Составить опорный конспект по теме решение уравнений

Опорный конспект по теме «Уравнения»

Опорный конспект по теме «Уравнения»

Просмотр содержимого документа
«Опорный конспект по теме «Уравнения»»

Уравнение – равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой.

Например, 2t + 4 = 16; 10 – k = 8.

левая часть правая часть

Корнем (или решением) уравнения называется такое число, подстановка которого в уравнение дает верное равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Число 3 – корень уравнения а (а – 1) = 6, так как 3 ( 3 – 1 ) = 6.

Число 4 не является корнем уравнения а (а – 1) = 6, так как 4 (4 – 1) 6.

В выражениях с переменными знак умножения не пишут, если число умножается на переменную:

2а – это 2 а; 10х – это 10 х.

В выражениях с переменными не пишут 1, если эта единица умножается на букву:

а – это 1 а; с – это 1 с.

Равенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить одно и то же число или если из обеих его частей вычесть одно и то же число.

Равенство не нарушится, если обе его части умножить на одно и то же число или если обе его частей разделить на одно и то же число (не равное нулю).

Если найти неизвестное мешает какое-либо арифметическое действие, нужно с обеими частями уравнения сделать действие ему обратное

взаимно обратные (противоположные) действия

(прибавим к обеим частям равенства число 4)

(действия «– 4+4» взаимно уничтожили друг друга. Такие действия удобно зачеркивать)

10 – с = 2, ( (-1))

(умножим обе части уравнения на число (-1), знаки всех чисел поменяем на противоположные)

(прибавим к обеим частям уравнения число 10)

у 3 = 18, (:3)

у 3 : 3 = 18 : 3,

(действия « 3 : 3» взаимно уничтожили друг друга)

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Равенство не нарушится, если поменять местами левую и правую части уравнения (при этом знаки не меняются).

(перенесем из левой части уравнения в правую часть число

-14, изменив его знак на +)

(перенесем из левой части уравнения в правую часть число

10, изменив его знак на –)

– с = – 8, ( (-1))

(умножим обе части уравнения на число (-1), знаки всех чисел поменяем на противоположные)

(поменяем местами левую и правую части уравнения)

(перенесем из левой части уравнения в правую часть число

4, изменив его знак на –)

Если в уравнении несколько слагаемых содержат неизвестное, то все слагаемые с неизвестной можно перенести в левую часть уравнения, а числовые слагаемые (без неизвестного) — в правую, при этом если слагаемое остается в какой-либо части равенства, то оно свой знак не меняет, а если слагаемое перенесли в другую часть равенства, то его знак меняется на противоположный.

Например, 2х + 3х –8 = 28 + х,

Далее для упрощения уравнения применяется распределительное свойство умножения:

Опорный конспект «Общие методы решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема занятия «Основные методы решения уравнений»

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

1. Метод разложения на множители.

Уравнение f(x)g(x)h(x)=0 заменить совокупностью уравнений f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0. Необходима проверка корней.

Пример 1. Решите уравнение x 2 +5 x =0 .
Решение :

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести 5 в правую сторону.

Пример 2: Решите уравнение x 3 +4 x 2 −4 x −16=0

x 2 , а из второй – минус четыре.

Вынесем за скобку x +4 x+4 .

Расщепим уравнения на три.

x 1 =−4 x 2 =2 x 3 =−2

2. Метод введения новой переменной.

Пусть g(x)=t, тогда уравнение p(g(x))=0 равносильно уравнению p(t)=0.

1 . Введение новой переменной

Пусть , тогда уравнение примет вид

ОДЗ: х>0. Решив данное квадратное уравнение, находим его корни

Следовательно,

Ответ. х = 10; х = 100.

3. Функционально-графический метод. f(x)=g(x)

построение графиков функций y=f(x) и y=g(x); определение абсцисс точек пересечения графиков.

использование свойств функций: монотонности, наибольшего и наименьшего значений на промежутке Х.

4. Метод замены уравнения равносильным.

При решении показательных уравнений: уравнение a f(x) = a g(x) (a >0, a≠1) равносильно f(x) = g(x).

При решении логарифмических уравнений: уравнение log _a f(x) = log _a g(x) (f(x) > 0, g(x)>0, a>0, a≠1) равносильно f (x) = g(x).

При решении иррациональных уравнений (можно применять, если функции монотонны): уравнение равносильно f(x) = g(x).

Пример 4 : уравнение ( 3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 можно заменить следующим равносильным: 9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10

Пример 5 : 3 х+1 =27, 3 х+1 =3 3 , заменим данное уравнение равносильным х+1=3; х=2. Ответ х=2.

Самостоятельно решите уравнения известными вам методами:

Метод разложения на множители

Б) 2sinxcosx – sinx = 0

В) 7 2x+1 + 7 2x+2 + 7 2x+3 = 57

Метод введения новой переменной

А) log ₃ 2 х – log ₃ х = 2

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x )= g(x))

А) 5 х+3 =5 3х-8
Б)

В) log ( x -2)=2

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 451 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (базовый уровень) », Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

§ 24. Общие методы решения уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 16.05.2020
• 204
• 1

• 16.05.2020
• 282
• 8

• 26.04.2020
• 259
• 0

• 24.04.2020
• 102
• 2

• 24.04.2020
• 511
• 45

• 15.04.2020
• 455
• 10

• 23.03.2020
• 329
• 11

• 17.03.2020
• 163
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 16.05.2020 306
• DOCX 79.2 кбайт
• 7 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Чухина Ольга Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 65662
• Всего материалов: 32

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Опорный конспект по теме «Квадратные уравнения»

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Пример квадратного уравнения:

Числаa, b и c–коэффициенты квадратного уравнения.

Числоaназываютпервым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число c – свободным членом.

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

Примеры приведенного квадратного уравнения:

здесь коэффициент при x 2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).

Неполное квадратное уравнение.

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называютнеполным квадратным уравнением.

Примеры неполного квадратного уравнения:

здесь есть коэффициент а, который равен -2, есть коэффициент c, равный 18, а коэффициента b нет – он равен нулю.

здесьа = 1, b = -5, c = 0 (поэтому коэффициент c в уравнении отсутствует).

Как решать квадратные уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:

1) Найти дискриминант D по формуле:

Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то

2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:

Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:

D = b 2 – 4ac = (–5) 2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.

Находим корни квадратного уравнения:

Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D 0 , то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x 2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

D = b 2 – 4ac = 7 2 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

Находим оба значения x:

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

Пример. Решим уравнение 5x 2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8, a = 5, c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D₁:

D₁ = k 2 – ac = (-8) 2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.