A_<> $ (где $ \mathbb A_<> $ — любое из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из $ \mathbb A_<> $ не образует линейного пространства. Почему? — Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов $ f(x)=x^n -x+1 $ и $ g(x)=-x^n+x^-2 $ не будет полиномом $ n_<> $-й степени. Но вот множество полиномов степени не выше $ n_<> $ $$ \mathbb P_n= \left\ < p(x) \in \mathbb A [x] \big| \deg p(x) \le n \right\>$$ линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином 4) . Очевидными подпространствами $ \mathbb P_ $ являются $ \mathbb P_<0>, \mathbb P_1,\dots,\mathbb P_ $. Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше $ n_<> $. Множество всевозможных полиномов $$ \mathbb P= \bigcup_^ <\infty>\mathbb P_n $$ (без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.

Пример 7. Обобщением предыдущего случая будет пространство полиномов нескольких переменных $ x_1,\dots, x_ <\ell>$ степени не выше $ n_<> $ с коэффициентами из $ \mathbb A_<> $. Например, множество линейных полиномов $$ \left\< a_1x_1+\dots+a_<\ell>x_<\ell>+b \big| (a_1,\dots,a_<\ell>,b) \in \mathbb A^ <\ell+1>\right\> $$ образует линейное пространство. Множество однородных полиномов (форм) степени $ n_<> $ (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) — также линейное пространство.

Изоморфизм

Пусть имеются два линейных пространства разной природы: $ \mathbb V_<> $ с операцией $ +_<> $ и $ \mathbb W_<> $ с операцией $ \boxplus_<> $. Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.

Говорят, что пространства $ \mathbb V_<> $ и $ \mathbb W_<> $ изоморфны если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если $ X_<> \leftrightarrow X^ <\prime>$ и $ Y_<> \leftrightarrow Y^ <\prime>$ то $ X+Y \leftrightarrow X_<>^ <\prime>\boxplus Y^ <\prime>$ и $ \lambda X_<> \leftrightarrow \lambda X^ <\prime>$.

При изоморфизме пространств $ \mathbb V_<> $ и $ \mathbb W_<> $ нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.

Пример. Пространство $ \mathbb R^_<> $ изоморфно пространству $ \mathbb P_^<> $. В самом деле, изоморфизм устанавливается соответствием $$ [a_1,\dots,a_n] \leftrightarrow a_1+a_2x+\dots + a_nx^ \ .$$

Пример. Пространство $ \mathbb R^ $ вещественных матриц порядка $ m_<>\times n $ изоморфно пространству $ \mathbb R_<>^ $. Изоморфизм устанавливается с помощью операции векторизации матрицы (матрица «вытягивается» в один столбец).

Пример. Пространство квадратичных форм от $ n_<> $ переменных изоморфно пространству симметричных матриц $ n_<> $-го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая $ n=3_<> $:

$$ a_<11>x_1^2+a_<12>x_1x_2+a_<13>x_1x_3+a_<22>x_2^2+a_<23>x_2x_3+a_<33>x_3^2 \leftrightarrow \left( \begin a_ <11>& \frac<1><2>a_ <12>& \frac<1><2>a_ <13>\\ \frac<1><2>a_ <12>& a_ <22>& \frac<1><2>a_ <23>\\ \frac<1><2>a_ <13>& \frac<1><2>a_ <23>& a_ <33>\end \right) \ . $$

Линейная зависимость, базис, координаты

Линейной комбинацией системы векторов $ \\> $ называется произвольный вектор $$ \alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m $$ при каких-то фиксированных значениях скаляров $ \alpha_<1>, \dots, \alpha_ $.

Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов $ \\> $ $$ \left\< \alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m \bigg| \<\alpha_1,\dots,\alpha_m\>\subset \mathbb R \right\> $$ называется линейной оболочкой векторов $ X_1,\dots,X_ $ и обозначается $ <\mathcal L>(X_1,\dots,X_) $.

Теорема 1. Линейная оболочка векторов $ X_1,\dots,X_ $ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $.

Пример. В пространстве $ \mathbb P_ $ полиномов степеней $ \le n_<> \ge 3 $ линейной оболочкой полиномов $ x,x^2,x^3 $ будет множество полиномов вида $ a_0x^3+a_1x^2+a_2x $, т.е. множество полиномов степеней $ \le 3 $, имеющих корень $ \lambda_<>=0 $. ♦

Система векторов $ \< X_<1>,\dots,X_m \> $ называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа $ \alpha_<1>,\dots,\alpha_m $, такие что хотя бы одно из них отлично от нуля и $$ \alpha_1X_1+\dots+\alpha_mX_m=\mathbb O $$ Если же это равенство возможно только при $ \alpha_<1>=0,\dots,\alpha_m=0 $, то система векторов называется линейно независимой (л.н.з.).

Пример. Для полиномов нескольких переменных свойство линейной зависимости является частным проявлением более общего свойства функциональной зависимости. Так, однородные полиномы (формы)

$$ f_1=(x_1+x_2+x_3)^2,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ являются линейно зависимыми, поскольку $$ f_1-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ . $$ Полиномы $$ \tilde f_1=x_1+x_2+x_3,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ не являются линейно зависимыми, но являются функционально зависимыми, поскольку $$ \tilde f_1^2-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ . $$ ♦

Теорема 2. а) Если система содержит хотя бы один нулевой вектор, то она л.з.

б) Если система л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.

в) При $ m>1 $ система $ \,\dots,X_m\> $ л.з. тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее вектор линейно выражается через остальные, т.е. существуют $ j\in \ <1,\dots,n \>$ и константы $ \gamma_<1>,\dots,\gamma_, \gamma_,\dots,\gamma_ $ такие, что $$ X_j=\gamma_1X_1+\dots+\gamma_X_+ \gamma_X_+\dots + \gamma_X_ .$$

Теорема 3. Если каждый из векторов системы $ \ < X_1,\dots,X_\> $ линейно выражается через векторы другой системы $ \< B_<1>,\dots,B_k \> $ с меньшим числом векторов: $ k ☞ ЗДЕСЬ.

Две системы векторов называются эквивалентными если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой и обратно.

Теорема 4. Системы векторов

$$ \ < X_1,\dots,X_\> \quad \mbox < и >\quad \< Y_<1>,\dots,Y_k \> $$ будут эквивалентными тогда и только тогда когда совпадают линейные оболочки этих систем: $$<\mathcal L>(X_1,\dots,X_m)=<\mathcal L>(Y_1,\dots,Y_k) \ . $$

Теорема 5. Если каждая из двух эквивалентных систем

$$ \ < X_1,\dots,X_\> \quad \mbox < и >\quad \< Y_<1>,\dots,Y_k \> $$ является л.н.з., то эти системы состоят из одинакового числа векторов: $ m=k_<> $ .

Линейно независимая система векторов $ \\>\subset \mathbb V $ называется базисом этого пространства если каждый $ X\in \mathbb V $ можно представить в виде линейной комбинации указанных векторов: $$ X=\sum_ \alpha_j X_j \ . $$

При этом не подразумевается конечность системы, т.е. суммирование может распространяться на бесконечное число слагаемых. Так, например, пространство бесконечных строк (или последовательностей) $ \left[a_<1>,a_2,\dots\, \right] $ имеет бесконечный базис, состоящий из векторов $$ [\underbrace<0,\dots,0,1>_j,0,\dots \, ] \quad npu \ j \in \mathbb N \ . $$

В случае, когда базис пространства $ \mathbb V_<> $ конечен, пространство $ \mathbb V_<> $ называется конечномерным, а число векторов базиса тогда называется размерностью пространства $ \mathbb V_<> $ и обозначается 5) : $ \dim \mathbb V_<> $. Также полагают, что размерность тривиального пространства, состоящего из одного только нулевого вектора, равна нулю: $ \dim \ <\mathbb O_<>\>= 0 $.

Пример. Линейное пространство $ m\times n_<> $ матриц имеет размерность $ mn_<> $. Так, для случая $ m_<>=3 ,n=2 $ в качестве базиса можно выбрать следующий набор матриц

$$ \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end \right) \ , \ \left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end \right) \ . $$ ♦

Найти размерности подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц порядка $ n_<> $.

Пример [1]. Замечательный пример трехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный их смешением

под умножением цвета на положительное число $ k_<> $ — увеличение в $ k_<> $ раз яркости цвета

Анимация ☞ ЗДЕСЬ (1500 K, gif)

под умножением на $ (-1) $ — взятие дополнительного цвета. При этом оказывается, что совокупность всех цветов выражается линейно через три цвета: красный, зеленый и синий, т.е. образует трехмерное линейное пространство. (Точнее, некоторое тело в трехмерном пространстве, поскольку яркости цветов ограничены верхним порогом раздражения.) Исследование этого трехмерного тела всех цветов является важным орудием цветоведения. ♦

Если $ \dim \mathbb V=d_<> $ и вектора $ X_1,\dots,X_ $ являются базисными для $ \mathbb V_<> $, то разложение вектора $ X \in \mathbb V_<> $ в сумму: $$ X=\alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_d X_d \ .$$ называется разложением вектора $ X_<> $ по базису $ X_1,\dots,X_ $; при этом числа $ \alpha_1,\dots, \alpha_ $ называются координатами вектора $ X_<> $ в данном базисе.

Теорема 6. Если $ \dim \mathbb V=d>0 $, то любая система из $ d_<> $ линейно независимых векторов пространства образует базис этого пространства.

Доказательство. Пусть $ \ $ — л.н.з. система. Рассмотрим произвольный $ X\in \mathbb V_<> $. Если система $ \ $ л.н.з., то $ \dim \mathbb V \ge d+1 $, что противоречит условию теоремы. Следовательно, система линейно зависима: $ \alpha_0X+\alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O $ при каком-то из чисел $ \<\alpha_j\>_^ $ не равном нулю. Если $ \alpha_0=0 $, то $ \alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O $ при каком-то ненулевом коэффициенте. Это означает, что система $ \ $ линейно зависима, что противоречит предположению. Следовательно $ \alpha_0\ne 0 $, но тогда вектор $ X_<> $ может быть представлен в виде линейной комбинации векторов $ Y_1,\dots,Y_d $: $$X=- <\alpha_1>/ <\alpha_0>Y_1-\dots —<\alpha_d>/<\alpha_0>Y_d \ .$$ По определению, система $ \ $ является базисом $ \mathbb V $. ♦

Теорема 7. Любой вектор $ X \in \mathbb V_<> $ может быть разложен по фиксированному базису пространства единственным образом.

Очевидно, $ \dim \mathbb R^ = n $: строки из $ n_<> $ элементов $$[1,0,0,\dots,0],\ [0,1,0,\dots,0],\ [0,0,1,\dots,0],\ \dots , [0,0,0,\dots,1] $$ образуют базис этого пространства.

Имеются два способа задания линейных подпространств в $ \mathbb R^_<> $. Пусть $$ \mathbb V_1 = <\mathcal L>(A_1,\dots,A_k) \quad npu \ \ \subset \mathbb R^n \ .$$ В разделе ☞ РАНГ установлено, что $$ \dim \mathbb V_1 = \operatorname \ < A_1,\dots,A_k \>= \operatorname (A) \ ,$$ где $ A_<> $ — матрица, составленная из строк (столбцов) $ A_<1>,\dots,A_k $.

Пример. Найти базис подпространства

Решение. Ищем $$ \operatorname \left( \begin 1 & 2 & 1 & 1 \\ -1&0&-1&0 \\ -1& 2 &-1 &1 \\ 0& 1& 0 & 1 \end \right) $$ по методу окаймляющих миноров. Существует минор третьего порядка $$ \left| \begin 1 & 2 & 1 \\ -1&0&0 \\ 0& 1 & 1 \end \right| $$ отличный от нуля, а определитель самой матрицы равен нулю. Замечаем, что найденный отличный от нуля минор расположен в первой, второй и четвертой строках матрицы. Именно эти строки и образуют базис.

Ответ. Базис составляют, например, первая, вторая и четвертая строки.

Другим способом задания линейного подпространства в $ \mathbb R^ $ может служить задание набора ограничений, которым должны удовлетворять векторы подпространства. Таким набором ограничений может являться, например, система уравнений $$ \left\<\begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+\ldots+a_<1n>x_n &=&0,\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+\ldots+a_<2n>x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&0 \end\right. \qquad \iff \qquad AX=\mathbb O . $$ Какова размерность подпространства решений этой системы? На этот вопрос мы ответим сразу же, если вспомним определение фундаментальной системы решений (ФСР). Именно, ФСР — как набор линейно независимых решений, через которые линейно выражается любое решение системы однородных уравнений — является базисом подпространства этих решений.

Теорема 8. Множество решений системы однородных уравнений $ AX=\mathbb O_<> $ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R^ $. Размерность этого подпространства равна $ n-\operatorname (A) $, а фундаментальная система решений образует его базис.

Пример. В пространстве $ \mathbb P_ $ полиномов степеней $ \le n_<> $ каноническим базисом можно взять систему мономов $ \ <1,x,x^2,\dots, x^n \>$, т.е. $ \dim \mathbb P_ =n+1 $. Координатами полинома

$$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n $$ будут его коэффициенты. Можно выбрать и другой базис, например, $ \ <1, x-c,(x-c)^2,\dots,(x-c)^n \>$ при произвольном числе $ c_<> $. Координатами полинома в этом базисе будут теперь коэффициенты формулы Тейлора: $$ f(x) \equiv f(c)+ \frac(c)> <1!>(x-c) + \frac(c)> <2!>(x-c)^2+ \dots + \frac(c)> (x-c)^ \ . $$

Найти координаты полинома

Теорема 9. Любое векторное пространство $ \mathbb V_<> $ размерности $ d_<> $ изоморфно $ \mathbb R^ $.

Доказательство. Изоморфизм можно установить следующим соответствием. Если $ \ $ — какой-то базис $ \mathbb V_<> $, то вектору $ X \in \mathbb V $ поставим в соответствие набор его координат в этом базисе: $$ X=x_1X_1+\dots+x_d X_d \ \Rightarrow \ X \mapsto [x_1,\dots,x_d]\in \mathbb R^d . $$ На основании теоремы $ 6 $, такое соответствие будет взаимно-однозначным, а проверка двух свойств изоморфизма тривиальна. ♦

Критерии линейной зависимости

Теорема . Строки

$$ \<(a_<11>,\dots,a_<1n>),\dots, (a_,\dots,a_)\> \subset \mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \left|\begin a_<11>&\dots & a_ <1n>\\ \dots & & \dots \\ a_& \dots & a_ \end \right|=0 \, . $$

Теорема . Строки

$$ \<(a_<11>,\dots,a_<1n>),\dots, (a_,\dots,a_)\> \subset \mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \operatorname A

$$ \<(a_<11>,\dots,a_<1n>),\dots, (a_,\dots,a_)\> \subset \mathbb R^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \det (A^ <\top>A) = 0 \, . $$ (Определитель в левой части можно интерпретировать как определитель Грама системы строк.)

Теорема . Аналитические на интервале $ ]a,b[ $ функции $ u_1(x),\dots,u_n(x) $ линейно зависимы на $ ]a,b[ $ тогда и только тогда, когда их вронскиан

Относительный базис

В настоящем пункте $ \mathbb V_1 $ обозначает линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $, отличное от тривиального; обозначаем $ d_1=\dim \mathbb V_1 $.

Теорема. Произвольный базис подпространства $ \mathbb V_1 $ можно дополнить до базиса пространства $ \mathbb V_<> $.

Доказательство. Пусть $ \ \> $ — какой-то базис $ \mathbb V_1 $. В пространстве $ \mathbb V_<> $ найдется вектор $ X_ $ такой, что система $ \, X_\> $ будет л.н.з. (В противном случае, $ \dim \mathbb V=d_1 $, что противоречит условию настоящего пункта.) Если $ d_1+1=d = \dim \mathbb V $, то, на основании теоремы 5 предыдущего пункта, требуемый базис построен. Если же $ d_1+1 ♦

Говорят, что система векторов $ \ $ линейно независима относительно подпространства $ \mathbb V_1 $ пространства $ \mathbb V_<> $ если $$<.>_<> \mbox < из условия >\quad \alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \in \mathbb V_1 \quad \mbox < следует >\quad \alpha_1=\dots=\alpha_k=0 \ .$$

Теорема. Обозначим $ \\> $ — произвольный базис $ \mathbb V_1 $. Система $ \,\dots,X_k\> $ л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \,X_1,\dots,X_k\> $ линейно независима.

Пример. Найти все значения параметра $ <\color\alpha > $, при которых система

Решение. Базисом подпространства $ \mathbb V_1 $ является произвольная ФСР заданной системы однородных уравнений, например $ \>,\ Y_2=[6,-5,0,1]^<^<\top>>\> $. Теорема утверждает, что система $ \ < X_1, X_2\>$ л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \ < X_1, X_2,Y_1,Y_2\>$ л.н.з. (в обычном понимании). Последнее равносильно тому, что матрица, составленная из этих векторов, должна иметь ранг равный $ 4_<> $. $$\operatorname \left( \begin 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & \ <\color\alpha > & 2 & -5 \\ <\color\alpha > & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end \right)=4 \ \iff \ \left| \begin 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & <\color\alpha > & 2 & -5 \\ <\color\alpha > & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end \right|= <\color\alpha >^2-10\, <\color\alpha > +16 \ne 0 \ . $$

Ответ. $ <\color\alpha >\not \in \ < 2,\, 8\>$.

Говорят, что система векторов $ \ $ образует базис пространства $ \mathbb V_<> $ относительно (или над) $ \mathbb V_1 $ если она л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ и любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ можно представить в виде $$ X=c_1X_1+\dots+c_kX_k+Y, \quad \mbox < где >\quad Y\in \mathbb V_1 \ . $$

Теорема. Обозначим $ \ < Y_1,\dots,Y_\> $ — произвольный базис подпространства $ \mathbb V_1 $. Система $ \ $ образует базис $ \mathbb V_<> $ относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \ < X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_\> $ образует базис $ \mathbb V_<> $.

Доказательство. Действительно, любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ выражается через векторы $ X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_ $. По предыдущей теореме для линейной независимости этих векторов необходимо и достаточно относительной линейной независимости $ X_1,\dots,X_k $. ♦

Базис $ \mathbb V_<> $ строится дополнением базиса $ \mathbb V_1 $ векторами $ X_1,\dots,X_k $ линейно независимыми относительно $ \mathbb V_1 $. Поэтому $$<.>_<> \mbox <число векторов относительного базиса >\ = \dim \mathbb V — \dim \mathbb V_1 \ .$$

Это число называется коразмерностью 6) подпространства $ \mathbb V_1 $ в пространстве $ \mathbb V $.

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ \mathbb V_<> $. Множество $$ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 = \left\$$ называется суммой, а множество $$ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 = \left\$$ — пересечением подпространств $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $. Аналогично определяется сумма и пересечение произвольного количества подпространств.

Понятие пересечения линейных подпространств совпадает с понятием пересечения их как множеств.

Теорема. $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 $ и $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ являются подпространствами линейного пространства $ \mathbb V_<> $.

Докажите, что $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 $ — это подпространство минимальной размерности, содержащее как $ \mathbb V_1 $, так и $ \mathbb V_2 $.

Теорема. Имеет место формула:

$$ \dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2=\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2) \ . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Можно ли обобщить этот результат на случай трех (и более подпространств)? Cправедлив ли, к примеру, аналог формулы включений-исключений в следующем виде:

$$\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2 + \dim \, \mathbb V_3 — $$ $$ -\left\ <\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_3) + \dim \, (\mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) \right\>+ $$ $$+ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) =\dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2 + \mathbb V_3) \ ?$$

Теорема. Имеет место формула:

Пример. Найти базис суммы и размерность пересечения

$$\mathbb V_1=<\mathcal L>\left( \left[ \begin 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 1 \\ 2 \end \right] , \left[ \begin -2 \\0 \\ 1 \\ 1 \end \right] \right) \quad \mbox < и >\quad \mathbb V_2=<\mathcal L>\left( \left[ \begin -1 \\3 \\ 2 \\ -1 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 0 \\ -1 \end \right] \right) $$

Решение. Действуя согласно предыдущей теореме, составляем матрицу из всех векторов $$ \left( \begin 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & -1 & -1 \end \right) $$ и ищем ее ранг методом окаймляющих миноров. Имеем: $ \operatorname = 3 $ при ненулевом миноре матрицы расположенном в первых трех ее столбцах.

Ответ. Базис $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ составляют векторы $ X_1,X_2,X_3 $; $ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) = 3+2 — 3 =2 $.

Алгоритм нахождения базиса $ <\mathcal L>(X_1,\dots,X_m) \cap <\mathcal L>(Y_1,\dots,Y_<\ell>) $ проиллюстрируем на примере.

Пример. Найти базис $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ при

$$ \begin \mathbb V_1= <\mathcal L>\left( \left[ \begin 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end \right] \right) \\ <>_<> \qquad \qquad \quad X_1 \quad \quad \ X_2 \quad \quad X_3 \end ,\ \begin \mathbb V_2= <\mathcal L>\left( \left[ \begin 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end \right],\, \left[ \begin 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end \right] \right) \\ <>_<> \quad \qquad \qquad Y_1 \qquad \ Y_2 \quad \quad Y_3 \end \ . $$

Решение. 1. Сначала найдем базисы каждого из подпространств: $$\dim \mathbb V_1=2, \ \mathbb V_1=\mathcal L(X_1, X_2) \ ; \ \dim \mathbb V_2=3,\ \mathbb V_2=\mathcal L(Y_1, Y_2, Y_3) \ . $$

2. Произвольный вектор $ Z\in \mathbb R^5 $, принадлежащий $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $, должен раскладываться по базису каждого из подпространств: $$Z=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2= \beta_1 Y_1 + \beta_2 Y_2 + \beta_3 Y_3 \ .$$ Для определения неизвестных значений координат составляем систему уравнений $$ \begin \qquad X_1 \ X_2 \\ \qquad <\color\downarrow> \ \ \ <\color\downarrow> \\ \left( \begin 1 & 1 & -1 & &-1 & & \ 0 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & 0 & & 0 & & \ -1 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & -1 & & -1 & &\ 0 \end \right) \\ \qquad \qquad \qquad <\color\uparrow> \qquad \ \ <\color\uparrow> \qquad \quad <\color\uparrow> \\ \quad \qquad \qquad -Y_1 \quad — Y_2 \quad -Y_3 \end \left( \begin \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end \right)= \mathbb O_ <5\times 1>$$ и решаем ее по методу Гаусса с нахождением фундаментальной системы решений: $$ \left( \begin 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \left( \begin \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end \right)= \mathbb O \quad \Rightarrow \qquad \mbox < ФСР >\qquad \begin \alpha_1 & \alpha_2 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \hline -1/3 & 1/3 & -1 & 1 & 0 \\ 1/3 & 2/3 & 1 & 0 & 1 \end $$

3. Получившиеся значения координат позволяют выразить базис пересечения — либо через базис подпространства $ \mathbb V_1 $ (если использовать полученные значения для $ \alpha_1,\alpha_2 $), либо через базис подпространства $ \mathbb V_2 $ (если использовать $ \beta_1,\beta_2, \beta_3 $). Например, $$ Z_1=-1/3 X_1 + 1/3 X_2 = [0,1,0,1,0]^<^<\top>>,\ $$ $$ Z_2=1/3 X_1 + 2/3 X_2 = [1,1,1,1,1]^<^<\top>> \ . $$

Найти базисы суммы и пересечения подпространств

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Прямая сумма линейных подпространств

Пусть $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ \mathbb V_<> $. Говорят, что $ \mathbb V_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ если любой вектор $ X\in \mathbb V_<> $ может быть представлен в виде $ X=X_1+X_2 $, где $ X_1\in \mathbb V_1,X_2\in \mathbb V_2 $ и такое представление единственно. Этот факт записывают: $ \mathbb V= \mathbb V_1 \oplus \mathbb V_2 $. Вектор $ X_ <1>$ называется проекцией вектора $ X_<> $ на подпространство $ \mathbb V_1 $ параллельно подпространству $ \mathbb V_ <2>$.

Пример. Линейное пространство квадратных матриц порядка $ n_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств: подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц. В самом деле, для матрицы $ A_ $ справедливо разложение

$$A=\frac<1> <2>\left(A+A^ <^\top>\right) + \frac<1> <2>\left(A-A^ <^\top>\right) $$ и в правой части первая скобка дает симметричную матрицу, а вторая — кососимметричную. Покажите, что не существует иного разложения матрицы $ A_<> $ в сумму симметричной и кососимметричной.

Теорема. Пусть $ \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 $. Эта сумма будет прямой тогда и только тогда, когда подпространства $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ имеют тривиальное пересечение:

$$\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>\ .$$

Доказательство. Необходимость. Пусть сумма $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ — прямая, но существует вектор $ X\ne \mathbb O $, принадлежащий $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Но тогда и вектор $ (-X) $ принадлежит $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Для нулевого вектора $ \mathbb O $ получаем два представления в виде суммы проекций на подпространства: $$ \mathbb O = \mathbb O + \mathbb O = X+ (-X) \, . $$ Это противоречит понятию прямой суммы.

Достаточность. Если $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>$, но существует вектор $ X \in \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $, имеющий два различных разложения в сумму проекций $$ X=X_1+X_2 =Y_1+ Y_2 \quad npu \quad \ \subset \mathbb V_1, \ \ \subset \mathbb V_2, $$ то $$ (X_1-Y_1)+(X_2-Y_2) =\mathbb O \quad \Rightarrow \quad X_1-Y_1=Y_2-X_2 \, , $$ т.е. вектор $ X_1-Y_1 $ принадлежит $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Но, по предположению, $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\ <\mathbb O \>$, следовательно, $ X_1-Y_1=\mathbb O $, но тогда и $ Y_2-X_2=\mathbb O $. ♦

Сумма $ \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ будет прямой тогда и только тогда, когда базис $ \mathbb V_<> $ может быть получен объединением базисов $ \mathbb V_ $.

Пример [2]. Доказать, что сумма подпространств

$$\mathbb V_1=<\mathcal L>\left( \left[ \begin 2 \\3 \\ 11 \\ 5 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 5 \\ 2 \end \right] , \left[ \begin 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end \right] \right) \quad \mbox < и >\quad \mathbb V_2=<\mathcal L>\left( \left[ \begin 2 \\1 \\ 3 \\ 2 \end \right] , \left[ \begin 1 \\1 \\ 3 \\ 4 \end \right] , \left[ \begin 5 \\2 \\ 6 \\ 2 \end \right] \right) $$ будет прямой и найти проекции вектора $ Z=[2,0,0,3]^ <\top>$ на эти подпространства.

Решение. Базисы $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ составляют соответственно системы $ \ $ и $ \ < Y_1,Y_2 \>$, т.е. $ \dim \, \mathbb V_1=\dim \, \mathbb V_2 =2 $. На основании следствия достаточно установить, что объединенная система $ \ $ л.н.з. Для этого достаточно проверить, что определитель матрицы $$ A=\left( \begin 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end \right) $$ отличен от нуля. Поскольку это условие выполнено, то сумма $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ — прямая и базис этой суммы состоит из взятых векторов. Для нахождения разложения вектора $ X_<> $ по этому базису решаем систему уравнений $$A \left[ \begin \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end \right] = Z $$ и получаем единственное решение: $ \alpha_2=-1,\, \alpha_3=-1,\, \beta_1 =1\, , \beta_2=1 $. Разложение $ Z=Z_1+Z_2 $ составляют векторы $ Z_1=\alpha_2 X_2+\alpha_3 X_3 $ и $ Z_2=\beta_1 Y_1+\beta_2 Y_2 $.

Линейные многообразия

Пусть $ \mathbb V_1 $ — линейное подпространство пространства $ \mathbb V_<> $, а $ X_ <0>$ — произвольный фиксированный вектор из $ \mathbb V_<> $. Множество $$ \mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 = \left\ $$ называется линейным многообразием (порожденным подпространством $ \mathbb V_1 $). Размерностью этого многообразия называется размерность порождающего его подпространства: $ \dim \mathbb M = \dim \mathbb V_1 $. В случае $ 1 ☞ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ: если система совместна, то ее общее решение можно представить как сумму какого-то одного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы $ AX= \mathbb O $. Таким образом, многообразие решений неоднородной системы $ AX= <\mathcal B>$ допускает «параметрическое представление»: $$\mathbb M=X_0+ <\mathcal L>(X_1,\dots,X_>)= $$ $$=\left\> X_> \mid (t_1,\dots, t_>) \in \mathbb R^> \right\> \ ; $$ здесь $ X_ <0>$ означает частное решение системы (т.е. $ AX_0= <\mathcal B>$),

$ \>\> $ — ФСР для системы $ AX= \mathbb O $,

а $ \mathfrak r= \operatorname A= \operatorname [A\mid \mathcal B] $.

Получаем, следовательно, $ (n-<\mathfrak r>) $-мерную плоскость в $ \mathbb R^n $, a в случае $ (n-<\mathfrak r>)=1 $ — прямую $$\mathbb M=X_0+tX_1 \quad npu \ t \in \mathbb R \ ; $$ в последнем случае вектор $ X_ <1>$ называют направляющим вектором этой прямой.

Некоторые задачи на линейные многообразия ☞ ЗДЕСЬ.