Составить уравнение диаметра окружности перпендикулярного прямой
Глава 22. Диаметры линий второго порядка
В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, который ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением
(1)
то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением
.
Если гипербола задана уравнением
, (2)
то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением
.
Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением
,
то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением
.
Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.
Если k и k ’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса (1), то
(3)
Если k и k ’ — угловые коэффициенты дух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то
(4).
Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.
Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным.
Задача 11414 Найти уравнение прямой, содержащей.
Условие
Найти уравнение прямой, содержащей диаметр окружности
х^2 + у^2 — 6х + 4у + 8 = 0, перпендикулярный прямой х — Зу + 2 = 0.
Решение
Найдем центр и радиус окружности
х^2 + у^2 — 6х + 4у + 8 = 0,
для этого выделяем полные квадраты
х^2 -6х + 9 + у^2 + 4у + 4 — 9 — 4 + 8 = 0,
(х-3)^2+(y+2)^2=5
Центр окружности в точке (3;-2)
Нормальные векторы взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно 0.
Нормальный вектор прямой Ах+Ву+С=0 имеет координаты
(А;В)
Нормальный вектор прямой х-3у+2=0 имеет координаты
(1;-3).
Пусть прямая Ах+Ву+С=0 перпендикулярна данной.
Тогда скалярное произведение векторов (1;-3) и (А;В) равно 0
1*А+(-3)*В=0
Можно взять, например,
А=3 В=1
Уравнение прямой перпендикулярной х — Зу + 2 = 0 имеет вид
3х+у+С=0
Чтобы найти С подставим координаты точки О(3;-2) в это уравнение
3*3+1*(-2)+С=0
С=-7
О т в е т. 3x+y-7=0
Написать уравнение окружности
Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.
1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.
Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:
Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:
2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).
Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.
Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.
Следовательно, уравнение данной окружности
3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).
Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка
Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.
Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,
Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —
4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).
Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение
получаем систему уравнений:
Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим
Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:
на -1 и сложив результат почленно с уравнением
получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:
Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —
5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).
Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=11414
http://www.treugolniki.ru/napisat-uravnenie-okruzhnosti/