Составить уравнение биссектрис углов между прямыми 3x

Составить уравнение биссектрис углов между прямыми 3x

Найти уравнение биссектрис углов между прямыми 12x + 9y — 17 = 0 и 3x + 4y + 11 = 0.

Из элементарной геометрии известно, что биссектриса угла между двумя прямыми есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Обратимся к рисунку

Отклонения и точки A биссектрисы от сторон угла CDE имеют знак плюс, так как точка A и начало координат лежат по разные стороны как от первой, так и от второй прямой, т. е. . Возьмем точку B на биссектрисе смежного угла CDF. Точка B и начало координат лежат по разные стороны от прямой EF, поэтому отклонение имеет знак плюс ( > 0). Отклонение точки B от прямой CL имеет знак минус, так как точка B и начало координат лежат с одной и той же стороны от прямой CL, т. е. C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Задача 27868 4.2.80) Найти уравнения прямых, на.

Условие

4.2.80) Найти уравнения прямых, на которых лежат биссектрисы углов между прямыми 3x-4y+12=0 и 5x+12у-2 = 0.

Решение

Находим координаты точки пересечения прямых
<3x - 4y + 12 = 0
<5x + 12y - 2 = 0

Складываем
14х+34=0
х=-17/7
y=(3x+12)/4
у=33/28

vector=(3;-4)
нормированный вектор vector=(3/5;-4/5)
vector=(5;12)
нормированный вектор vector=(5/13;12/13)

Нормированный вектор биссектрисы равен сумме нормированных векторов прямых
vector=(64/65;8/65)

Cоставим уравнение прямой с нормальным вектором vector=(64/65;8/65) и проходящей через точку А (-17/7;33/28)

64х+8y+146=0
или
32x+4y+73=0 — уравнение одной биссектрисы.

Уравнение второй биссектрисы — уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через точку А.
Перепишем найденное уравнение в виде:
y=-8x-(73/4)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1
y=(1/8)x+d — общее уравнение прямых, перпендикулярных найденной биссектрисе.
Чтобы найти d подставим координаты точки А

О т в е т.
32х+4y+73=0
7x-56y+83=0

Уравнение биссектрисы угла

Составить уравнение биссектрисы угла можно с помощью свойства биссектрисы угла.

Выведем уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0.

Расстояние от точки (x_o;y_o) до прямой ax+by+c=0 определяется по формуле

По свойству биссектрисы угла любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Следовательно, любая точка M(x;y), лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0, находится от этих прямых на одинаковом расстоянии, то есть

Это равенство можно записать в виде

Получили уравнения двух биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми.

Написать уравнения биссектрис углов, образованного прямыми 4x-3y-10=0 и 9x-12y-7=0.

В формулу уравнения биссектрис подставляем данные прямых: