Составить уравнение касательной к астроиде

Курсовая работа

Чувашский государственный университет им.

Кафедра высшей математики

«Кривые третьего и четвертого порядка»

доцент кафедры высшей математики

1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид

(1)

Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относи­тельно х и у, в результате будем иметь:

откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.

Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид

(3)

Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симмет­рично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки при­водит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке

Точки этой петли, в которых касательные парал­лельны координатным осям, имеют координаты

и (cм. рис. 1)

Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой у на приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим

и b = — а. Таким образом, де­картов лист имеет асимптоту

у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

2. Свойства. Согласно теоре­ме Маклорена, если в трех точках алгебраи­ческой кривой 3-го порядка, ле­жащих на одной прямой, про­вести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих значениям t1 , t2 и t3 параметра, на одной прямой. Если уравнение прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра, соответствующие точкам пере­сечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе

Система эта приводит к уравнению

корни которого и будут искомыми значениями t1 , t2 и t3 параметра, откуда следует, что

(4)

Это равенство и является условием пребывания трех точек M1(t1 ), M2(t2), М3 (t3) декартова листа на одной прямой.

Располагая этим условием, покажем справедливость теоремы Маклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M1 (t1) можно рассматривать как прямую, которая пересекает декар­тов лист в двух совпадающих между собой точках, для которых t2=t1, и в третьей точке, для которой соответствующее значение параметра обозначим через T1. Условие (4) примет вид t12 T1= —1. Для касательных в точках М2 и M3 получим аналогичные соотношения t22 T2 = -1 и t32 T3 = -1. Перемножая эти три равен­ства, будем иметь

(t1t2t3)2T1T2T3 = -1. откуда на основании (4) заключаем, что и T1T2T3 = -1, т. е. точки N1(T1), N2(T2) и N3(T3) лежат на одной прямой.

Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:

3. Способ построения. Заметим предварительно, что если ось симметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид

(5)

Пусть теперь имеется окружность с радиусом r и центром в точке

и прямая х= —h. Возьмем произвольную точку Q этой окружности и проведем прямую QA и прямую QN, перпендикуляр­ную к оси абсцисс (рис. 2). Из точки пересечения R прямой QA с прямой х= — h проводим прямую RO до пересечения ее в точке Q1 с прямой QN. Та­ким образом, точке Q на окруж­ности будет поставлена в соответ­ствие точка Q1. Геометрическое место точек Q1 представляет со­бой декартов лист.

Для доказательства заметим, что координаты точки Q можно записать в виде

угол, состав­ляемый радиусом круга, проведенным в точку Q, с положительным направлением оси абсцисс. В соответствии с этим уравнение прямой QA может быть записано в виде

Полагая в этом уравнении х= —h, находим ординату

точки R. Отсюда следует, что уравнение прямой RQ1 запишется в виде

(6)

В то же время уравнение прямой Q1N имеет вид

(7)

Исключая из уравнений (6) и (7) параметр w, находим уравнение гео­метрического места точек Q1 в виде

Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем, что найденное геомет­рическое место точек является декартовым листом.

Преобразование точек окружности в точки декартова листа, осу­ществляемое при таком его построении, называется преобразованием Маклорена.

4. Историческая справка. Впервые в истории математики кривая, названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и неко­торой константе. Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квад­рантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века.

Циссоида Диоклеса

1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды—кривой, открытой древними в поисках решения знамени­той задачи об удвоении куба, мы остановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким обра­зом точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).

Если точку О принять за полюс, то но откуда получаем полярное уравнение циссоиды

(1)

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в пря­моугольной системе:

(2)

Параметрические уравнения циссоиды можно получить, пола­гая x=ty, тогда, на основании уравнения (2), придем к системе

Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравне­ний (3) следует, что она является рациональной кривой.

Циссоида симметрична относи­тельно оси абсцисс, имеет бесконеч­ные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая х = 2а, служит для нее асимптотой; начало координат является точ­кой возврата 1-го рода.

2. Свойства. Кинематически циссоида может быть получена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС, передвигаю­щегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит по оси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс. (Рис. 4)

Действительно, обозначив середину отрезка ОЕ через D, замечаем, что поскольку ВС=ЕО, ê ВСЕ=ê ВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, следовательно, ê NBE— равнобедренный, а так как ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то отрезок DM параллелен отрезку BE. Пусть, далее, точка К есть точка пересечения с продолжением отрезка DM пря­мой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишем окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F, заметим, что тре­угольники DOF и МВК равны между собой. Из равенства их сле­дует, что DF=MK, а значит, и DM=FK. Последнее равенство и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой.

Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотноше­ниях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида яв­ляется подэрой параболы относительно ее вершины.

– уравнение данной параболы. Уравнение каса­тельной в произвольной точке М (x, h) этой параболы можно записать в виде уравнение перпендикуляра, опущенного из

начала координат на эту касательную, будет координаты точки N пересечения его с касательной определятся по формулам

(4)

Исключая из этих равенств параметр h, мы получим уравнение

выражающее циссоиду.

Заметим далее, что координаты точки, симметричной началу коор­динат относительно касательной к параболе у2 = 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно, определятся формулами

Исключая из этих равенств параметр h, мы снова получим циссоиду с уравнением Отсюда следует, что циссоида является геометрическим местом точек, симметричных вершине параболы относительно ее каса­тельных.

Следует заметить, что геометрическое место точек, симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рас­сматривать как траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится по данной параболе. Таким образом, возни­кает новый способ кинематического образования циссоиды как тра­ектории вершины параболы, которая без скольжения катится по другой такой же параболе.

Остановимся на метрических свойствах циссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениями циссоиды в виде

Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется утроенной площади производящего круга; действительно,

Это соотношение получено было Гюйгенсом и независимо от него Ферма.

Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5), найдем, интегрируя в границах до что она равна Если теперь провести касательные в точках А и С к производящему кругу, то площадь криволинейного треугольника CMANC будет равна

Выражение, стоя­щее в правой части, определяет утроенную площадь криволинейного треугольника CLANC. Итак, пл. CMANC =3 пл. CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом.

Объем тела, образованного вращением части плоскости, ограни­ченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат определится по формуле

Если учесть, что объем тора, получаемого от вращения производя­щего круга вокруг оси ординат, равняется то из полученного результата следует, что объем тела, получаемого вращением части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат, в пять раз больше объема тора, полученного от вра­щения производящего круга вокруг той же оси. Это соотношение было получено также Гюйгенсом.

Пусть теперь хс — абсцисса центра тяжести части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой; тогда по теореме Гюльдена будем иметь V == U • 2pхс, где V и U—соответственно объем и площадь, которые были определены выше. Подставляя их значения

в соотношение Гюльдена, получим

Таким образом, центр тяжести части плоскости, ограни­чиваемой циссоидой и ее асимптотой, делит отрезок между вершиной и асимптотой на две части, отношение которых равно 5.

Это соотношение позволяет в свою очередь определить объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты. По тео­реме Гюльдена будем иметь

Этот результат можно истолковать также как объем тора, полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты. Таким образом, объем тела, полученного вращением циссоиды во­круг ее асимптоты, равен объему тора, полученного от вращения производящего круга. Это соотношение установлено впервые Слюзом.

Длина дуги циссоиды от ее вершины до точки с абсциссой х определится по формуле

3. Применение циссоиды к решению делосской задачи. Как уже говорилось, циссоида была открыта древними в поисках решения делосской задачи об удвоении куба. История возникновения этой задачи, согласно легенде, передаваемой Эратосфеном, такова: на острове Делосе жители страдали от мора, посланного им богами; по предсказанию оракула богов можно было умиротворить, удвоив объем жертвенника, имевшего форму куба. Суть задачи сводилась к определению ребра куба, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. Что касается самого повода постановки задачи, то справедливо полагать, что «пифия находилась скорее под внуше­нием математиков, нежели вдохновлялась самим богом» (Цейтен), так как задача об удвоении куба являлась естественным перенесением в пространство планиметрической задачи о построении квадрата с пло­щадью, в два раза большей площади данного квадрата, и, следовательно, могла скорее возникнуть в сознании математика, нежели в сознании оракула.

Открытие циссоиды для целей решения делосской задачи при­писывается Диоклесу, жившему в 3 веке до нашей эры. Воз­можность найти графическим путем ребро куба с объемом, в два раза большим объема данного куба, усматривается из следую­щих соображений. Пусть b – ребро данного куба, а В – ребро искомого; тогда и, следовательно, Отсюда ясно, что графическое решение задачи должно свестись к построению

Пе­репишем для этой цели уравнение циссоиды в виде Заметим далее, что прямая отсекает от касательной отрезок (рис. 6)

(5)

и пересекает циссоиду в точке М, координаты которой удо­влетворяют уравнению

Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок

(6)

Если теперь принять и на оси ординат отложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из фор­мул (5) и (6), отрезок AD и будет равен

Древние рассматривали только ту часть циссоиды, которая нахо­дится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и неза­висимо от него Слюзом. Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписывается Ньютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическим путем, но и графическим.

Кардиоида

1. Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точ­ки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по ок­ружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представ­лять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.

Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

(1)

Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как че­тырехугольник AOO1M бу­дет равнобедренной трапе­цией, то полярный угол j точки М окажется равным углу поворота производя­щего круга, т. е. парамет­ру t. Учитывая это обстоя­тельство, заменим во вто­ром уравнении системы (1) у через r sin t. Сокращая по­лученное таким образом ра­венство на sin t, получим полярное уравнение кардио­иды

По виду этого уравнения

можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Па­скаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.

Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:

(3)

Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.

2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпи­циклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмот­ренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.

Вот эти свойства и характеристики.

1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противопо­ложную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.

2. Угол m, составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью. Действительно

Из этого соотношения непо­средственно вытекает, что угол, составляемый касательной к кардио­иде с осью абсцисс, равняется (как внешний угол треугольника AMN Рис.8). Располагая формулой можно доказать, что касательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс, взаимно перпендику­лярны.

Действительно, так как

Заметим еще, что геомет­рическое место точек пересе­чения этих касательных есть окружность Дей­ствительно, уравнение первой касательной на основании урав­нений (1) кардиоиды, будет иметь вид

а второй касательной Ис­ключая из этих уравнений параметр, получим уравнение указанной ок­ружности.

3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды опре­делится по формуле

(4)

Можно показать также, что радиус кривизны равняется 2/3 по­лярной нормали N в заданной точке.

Действительно, откуда на основании (4) получаем Соотношение это может быть использовано для построения центра кривизны кардиоиды.

4. Эволюта кардиоиды, согласно общему свойству эволют эпи­циклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, с коэффициен­том подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°.

5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определится по формуле

(5)

Если длину дуги отсчитывать от точки А1, диаметрально противопо­ложной точке А, то формула для определения длины дуги может быть записана в виде

(6)

6. Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

(7)

7. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по фор­муле

и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга.

Длина всей кардиоиды определится по формуле

и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга. Объ­ем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равен

Поверхность тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется

Мы видели, что кардиоида органически связана с окружностью. Она является конхоидой круга и эпициклоидой. Она имеет с окруж­ностью и иной характер родства — кардиоида является подэрой окружности относительно точ­ки, принадлежащей этой окруж­ности.

Действительно, пусть ОМ есть перпендикуляр, опущенный на ка­сательную к окружности с ради­усом, равным 2r, проведенную в точке N.

Так как ОМ = OB + ВМ, или r == 2r cos j + 2r, то геометрическим местом точек М будет кардиоида с уравне­нием r = 2r (1 + cos j).

Заметим в заключение, что кар­диоида относится также к семей­ству синусоидальных спиралей, и отдельные свойства ее повторяют общие свойства этих кривых. Из этих свойств следует, в частности, что инверсия кардиоиды, относительно точки воз­врата дает параболу.

Астроида

1. Свойства. Астроида, как и рассмотренная выше кривая Штейнера, является частным случаем гипоциклоид, а именно, гипоциклоидой с моду­лем m, равным 1/4. Она представляет собой, следовательно, траекторию точки, лежащей на окружно­сти круга радиуса r, который ка­тится по внутренней стороне друго­го, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше.

Параметрические уравнения астроиды можно получить, пола­гая в уравнениях гипоциклоиды, m=1/4. Вот эти уравнения:

где t, как и ранее, угол поворота производящего круга (рис. 10)

Исключая из уравнений (1) параметр t, получим:

(2)

Из уравнения (2) следует, что астроида является алгебраической кри­вой 6-го порядка.

Параметрические уравнения (1) астроиды можно привести к виду

(3)

Исключая из этих уравнений параметр t, получим часто употребляе­мый вид уравнения астроиды

(4)

Полагая в ранее выведенных общих соотношениях для циклои­дальных кривых модуль

m = -1/4, получим соответствующие соот­ношения для астроиды:

1) радиус кривизны в произвольной точке астроиды опре­деляется по формуле

(5)

2) длина дуги астроиды от точки А до произвольной точки M(t) определится по формуле

(6)

длина одной ветви равна а длина всей кривой 6R;

3) для получения натурального уравнения астроиды за­метим предварительно, что если началом отсчета длины дуги пола­гать не точку А, для которой t = 0, а точку, для которой t = p, то длина дуги определится формулой

(6)

исключая параметр t из уравнений (5) и (6), получим натуральное уравнение астроиды

4) эволюта астроиды есть также астроида, подобная дан­ной, с коэффициентом подобия, равным 2, повернутая относительно данной на угол p/4 (рис.11)

5) площадь, ограниченная всей астроидой, равна объем тела, полученного от вращения астроиды, равняется 32/105p R3

поверх­ность тела, образованного вращением астроиды, равна

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых частных свойств астроиды.

Астроида является огибающей отрезка постоянной длины, кон­цы. которого скользят по двум взаимно перпендикулярным пря­мым.

Принимаем эти прямые за оси координат и, обозначая угол на­клона скользящего отрезка ND=R через a (рис.12), будем иметь уравнение прямой ND в виде

(7)

Дифференцируя это уравнение по параметру a, получим:

Исключая из последнего уравнения и уравнения (7) параметр a, будем иметь уравнение огибающей в виде т. е. астроиду.

Практически перемещение отрезка ND можно осуществить с по­мощью так называемых кардановых кругов. Один из этих кругов с радиусом R неподвижен, а другой, с радиусом r, в два раза мень­шим, катится по внутренней стороне неподвижного круга. Любые две диаметрально противоположные точки N и D катящегося круга будут перемещаться по двум взаимно перпендикулярным диаметрам Ох и Оу неподвижного круга. Ясно, что огибающей диаметра катящегося круга и будет астроида.

Рассмотренный способ образования астроиды можно истолковать также следующим образом. Прямоугольник ODCN, две стороны ко­торого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, деформи­руется так, что диагональ его сохраняет длину, равную R, огибаю­щая диагонали и будет астроидой. Так как при этом перпендикуляр, опущенный из вершины С на диагональ DN, служит нормалью к оги­бающей, то астроида представляет собой геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из вершины С прямоуголь­ника на его диагональ.

2. Свойства касательных к астроиде. Уравнение (7) выражает прямую ND, т. е. касательную к астроиде в некоторой точке М, причем параметр a представляет собой угол, составляемый этой ка­сательной с осью абсцисс. Уравнение другой касательной, перпенди­кулярной к первой, будет иметь вид

(8)

Исключая из уравнений (7) и (8) параметр а, получим уравнение или, в полярной системе, которое выражает четырехлепестковую розу. Итак, геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются астроиды, есть четырех лепестковая роза.

Другое свойство касательных к астроиде таково: каждая касательная пересекает астроиду в двух точках, касательные в которых пересекаются в точке, лежащей на окружности описанного около астроиды круга.

Определим подэру астроиды от­носительно точки Р, лежащей на бис­сектрисе 1-го координатного угла на расстоянии ОР=с от начала коорди­нат. Выше было показано, что астроиду можно рассматривать как огибающую отрезка ND = R, скользящего своими концами по координатным осям. Отсюда

следует, что искомую подэру можно определить как геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки Р на пря­мую ND (рис. 13). Проведем ОЕ _|_ ND, и OQ, где Q — середина отрезка ND. Точку Р посчитаем полюсом, а прямую РК полярной осью. Полярный угол КРМ точки М подэры обозначим через j, а радиус-вектор РМ — через r. Тогда, как легко видеть, угол

Так как

Но, с другой стороны, На основании последних двух равенств, полярное уравнение подэры запишется в виде а в прямоугольной системе с началом в точке Р в виде

Полученная таким образом кривая 6-го порядка имеет в начале коор­динат четырехкратную точку и называется «жуком». В частном слу­чае, пои с=0, жук становится розой,

3. Косая астроида. Обобщением рассмотренной астроиды является так называемая косая астроида, которая представляет собой оги­бающую отрезка ND постоянной длины R, скользящего своими кон­цами по двум прямым, пересекающимся под произвольным углом f.

Полагая эти пересекающиеся прямые координатными осями, обозна­чим угол, составляемый прямой ND с осью абсцисс, через t. Тогда из треугольника OND (рис. 14) будем иметь:

и следовательно, уравнение прямой ND в отрезках на осях запи­шется в виде

Дифференцируя это урав­нение по t и исключая из полученного после дифференцирования равенства и уравнения прямой параметр t, получим параметрические уравнения косой астроиды в виде

при эти уравнения выражают рассмотренную ранее прямую астроиду.

Циссоида Диоклеса

1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды—кривой, открытой древними в поисках решения знамени­той задачи об удвоении куба, мы остановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким обра­зом точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).

Если точку О принять за полюс, то но откуда получаем полярное уравнение циссоиды

(1)

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в пря­моугольной системе:

(2)

Параметрические уравнения циссоиды можно получить, пола­гая x=ty, тогда, на основании уравнения (2), придем к системе

Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравне­ний (3) следует, что она является рациональной кривой.

Циссоида симметрична относи­тельно оси абсцисс, имеет бесконеч­ные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая х = 2а, служит для нее асимптотой; начало координат является точ­кой возврата 1-го рода.

2. Свойства. Кинематически циссоида может быть получена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС, передвигаю­щегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит по оси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс. (Рис. 4)

Действительно, обозначив середину отрезка ОЕ через D , замечаем, что поскольку ВС=ЕО, ê ВСЕ= ê ВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, следовательно, ê NBE — равнобедренный, а так как Е D =ЕО/2=ВС/2=ВМ, то отрезок DM параллелен отрезку BE . Пусть, далее, точка К есть точка пересечения с продолжением отрезка DM пря­мой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишем окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F , заметим, что тре­угольники DOF и МВК равны между собой. Из равенства их сле­дует, что DF = MK , а значит, и DM = FK . Последнее равенство и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой.

Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотноше­ниях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида яв­ляется подэрой параболы относительно ее вершины.

– уравнение данной параболы. Уравнение каса­тельной в произвольной точке М (x, h) этой параболы можно записать в виде уравнение перпендикуляра, опущенного из

начала координат на эту касательную, будет координаты точки N пересечения его с касательной определятся по формулам

(4)

Исключая из этих равенств параметр h, мы получим уравнение

выражающее циссоиду.

Заметим далее, что координаты точки, симметричной началу коор­динат относительно касательной к параболе у 2 = 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно, определятся формулами

Исключая из этих равенств параметр h, мы снова получим циссоиду с уравнением Отсюда следует, что циссоида является геометрическим местом точек, симметричных вершине параболы относительно ее каса­тельных.

Следует заметить, что геометрическое место точек, симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рас­сматривать как траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится по данной параболе. Таким образом, возни­кает новый способ кинематического образования циссоиды как тра­ектории вершины параболы, которая без скольжения катится по другой такой же параболе.

Остановимся на метрических свойствах циссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениями циссоиды в виде

Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется утроенной площади производящего круга; действительно,

Это соотношение получено было Гюйгенсом и независимо от него Ферма.

Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5), найдем, интегрируя в границах до что она равна Если теперь провести касательные в точках А и С к производящему кругу, то площадь криволинейного треугольника CMANC будет равна

Выражение, стоя­щее в правой части, определяет утроенную площадь криволинейного треугольника CLANC. Итак, пл. CMANC =3 пл. CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом.

Объем тела, образованного вращением части плоскости, ограни­ченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат определится по формуле

Если учесть, что объем тора, получаемого от вращения производя­щего круга вокруг оси ординат, равняется то из полученного результата следует, что объем тела, получаемого вращением части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат, в пять раз больше объема тора, полученного от вра­щения производящего круга вокруг той же оси. Это соотношение было получено также Гюйгенсом.

Пусть теперь х_с — абсцисса центра тяжести части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой; тогда по теореме Гюльдена будем иметь V == U • 2pх_с, где V и U—соответственно объем и площадь, которые были определены выше. Подставляя их значения

в соотношение Гюльдена, получим

Таким образом, центр тяжести части плоскости, ограни­чиваемой циссоидой и ее асимптотой, делит отрезок между вершиной и асимптотой на две части, отношение которых равно 5.

Это соотношение позволяет в свою очередь определить объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты. По тео­реме Гюльдена будем иметь

Этот результат можно истолковать также как объем тора, полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты. Таким образом, объем тела, полученного вращением циссоиды во­круг ее асимптоты, равен объему тора, полученного от вращения производящего круга. Это соотношение установлено впервые Слюзом.

Длина дуги циссоиды от ее вершины до точки с абсциссой х определится по формуле

3.Применение циссоиды к решению делосской задачи. Как уже говорилось, циссоида была открыта древними в поисках решения делосской задачи об удвоении куба. История возникновения этой задачи, согласно легенде, передаваемой Эратосфеном, такова: на острове Делосе жители страдали от мора, посланного им богами; по предсказанию оракула богов можно было умиротворить, удвоив объем жертвенника, имевшего форму куба. Суть задачи сводилась к определению ребра куба, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. Что касается самого повода постановки задачи, то справедливо полагать, что «пифия находилась скорее под внуше­нием математиков, нежели вдохновлялась самим богом» (Цейтен), так как задача об удвоении куба являлась естественным перенесением в пространство планиметрической задачи о построении квадрата с пло­щадью, в два раза большей площади данного квадрата, и, следовательно, могла скорее возникнуть в сознании математика, нежели в сознании оракула.

Открытие циссоиды для целей решения делосской задачи при­писывается Диоклесу, жившему в 3 веке до нашей эры. Воз­можность найти графическим путем ребро куба с объемом, в два раза большим объема данного куба, усматривается из следую­щих соображений. Пусть b – ребро данного куба, а В – ребро искомого; тогда и, следовательно, Отсюда ясно, что графическое решение задачи должно свестись к построению

Пе­репишем для этой цели уравнение циссоиды в виде Заметим далее, что прямая отсекает от касательной отрезок (рис. 6)

(5)

и пересекает циссоиду в точке М, координаты которой удо­влетворяют уравнению

Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок

(6)

Если теперь принять и на оси ординат отложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из фор­мул (5) и (6), отрезок AD и будет равен

Древние рассматривали только ту часть циссоиды, которая нахо­дится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и неза­висимо от него Слюзом. Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписывается Ньютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическим путем, но и графическим.

Кардиоида

1.Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точ­ки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по ок­ружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представ­лять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.

Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

(1)

Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как че­тырехугольник AOO₁M бу­дет равнобедренной трапе­цией, то полярный угол j точки М окажется равным углу поворота производя­щего круга, т. е. парамет­ру t. Учитывая это обстоя­тельство, заменим во вто­ром уравнении системы (1) у через r sin t. Сокращая по­лученное таким образом ра­венство на sin t, получим полярное уравнение кардио­иды

По виду этого уравнения

можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Па­скаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.

Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:

(3)

Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.

2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпи­циклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмот­ренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.

Вот эти свойства и характеристики.

1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противопо­ложную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.

2. Угол m, составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью. Действительно

Из этого соотношения непо­средственно вытекает, что угол, составляемый касательной к кардио­иде с осью абсцисс, равняется (как внешний угол треугольника AMN Рис.8). Располагая формулой можно доказать, что касательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс, взаимно перпендику­лярны.

Действительно, так как

Заметим еще, что геомет­рическое место точек пересе­чения этих касательных есть окружность Дей­ствительно, уравнение первой касательной на основании урав­нений (1) кардиоиды, будет иметь вид

а второй касательной Ис­ключая из этих уравнений параметр, получим уравнение указанной ок­ружности.

3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды опре­делится по формуле

(4)

Можно показать также, что радиус кривизны равняется 2/3 по­лярной нормали N в заданной точке.

Действительно, откуда на основании (4) получаем Соотношение это может быть использовано для построения центра кривизны кардиоиды.

4. Эволюта кардиоиды, согласно общему свойству эволют эпи­циклоид, будет также кардиоидой, подобной данной, с коэффициен­том подобия, равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°.

5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определится по формуле

(5)

Если длину дуги отсчитывать от точки А₁, диаметрально противопо­ложной точке А, то формула для определения длины дуги может быть записана в виде

(6)

6. Натуральное уравнение кардиоиды получится, если из равенств (4) и (6) исключить параметр. Оно будет иметь вид

(7)

7. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по фор­муле

и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга.

Длина всей кардиоиды определится по формуле

и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга. Объ­ем тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равен

Поверхность тела, полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси, равняется

Мы видели, что кардиоида органически связана с окружностью. Она является конхоидой круга и эпициклоидой. Она имеет с окруж­ностью и иной характер родства — кардиоида является подэрой окружности относительно точ­ки, принадлежащей этой окруж­ности.

Действительно, пусть ОМ есть перпендикуляр, опущенный на ка­сательную к окружности с ради­усом, равным 2r, проведенную в точке N.

Так как ОМ = OB + ВМ, или r == 2r cos j + 2r, то геометрическим местом точек М будет кардиоида с уравне­нием r = 2r (1 + cos j).

Заметим в заключение, что кар­диоида относится также к семей­ству синусоидальных спиралей, и отдельные свойства ее повторяют общие свойства этих кривых. Из этих свойств следует, в частности, что инверсия кардиоиды, относительно точки воз­врата дает параболу.

Астроида

1. Свойства. Астроида, как и рассмотренная выше кривая Штейнера, является частным случаем гипоциклоид, а именно, гипоциклоидой с моду­лем m, равным 1/4. Она представляет собой, следовательно, траекторию точки, лежащей на окружно­сти круга радиуса r, который ка­тится по внутренней стороне друго­го, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше.

Параметрические уравнения астроиды можно получить, пола­гая в уравнениях гипоциклоиды, m=1/4. Вот эти уравнения:

где t, как и ранее, угол поворота производящего круга (рис. 10)

Исключая из уравнений (1) параметр t, получим:

(2)

Из уравнения (2) следует, что астроида является алгебраической кри­вой 6-го порядка.

Параметрические уравнения (1) астроиды можно привести к виду

(3)

Исключая из этих уравнений параметр t, получим часто употребляе­мый вид уравнения астроиды

(4)

Полагая в ранее выведенных общих соотношениях для циклои­дальных кривых модуль

m = -1/4, получим соответствующие соот­ношения для астроиды:

1) радиус кривизны в произвольной точке астроиды опре­деляется по формуле

(5)

2) длина дуги астроиды от точки А до произвольной точки M(t) определится по формуле

(6)

длина одной ветви равна а длина всей кривой 6R;

3) для получения натурального уравнения астроиды за­метим предварительно, что если началом отсчета длины дуги пола­гать не точку А, для которой t = 0, а точку, для которой t = p, то длина дуги определится формулой

(6)

исключая параметр t из уравнений (5) и (6), получим натуральное уравнение астроиды

4) эволюта астроиды есть также астроида, подобная дан­ной, с коэффициентом подобия, равным 2, повернутая относительно данной на угол p/4 (рис.11)

5) площадь, ограниченная всей астроидой, равна объем тела, полученного от вращения астроиды, равняется 32/105pR 3

поверх­ность тела, образованного вращением астроиды, равна

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых частных свойств астроиды.

Астроида является огибающей отрезка постоянной длины, кон­цы. которого скользят по двум взаимно перпендикулярным пря­мым.

Принимаем эти прямые за оси координат и, обозначая угол на­клона скользящего отрезка ND=R через a (рис.12), будем иметь уравнение прямой ND в виде

(7)

Дифференцируя это уравнение по параметру a, получим:

Исключая из последнего уравнения и уравнения (7) параметр a, будем иметь уравнение огибающей в виде т. е. астроиду.

Практически перемещение отрезка ND можно осуществить с по­мощью так называемых кардановых кругов. Один из этих кругов с радиусом R неподвижен, а другой, с радиусом r, в два раза мень­шим, катится по внутренней стороне неподвижного круга. Любые две диаметрально противоположные точки N и D катящегося круга будут перемещаться по двум взаимно перпендикулярным диаметрам Ох и Оу неподвижного круга. Ясно, что огибающей диаметра катящегося круга и будет астроида.

Рис. 11

Рис. 12

Рассмотренный способ образования астроиды можно истолковать также следующим образом. Прямоугольник ODCN, две стороны ко­торого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, деформи­руется так, что диагональ его сохраняет длину, равную R, огибаю­щая диагонали и будет астроидой. Так как при этом перпендикуляр, опущенный из вершины С на диагональ DN, служит нормалью к оги­бающей, то астроида представляет собой геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из вершины С прямоуголь­ника на его диагональ.

2. Свойства касательных к астроиде. Уравнение (7) выражает прямую ND, т. е. касательную к астроиде в некоторой точке М, причем параметр a представляет собой угол, составляемый этой ка­сательной с осью абсцисс. Уравнение другой касательной, перпенди­кулярной к первой, будет иметь вид

(8)

Исключая из уравнений (7) и (8) параметр а, получим уравнение или, в полярной системе, которое выражает четырехлепестковую розу. Итак, геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются астроиды, есть четырех лепестковая роза.

Другое свойство касательных к астроиде таково: каждая касательная пересекает астроиду в двух точках, касательные в которых пересекаются в точке, лежащей на окружности описанного около астроиды круга.

Определим подэру астроиды от­носительно точки Р, лежащей на бис­сектрисе 1-го координатного угла на расстоянии ОР=с от начала коорди­нат. Выше было показано, что астроиду можно рассматривать как огибающую отрезка ND = R, скользящего своими концами по координатным осям. Отсюда

следует, что искомую подэру можно определить как геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки Р на пря­мую ND (рис. 13). Проведем ОЕ _|_ ND, и OQ, где Q — середина отрезка ND. Точку Р посчитаем полюсом, а прямую РК полярной осью. Полярный угол КРМ точки М подэры обозначим через j, а радиус-вектор РМ — через r. Тогда, как легко видеть, угол

Так как

Но, с другой стороны, На основании последних двух равенств, полярное уравнение подэры запишется в виде а в прямоугольной системе с началом в точке Р в виде

Полученная таким образом кривая 6-го порядка имеет в начале коор­динат четырехкратную точку и называется «жуком». В частном слу­чае, пои с=0, жук становится розой,

3. Косая астроида. Обобщением рассмотренной астроиды является так называемая косая астроида, которая представляет собой оги­бающую отрезка ND постоянной длины R, скользящего своими кон­цами по двум прямым, пересекающимся под произвольным углом f.

Полагая эти пересекающиеся прямые координатными осями, обозна­чим угол, составляемый прямой ND с осью абсцисс, через t. Тогда из треугольника OND (рис. 14) будем иметь:

и следовательно, уравнение прямой ND в отрезках на осях запи­шется в виде

Дифференцируя это урав­нение по t и исключая из полученного после дифференцирования равенства и уравнения прямой параметр t, получим параметрические уравнения косой астроиды в виде

при эти уравнения выражают рассмотренную ранее прямую астроиду.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Уравнение прямой касательной к графику функции в заданной точке

Эта математическая программа находит уравнение касательной к графику функции \( f(x) \) в заданной пользователем точке \( x_0 \).

Программа не только выводит уравнение касательной, но и отображает процесс решения задачи.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Статью из энциклопедии о касательной прямой вы можете посмотреть здесь (статья из Википедии).

Если вам нужно найти производную функции, то для этого у нас есть задача Найти производную.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> Введите выражение функции \( f(x)\) и число \(x_0\) — абсциссу точки в которой нужно построить касательную Найти уравнение касательной

Немного теории.

Угловой коэффициент прямой

Напомним, что графиком линейной функции \( y=kx+b\) является прямая. Число \(k=tg \alpha \) называют угловым коэффициентом прямой, а угол \( \alpha \) — углом между этой прямой и осью Ox

Уравнение касательной к графику функции

Если точка М(а; f(a)) принадлежит графику функции у = f(x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной равен f'(a). Далее мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной к графику любой функции.

Пусть даны функция у = f(x) и точка М(а; f(a)) на графике этой функции; пусть известно, что существует f'(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx + b, поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов k и b.

С угловым коэффициентом k все понятно: известно, что k = f'(a). Для вычисления значения b воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f(a)). Это значит, что если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: \(f(a)=ka+b \), т.е. \( b = f(a) — ka \).

Осталось подставить найденные значения коэффициентов k и b в уравнение прямой:

Нами получено уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x=a \).

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции \( y=f(x) \)
1. Обозначить абсциссу точки касания буквой \( a \)
2. Вычислить \( f(a) \)
3. Найти \(f'(x) \) и вычислить \(f'(a) \)
4. Подставить найденные числа \( a, f(a), f'(a) \) в формулу \( y=f(a)+ f'(a)(x-a) \)