Составить уравнение директрисы параболы 3y

Задача 27702 Дана вершина параболы A (-2;-1) и.

Условие

Дана вершина параболы A (-2;-1) и уравнение её директрисы x+2y-1=0.составить уравнение этой параболы.

Все решения

Составим уравнение оси, которая перпендикулярна директрисе и проходит через точку А.

Перпендикулярные ей прямые имеют вид
у=2х+b
Подставим координаты точки А и получим
b=3

Начало системы отсчета точка пересечения директрисы и перпендикулярной ей оси.
По рисунку видно ( можно и систему решить) точка (1;1)
Расстояние от вершины до директрисы равно расстоянию
от вершины до фокуса.
F(-3;-2)
Далее как в решении номера 3710

Пусть М(х;у)– любая точка параболы.
d_(1)=FM=sqrt((x+3)^2+(y+2)^2)
d_(2)=|x+2y-1|/sqrt(1+2^2)-см. формулу расстояния от точки до прямой
d_(1)=d_(2)
sqrt((x+3)^2+(y+2)^2)=|x+2y-1|/sqrt(5)
Возводим в квадрат и преобразовываем
(x–4)^2+(y-3)^2=(x+2y-1)^2/5
x^2-8x+16+y^2-6y+9=(x^2+4y^2+1-2x-4y+4xy)/5;
5x^2-40x+80+5y^2-30y+45-x^2-4y^2-1+2x+4y-4xy=0
4x^2-4xy+y^2-38x-26y+124=0
О т в е т.
4x^2-4xy+y^2-38x-26y+124=0

Директриса параболы

Вы будете перенаправлены на Автор24

Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.

Рисунок 1. Фокус и директриса параболы

Основные понятия параболы

Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.

Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета: $ε =\frac$, где точка $M_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.

Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.

Более часто приходится иметь дело с параболой, вершина которой не находится в точке начала координатных осей, и тогда уравнение параболы приобретает следующий вид:

$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.

Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.

Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$. Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$

Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением

Готовые работы на аналогичную тему

Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ — в правую.
2. Упростите полученное выражение.
3. Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.

Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$

Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:

$y^2 = x^2 + 6x – y + 9$

Приводим в форму квадрата:

Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 09 12 2021

Составить уравнение директрисы параболы 3y

Глава 20. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

.

Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле

.

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

(2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

(3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

(4)

если в нижней полуплоскости (рис.)

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.