Составить уравнение биссектральной плоскости того двугранного угла

Разработка урока «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Разделы: Математика

• систематизировать, расширить и углубить знания, умения и навыки учащихся, связанные с понятиями перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей, расстояние от точки до плоскости, ввести понятие биссектора двугранного угла
• развитие логического мышления путем разбора и анализа задач
• формировать умений осуществлять контроль и самоконтроль при решении задач, умения строить план ответа по задаваемым вопросам.

1. Организационный момент.

Сообщение учителем темы и постановка целей урока.

“Если хотите научиться решать задачи, то решайте их”
Д.Пойа

2. Актуализация опорных знаний.

1) Устная работа

1. определение перпендикулярных прямых в пространстве,
2. определение прямой, перпендикулярной плоскости,
3. признак перпендикулярности прямой и плоскости,
4. теорему о трех перпендикулярах,
5. определение перпендикулярных плоскостей,
6. признак перпендикулярности плоскостей.

2) Работа с тестовыми заданиями.

1. Из данных утверждений верным является:

1. Если две прямые перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.
2. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.
3. Если прямая перпендикулярна проекции плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости?
4. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Все утверждения обсуждаются. При каком условии 1–3 утверждения будут верны. Четвертое утверждение доказывается на доске (задача № 178 уч. 10–11 кл. Л.С. Атанасян и др. Учащиеся самостоятельно разобрали д\з)

2. В треугольнике АКС, АКСК, точкам не принадлежащим плоскости АКС и МКСК.

Какие высказывания верны?

1) АК СКМ

2) СК АКМ

3) АК МК

4) СК АМ

Ответы: а) 1; б) 1;3 в) 2;4 г) 4

На каком рисунке ab

Ответ:
1) № 1
2) № 2
3) № 1 и №2

4. Точка М равноудалена то всех вершин прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 см и 8 см Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 12 см. Расстояние от точки М до вершин треугольника равно

5. АВСD – прямоугольник, отрезок ВО перпендикулярен плоскости АВС, F – середина АD, расстояние от точки О до прямой АD равно длине отрезка

Ответ: 1) ОВ 2) ОА 3) ОD 4) ОF

6. Даны прямоугольные треугольники АСВ(А = 90) и АDВ (А = 90), не лежащие в одной плоскости. Точка К – середина отрезка АВ. Линейным углом двугранного угла DАВС будет

1) DАС 2) DКС 3) DВС 4) угол не обозначен

7. Плоскости равностороннего треугольника АВС и квадрата ВСDЕ перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до стороны DЕ, если АВ = 4 см.

8. Прямые а и b – параллельны и лежат в плоскости α. Через каждую из этих прямых проведена плоскость, перпендикулярная α. Каково взаимное расположение полученных плоскостей?

Ответ: 1) пересекаются; 2) совпадают; 3)параллельны.

9. Точка находятся на расстояниях 9 см и 6 см от двух перпендикулярных плоскостей. Чему равно расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей?

3. Проверка домашнего задания.

Учащимся было предложено домашнее задание: познакомиться в справочной литературе с понятием биссектора двугранного угла, научиться строить биссектор двугранного угла и доказать, что биссектор двугранного угла – есть геометрическое место точек, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от плоскостей его граней.

Устанавливаем, что биссектором двугранного угла назовем полуплоскость, которая имеет границей ребро двугранного угла, проходит между его гранями и разделяет этот угол на два двугранных угла.

Биссектор существует для любого двугранного угла. Построить его можно следующим образом: строим какой-либо линейный угол данного двугранного угла, строим биссектрису этого линейного угла, полуплоскость, определяемая ребром двугранного угла и этой биссектрисой, и является биссектором данного двугранного угла.

ГМТ: биссектор двугранного угла есть геометрическое место точек, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от плоскостей его граней.

1) точки, лежащие на биссекторе, равноудалены от граней двугранного угла. Пусть α и β – грани данного двугранного угла, π – биссекторная полуплоскость, М – точка биссекторной полуплоскости. Проведем через точку М плоскость σ перпендикулярную ребру двугранного угла..АСВ линейный угол данного двугранного угла. СМ – биссектриса АСВ. Опустим из точки М перпендикуляры на стороны угла АСВ (MN BC, МКАС) MN = МК (по свойству биссектрисы угла).

MNβ , МКα (по свойству прямой перпендикулярной линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей) значит точка М –равноудалена от граней двугранного угла.

2) Докажем, что если точка М равноудалена от граней угла, то она принадлежит биссектору.

Проведем через точку М плоскость σ перпендикулярную ребру данного двугранного угла. Сечением двугранного угла будет его линейный угол АВС.

Опустим из точки М перпендикуляры МК и МN на стороны угла АВС.

МКα, MNβ (по свойству прямой, перпендикулярной линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей) MN = MK (по условию). Значит, точка М принадлежит биссектрисе угла АВС. Следовательно, точка М принадлежит биссектору π.

1. познакомиться с понятием многогранный угол;
2. доказать ,что биссекторы двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одному лучу;
3. доказать, что биссекторы двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке внутри тетраэдра.

Составить уравнение биссектральной плоскости того двугранного угла

Замечание . Иногда говорят, что двугранный угол α a β образован двумя полуплоскостями α и β , имеющими общую граничную прямую a .

Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла α a β отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB , перпендикулярные ребру a (рис. 96, а ). Угол AOB , образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла α a β .

Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a , то плоскость AOB перпендикулярна прямой a . Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру .

Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A 1 O 1 B 1 двугранного угла α a β (рис. 96, б ). Лучи OA и O 1 A 1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O 1 B 1 . Тогда ∠ AOB = ∠ A 1 O 1 B 1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Таким образом, нами доказана теорема.

Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.

Это позволяет ввести следующее определение.

Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0 ° ; 180 ° ).

На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30 ° . В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам.

Двугранный угол является острым (рис. 98, а ), прямым (рис. 98, б ) или тупым (рис. 98, в ), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а ) и вертикальные (рис. 99, б ) двугранные углы . При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов.

Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.

 На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B ; A 1 и B 1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA 1 = a ; BB 1 = b ; A 1 B 1 = h . Тогда

AB = .

 Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно .

14.2. Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ , то величины трёх остальных равны соответственно 180 ° – ϕ , ϕ , 180 ° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю.

Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ , то пишут: ( α ; β ) = ϕ .

Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0 ° ; 90 ° ] .

ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD ( ∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями:

а) ABC и MBC ; б) AMD и CMD .

Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC . Найдём величину этого угла.

По условию задачи DM ⊥ ( ABC ), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = . Так как DE — высота ромба ABCD , то DE = , где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC , катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC = = = 10.

Учитывая, что S = • AC • BD = •12•16 = 96, находим: DE = = 9,6. Тогда tg ϕ = = = , откуда ϕ = arctg .

б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD , то AD ⊥ DM , CD ⊥ DM , значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM . Найдём этот угол.

В треугольнике ACD по теореме косинусов находим

cos ψ = = = – ,

откуда ψ = arccos .

Ответ: а) arctg ; б) arccos .

МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛОВ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМ И В. В. Жук, к.ф.-м. н., учитель математики высшей категории, заведующий кафедрой математики РСФМСШИ им. О. Жаутыкова, — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемДмитрий Разамасцев

Похожие презентации

Презентация на тему: » МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛОВ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМ И В. В. Жук, к.ф.-м. н., учитель математики высшей категории, заведующий кафедрой математики РСФМСШИ им. О. Жаутыкова,» — Транскрипт:

1 МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛОВ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМ И В. В. Жук, к.ф.-м. н., учитель математики высшей категории, заведующий кафедрой математики РСФМСШИ им. О. Жаутыкова, Алматы Сайт:

2 Основные методы нахождения угла между плоскостями 1.Классический (геометрический) метод 2.Площадь ортогональной проекции 3.Угол между нормалями 4.Угол между плоскостью и нормалью к другой плоскости 5.Векторный метод 6.Теорема о трех синусах 7.Теорема косинусов для двугранного угла 8.Свойства трехгранных углов 9.Метод прямоугольного тетраэдра 1 10.Метод прямоугольного тетраэдра 2 (А. Фельдман) 11. Координатный метод

3 Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна. Плоскость α параллельна прямым SB и АС, а плоскость β параллельна прямым SC и АВ. Найти угол между этими плоскостями.

5 Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого много- угольника, умноженной на косинус угла между плоскостями много- угольника и его проекции.

6 Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна. Плоскость α параллельна прямым SB и АС, а плоскость β параллельна прямым SC и АВ. Найти угол между этими плоскостями.

8 Точка Е – внутри двугранного у α гла величиной α. EF и EG – перпендикуляры на грани угла. Найдите угол FEG равен π – α. Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям.

9 Угол между плоскостями равен прямому углу минус угол между одной из этих плоскостей и нормалью к другой плоскости.

10 Задача 2. На ребре СD куба ABCDABCD отметили точку М – середину этого ребра Найти угол между плоскостями (ACD) и (DCM).

11 Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной 1. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна. Плоскость α параллельна прямым SB и АС, а плоскость β параллельна прямым SC и АВ. Найти угол между этими плоскостями.

13 Теорема. В одной из граней двугранного угла, равного γ, проведена прямая, не параллельная его ребру и составляющая с ребром угол, равный α. Если β – угол между данной прямой и плоскостью грани двугранного угла её не содержащей, то. Теорема. В одной из граней двугранного угла, равного γ, проведена прямая, не параллельная его ребру и составляющая с ребром угол, равный α. Если β – угол между данной прямой и плоскостью грани двугранного угла её не содержащей, то.

14 Задача 3. Стороны прямоугольника равны 1 и 2. Меньшая сторона прямоугольника лежит в плоскости π, а диагональ прямоугольника образует с ней угол, равный β. Найти угол между плоскостью π и плоскостью прямоугольника.

15 РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 1 С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О ТРЕХ СИНУСАХ

16 РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 2 С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О КОСИНУСОВ ДЛЯ ДВУГРАННОГО УГЛА

18 РАССМАТРИВАЛСЯ В ПРЕДЫДУЩЕЙ ЛЕКЦИИ РАССМАТРИВАЛСЯ В ПРЕДЫДУЩЕЙ ЛЕКЦИИ

19 А. Фельдман, Метод прямоугольного Тетраэдра // Математика. 1 сентября, 7, 2012, с

20 РЕШИТЕ ЗАДАЧУ 2 С ПОМОЩЬЮ КООРДИНАТНОГО МЕТОДА Пусть плоскости заданы своими уравнениями: тогда. Пусть плоскости заданы своими уравнениями: тогда.