Составьте приведённое квадратное уравнение, если известны его корни: а) 1 и 5; б) -2 и 3; в) 4 и 6; г) -3 и -6; д) 0,5 и 4; е) 1,2 и -5; ж) 1 и -1; з) 5 и 5. Например
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,292
- гуманитарные 33,622
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,160
- разное 16,830
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:
ax 2 + bx + c = 0 — квадратное уравнение,
где x — это неизвестное, а a, b и c — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.
называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.
Приведённое квадратное уравнение
Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:
x 2 + | b | x + | c | = 0. |
a | a |
Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:
если | b | = p, а | c | = q, |
a | a |
то получится x 2 + px + q = 0.
Уравнение x 2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.
является приведённым, а уравнение:
можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:
Решение квадратных уравнений
Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:
Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:
Вид уравнения | Формула корней | ||||
---|---|---|---|---|---|
ax 2 + bx + c = 0 | |||||
ax 2 + 2kx + c = 0 | |||||
x 2 + px + q = 0 |
|
Обратите внимание на уравнение:
это преобразованное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b — четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:
Пример 1. Решить уравнение:
Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:
Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:
x1 = | -2 | = — | 1 | , x2 = | -12 | = -2 |
6 | 3 | 6 |
Ответ: — | 1 | , -2. |
3 |
Определим, чему равны коэффициенты:
Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:
Приведём уравнение к общему виду:
Определим, чему равны коэффициенты:
Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:
Определим, чему равны коэффициенты:
Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение и его корни
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:
Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D \ge 0$) справедливо следующее:
$$ x_1+x_2 = -b, \quad x_1 x_2 = c $$
$$ x_1 = -6, x_2 = 1, \quad x_1+x_2 = -5, \quad x_1 x_2 = -6 $$
Теорема Виета
Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D \ge 0$) справедливо следующее:
$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$
$$ 2x^2+5x-3 = 2 \left(x-\frac<1> <2>\right)(x+3) $$
$$ x_1 = \frac<1><2>, x_2=-3, \quad x_1+x_2=-\frac<5><2>, \quad x_1 x_2 = — \frac<3> <2>$$
Примеры
Пример 1. Составьте квадратное уравнение по его корням:
Искомое уравнение: $x^2-3x-10 = 0$
Искомое уравнение: $x^2-3,5x-2 = 0$
$$ \left(x-\frac<1> <3>\right) \left(x-\frac<1> <2>\right) = x^2- \left(\frac<1><3>+\frac<1> <2>\right)x+\frac<1> <3>\cdot \frac<1> <2>= x^2-\frac<5> <6>x+\frac<1> <6>$$
Искомое уравнение: $x^2-\frac<5> <6>x+\frac<1> <6>= 0 или 6x^2-5x+1 = 0$
$г) \frac<3><5>$ — один корень
$$ \left(x-\frac<3> <5>\right)^2 = x^2-2 \cdot \frac<3> <5>x+ \left(\frac<3> <5>\right)^2 = x^2-\frac<6> <5>x+\frac<9><25>$$
Искомое уравнение: $x^2-\frac<6> <5>x+ \frac<9> <25>= 0$ или $25x^2-30x+9 = 0$
Пример 2. Один из корней уравнения $x^2+bx-21 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент b.
По теореме Виета можем записать:
Получаем: второй корень равен -7, уравнение имеет вид $x^2+4x-21 = 0$.
Ответ: $x_2$ = -7, b = 4
Пример 3. Один из корней уравнения $x^2+3x+c = 0$ равен 12. Найдите другой корень и коэффициент c.
По теореме Виета можем записать:
$$ <\left\< \begin
Получаем: второй корень равен -15, уравнение имеет вид $x^2+3x-180 = 0$.
Ответ: $x_2$ = -15, c = -180
Пример 4*. Дано уравнение $x^2+5x-7 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$.
Не решая его, постройте уравнение:
а) с корнями $y_1 = \frac<1>
По теореме Виета для корней исходного уравнения получаем:
Для корней искомого уравнения можем записать:
$$ y^2-\frac<5> <7>y-\frac<1> <7>= 0 \iff 7y^2-5y-1 = 0 $$
б) с корнями $y_1 = \frac
Для корней искомого уравнения можем записать:
$$ y^2+\frac<39> <7>y+1 = 0 \iff 7y^2+39y+7 = 0 $$
http://izamorfix.ru/matematika/algebra/kvadratnye_uravn.html
http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/teorema-vieta/