Составить систему уравнений для определения токов

Составление системы уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа. Нахождение токов, используя метод контурных токов

Страницы работы

Содержание работы

Контрольная работа №1.

Дана схема электрической цепи

Везде в контрольной работе единицы измерения ЭДС и напряжения – В, сопротивления – Ом, проводимости – См, сопротивление вольтметра принимается равным бесконечности. Расчеты производятся в математическом пакете MathCad.

1) Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа.

Произвольно покажем направления токов во всех ветвях:

Составим 3 уравнения по 1 закону Кирхгофа (всего n=4 узла)

(1)

Всего ветвей: m=6, значит составим m-(n-1)=3 недостающих уравнения по 2 закону Кирхгофа. Обход контуров выберем по часовой стрелке.

(2)

С помощью (1) и (2) можно найти решения для всех токов цепи.

2) Найти все токи, пользуясь методом контурных токов.

Направление обхода контурных токов внутри существующих ячеек обозначено на рис.1.

Для каждого контура-ячейки составим уравнение по второму закону Кирхгофа

(Iк – контурные токи)

Решая данную систему, находим контурные токи:

Токи во внутренних ветвях схемы определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. Токи во внешних ветвях схемы равны контурным.

I₁=-Ik₂=3.9(A); I₂=I_k2-I_k1=(A); I₃=-I_k1=3.992(A); I₄=I_k3-I_k2= (A);

По знаку видно, что I₆ должен быть направлен в другую сторону (в дальнейших расчетах I₆>0)

3) Предварительно упростив схему, заменив треугольник сопротивлений R₄, R₅, R₆ эквивалентной схемой, начертить расчетную схему с эквивалентной звездой и показать на ней токи. Проверить правильность решения предыдущего пункта, применив метод узлового напряжения.

Полученная схема с токами после преобразований показана на рис.2.

Применим метод узлового напряжения между узлами а и b:

(В)

где G₁, G₂, G₃ – сопротивления соответствующих ветвей:

Найдем токи в ветвях по закону Ома:

Полученные значения токов совпадают с токами, найденными в п.2.

4) Определить ток в резисторе R₆ методом эквивалентного генератора.

Определим напряжение холостого хода U_cd на резисторе R₆, для этого воспользуемся формулой узлового напряжения для узлов а и b:

Воспользуемся законом Ома для определения частных напряжений:

Определим эквивалентное сопротивление R_{эк cd}. Схема в этом случае принимает вид, показанный на рис.4а. Для нахождения общего сопротивления, преобразуем треугольники acb в звезду (рис 4б), тогда:

Общее эквивалентное сопротивление цепи:

Ток I₆ в резисторе R₆ находится по формуле эквивалентного генератора:

Как видим, данное значение тока совпадает со значением, найденным в п.2, что свидетельствует о правильности решения.

5) Определить показания вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы.

Показания вольтметра можно определить по закону Ома:

Уравнение баланса отражает равенство мощностей, отдаваемой источником (Р_и) и расходуемой приемниками (Р_п), т.е.

(Вт)

(Вт)

Р_и= Р_п, следовательно баланс мощностей соблюдается, задача решена верно.

6) Построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Потенциальной диаграммой называется график распределений потенциалов вдоль какого-либо контура. Потенциальную диаграмму строят как зависимость (потенциалов от сопротивления). Обозначения узлов см. на рис.5. За нулевой потенциал принимаем точку d. Найдем значения потенциалов других узлов (обход внешнего контура по часовой стрелке):

Учет знака выбирался из правил: ток течет от большего потенциала к меньшему, наращивание потенциала за счет ЭДС соответствует знаку источника, подключенного к измеряемой точке.

Построим потенциальную диаграмму:

Диаграмма начинается и заканчивается с потенциалом , потенциалы посчитаны правильно.

Дана электрическая схема.

Переведем исходные данные: 300мкФ=3·10 -4 Ф; 19.1мГн=1,91·10 -2 Гн; 15.9мГн=1,59·10 -2 Гн; 31.8мГн=3,18·10 -2 Гн

1) Определить токи во всех ветвях цепи и напряжения на отдельных участках. Определить показание вольтметра.

Определим комплексные сопротивления ветвей:

=Ом

где — угловая частота

=Ом

=Ом

Полное комплексное сопротивление:

Ом

Начальная фаза ЭДС Е принимается равной нулю, поэтому комплексная составляющая равна нулю:

Ток в неразветвленной части цепи:

А

Токи в параллельных цепях находятся по соотношениям:

=1,93-1,66j=2,54e -40°38′ j А

=0,77+1,01j=1,27e 52°54′ j А

Напряжения на отдельных участках:

=111,72-9,65j=112,14e -4°56′ j В

=8,28+9,65j=12,71e 49°21′ j В

Вольтметр будет показывать действительную величину напряжения, которая находится по выражению:

2) Составить баланс активной и реактивной мощностей. Определить показание активной мощности, измеряемой ваттметром.

Полная мощность всей цепи:

=323,54-77,47j=332,69e -13°27′ j В·А

Действительная часть комплекса – активная мощность, мнимая часть – реактивная мощность.

Таким образом, ваттметр будет показывать мощность 323,5 Вт.

Найдем активные и реактивные мощности отдельных участков цепи.

Найденная сумма активных мощностей отдельных участков равна активной мощности всей цепи.

С учетом погрешности вычислений, можно сказать, что найденная сумма реактивных мощностей отдельных участков равна реактивной мощности всей цепи.

Таким образом, баланс потребляемой и отдаваемой мощностей соблюдается.

3) Построить в масштабе на комплексной плоскости векторную диаграмму токов и потенциальную диаграмму напряжений по внешнему контуру.

Векторная диаграмма токов – изображение векторов найденных токов, исходящих из одной точки. Сначала откладываем токи I₂ и I₃, их геометрическая сумма дает ток I₁. (Токи строились в масштабе 10:1)

Потенциальная диаграмма напряжений – направленные отрезки, соединяющие точки, соответствующие потенциалам каждой точки контура. Обычно обход контура берется против направления тока (в нашем случае, против часовой стрелки) – контур abcdef.

Определим длину отрезков, необходимых отложить на диаграмме:

Отложение отрезков начинается из точки (0;0), U_ab – падение напряжение на катушке, поэтому отрезок откладывается с опережением на 90° (перпендикулярно направлению I₃ против часовой стрелки), затем от конца U_ab откладывается отрезок U_bc (падение на конденсаторе) перпендикулярно I₃ (против направления U_ab). U_cd откладывается синфазно I₃, U_de – синфазно I₁, U_ef – перпендикулярно I₁. Точка конца диаграммы совпадает с отрезком общего напряжения Е, значит расчет произведен верно.

Дана схема трехпроводной электрической цепи:

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Содержание:

Законы Кирхгофа

Уравнения, описывающие поведение электрической цепи, составляют на основе законов Кирхгофа. Они определяют связь между токами и напряжениями элементов, образующих цепь. Уравнения, составленные согласно этим законам, называют уравнениями Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи.

Он формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

В уравнении (3.1) токи, направленные от узла, записывают с положительным знаком. Токи, направленные к узлу, записывают со знаком минус.

Система уравнений по первому закону Кирхгофа, записанная для всех узлов цепи, линейно зависима. В этом легко убедиться, сложив все уравнения. Поскольку ток каждой ветви входит в два уравнения с разными знаками, сумма тождественно равна нулю. Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно , где — число узлов цепи.

Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контуре цепи:

Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю:

Если напряжение ветви совпадает с направлением обхода контура, то напряжению приписывают знак плюс, если же нет — знак минус. Перенесем напряжения источников напряжения, равные ЭДС этих источников, в правую часть. Уравнение (3.2) примет вид

В соответствии с последним равенством алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС источников.

Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. Число таких контуров определяется формулой , где — число ветвей.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Порядок составления уравнений но законам Кирхгофа

1. Необходимо сначала выбрать положительные направления токов и напряжений ветвей. Положительное направление тока показывают стрелкой на выводе элемента. Положительное направление напряжения показывают стрелкой, расположенной рядом с элементом. Полярности напряжений резисторов выбирают согласованными с направлениями токов. Направления токов источников напряжения выбирают совпадающими с направлениями ЭДС.

2. Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов.

3. Выбираем направления обхода контуров и записываем уравнения по законам Кирхгофа. Сопротивление проводника, соединяющего элементы, очень мало по сравнению с сопротивлением резистора и игнорируется. Ячейки внутренней цепи удобно выбирать в качестве независимых цепей. Можно воспользоваться и другим способом: выбрать по порядку контуры, так, чтобы каждый следующий контур содержал, по меньшей мере, одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры.

4. Решаем полученную систему уравнений и определяем токи и напряжения цепи.

5. После определения токов и напряжений необходимо выполнить проверку. Для этого вычисленные значения переменных подставляют в одно из уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

При составлении уравнений в качестве неизвестных рассматривают либо токи, либо напряжения резистивных элементов.

В первом случае уравнения цепи составляют относительно неизвестных токов резистивных элементов и напряжений на источниках тока. Напряжения на резистивных элементах, входящие в уравнения по второму закону Кирхгофа, выражают через токи по закону Ома. Такой способ составления уравнений называют токов ветвей.

Число совместно решаемых уравнений в методе токов ветвей можно сократить, если контуры выбирать так, чтобы они не включали источники тока. В этом случае неизвестными будут только токи резистивных элементов, и по второму закону Кирхгофа достаточно составить уравнений, где — количество источников тока.

Во втором случае уравнения цепи составляются относительно напряжений резистивных элементов и токов источников напряжения. Токи резисторов представляют произведением проводимости на напряжение на резисторе. Этот способ составления уравнений называют методом напряжений ветвей.

В дальнейшем для решения задач мы будем использовать в основном метод токов ветвей.

Пример 3.1. Записать уравнения Кирхгофа для цепи, показанной на рис. 3.1.

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. Неизвестными являются токи резистивных элементов . Поэтому необходимо составить пять уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно двум.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3. Контуры I и II выберем так, чтобы они не включали источник тока, иначе в системе уравнений появится дополнительная переменная — напряжение источника тока. Направления обхода контуров выберем совпадающими с направлением движения часовой стрелки. В результате получим систему из пяти уравнений с пятью неизвестными токами:

Узел 1: ;

Узел 2: ;

Узел З: ;

Контур I:

Контур II:

Для решения системы уравнений целесообразно использовать математические пакеты, например MathCAD или Matlab.

Напряжение на зажимах источника тока можно затем найти, записав уравнения для контуров, включающих или

Пример задачи с решением 3.2.

Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 3.2. Номиналы элементов: ,

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. В рассматриваемой схеме шесть неизвестных токов , следовательно, необходимо составить шесть независимых уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Еще три уравнения составим по второму закону Кирхгофа. Наличие источника тока учитывалось при определении числа уравнений по второму закону Кирхгофа.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3. Уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров I, II, III. Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

В результате получим систему из шести уравнений с шестью неизвестными токами:

В матричной форме записи:

Решением системы уравнений являются следующие значения токов:

Знак минус в численных значениях токов означает, что направление токов при заданных условиях выбрано навстречу истинному.

На странице -> решение задач по электротехнике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретических основ электротехники (ТОЭ).

Услуги:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Учебные материалы

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур.

Расчет многоконтурной линейной электрической цепи, имеющей «b» ветвей с активными и пассивными элементами и «у» узлов, сводится к определению токов отдельных ветвей и напряжений на зажимах элементов, входящих в данную цепь.

Пассивной называется ветвь, не содержащая источника ЭДС. Ветвь, содержащая источник ЭДС, называется активной.

1-й закон Кирхгофа применяют к независимым узлам, т.е. таким, которые отличаются друг от друга хотя бы одной новой ветвью, что позволяет получить (y — I) уравнений.

Недостающие уравнения в количестве b — (у — I) составляют, исходя из второго закона Кирхгофа. Уравнение записывают для независимых контуров, которые отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью.

Порядок выполнения расчета:

1. выделяют в электрической цепи ветви, независимые узлы и контуры;
2. с помощью стрелок указывают произвольно выбранные положительные направления токов в отдельных ветвях, а также указывают произвольно выбранное направление обхода контура;
3. составляют уравнения по законам Кирхгофа, применяя следующее правило знаков:
   1. токи, направленные к узлу цепи, записывают со знаком «плюс», а токи, направленные от узла,- со знаком «минус» (для первого закона Кирхгофа);
   2. ЭДС и напряжение на резистивном элементе (RI) берутся со знаком»плюс», если направления ЭДС и тока в ветви совпадают с направлением обхода контура, а при встречном направлении — со знаком «минус»;
4. решая систему уравнений, находят токи в ветвях. При решении могут быть использованы ЭВМ, методы подстановки или определителей.

Отрицательные значения тока какой-либо ветви указывают на то, что выбранные ранее произвольные направления тока оказались ошибочными. Это следует учитывать, например, при построении потенциальной диаграммы, где следует знать истинное направление тока.

На рис. 4, а изображена исходная электрическая схема, для которой следует рассчитать токи в ветвях. Направления токов и обхода контуров приведены на рис. 4, б.

Система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид