Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 0 , y0 = 1 , тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М0(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0
Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0
Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х0, y0) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 1, y0 = 2, тогда z0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М0(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0
Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Математический анализ
- Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.
Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.
Касательной плоскостью к поверхности в ее точке $M_0$ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Если уравнение поверхности имеет вид $$F(x,y,z)=0,$$ то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$
В случае задания поверхности в явной форме $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac
Примеры:
7.229. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=\sin x\cos y$ в точке $(\pi/4, \pi/4, \pi/4).$
Решение.
Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac
Находим частные производные:
$z’_x=(\sin x\cos y)’_x=\cos x\cos y;$
$z’_y=(\sin x\cos y)’_y=-\sin x\sin y;$
Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-\frac<\pi><4>=\frac<1><2>(x-\frac<\pi><4>)-\frac<1><2>(y-\frac<\pi><4>)\Rightarrow$$ $$\frac<1><2>x -\frac<1><2>y-z+\frac<\pi><4>=0.$$
7.232. Для поверхности $z=4x-xy+y^2$ найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости $4x+y+2z+9=0.$
Решение.
Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0).$$
Находим частные производные:
Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$z-z_0=(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)\Rightarrow$$ $$(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)-z+z_0=0.$$
Найдем точку поверхности $M(x_0, y_0, x_0)$ касательная плоскость к которой будет параллельна плоскости $4x+y+2z+9=0:$
Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-11=(4-6)(x-\frac<25><2>)+(-\frac<25><2>+2\cdot 6)(y-6)\Rightarrow$$ $$z-11=-2(x-\frac<25><2>)-\frac<1><2>(y-6)\Rightarrow 2x+\frac<1><2>y+z-11-25-3=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow4x+y+2z-78=0.$$
7.233. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x(y+z)(xy-z)+8=0$ в точке $(2, 1, 3).$
Решение.
Для поверхности $$F(x,y,z)=0,$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$
$F(x, y, z)=x(y+z)(xy-z)+8=x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8=0$
Находим частные производные:
Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$4(x-2)+14(y-1)-10(z-3)=0\Rightarrow 4x+14y-10z+8.$$
Домашнее задание.
7.229. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=e^
7.230. Найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к поверхности $z=y tg\frac
7.233. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $2^
7.234. Для поверхности $x^2-z^2-2x+6y=4$ найти уравнение нормали, параллельной прямой $\frac
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Поверхности. Касательная плоскость и нормаль
Краткие теоретические сведения
Способы задания поверхностей
Рассматриваем вектор–функцию двух скалярных аргументов: $$\vec
Запишем четыре способа задания поверхности: 1. Векторное уравнение: $$\vec
Поверхность называется регулярной ($k$ раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию (то есть функции $x(u,v), y(u,v),z=z(u,v)$ $k$ раз непрерывно дифференцируемы). При $k=1$ поверхность называется гладкой.
Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает бесчисленное множество параметризаций.
Кривая, лежащая на поверхности $\vec
Решение задач
Задача 1 (Феденко №544)
Дана поверхность \begin
Ответ. Точка $A$ принадлежит, так как ее координаты удовлетворяют системе уравнений, задающих поверхность. Точка $B$ не принадлежит поверхности.
Задача 2 (Феденко № 546)
Найдите неявное уравнение поверхности, заданной параметрическими уравнениями: \begin
Ответ. Эллипсоид с полуосями $a$, $b$, $c$ и центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$: \begin
Задача 3 (Феденко №528)
В плоскости $xOz$ задана кривая $x=f(u)$, $z=g(u)$, не пересекающая ось $Oz$. Найдите параметризацию поверхности, полученной при вращении этой кривой вокруг оси $Oz$.
Решение задачи 3
Произвольная точка $M$, принадлежащая кривой и имеющая координаты $x_0=f(u_0)$, $y_0=0$, $z_0=g(u_0)$, движется по окружности с центром на оси $Oz$ и радиусом $R=f(u_0)$ в плоскости, параллельной плоскости $xOy$: $z=g(u_0)$. Поэтому изменение ее координат можно записать следующими уравнениями: \begin
Поскольку точка $M$ произвольная, уравнение искомой поверхности: \begin
Касательная плоскость. Нормаль
Краткие теоретические сведения
Пусть $\vec
Пусть точка $P$ не является особой, то есть ранг матрицы \begin
Касательная к кривой $u=u(t)$, $v=v(t)$ на поверхности $\vec
Обозначения:
— $\vec
— $\vec
— Частные производные $x_u$, $y_u$, $z_u$, $x_v$, $y_v$, $z_v$ вычисляются в точке $P(u_0, v_0)$.
Уравнение касательной плоскости:
1. Если поверхность задана векторно, то уравнение касательной плоскости можно записать через смешанное произведение трех линейно зависимых векторов: $$ \left(\vec
Нормалью поверхности в точке $P$ называется прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
Уравнение нормали:
1.$$ \vec
Решение задач
Задача 1 (Феденко №574)
Дана поверхность \begin
а) уравнение касательной плоскости к поверхности;
б] уравнение нормали к поверхности;
в) касательной к линии $u=2$
в точке $M\left(u=2, v=\displaystyle\frac<\pi><4>\right)$ поверхности.
Задача 2
Через точки $A(0,1,0)$ и $B(1,0,0)$ провести плоскость, касательную к поверхности $\vec
Ответ. $z=0, -2X-2Y+Z+2=0$.
Задача 3
Построить касательную плоскость к поверхности $y=x^2+z^2$, перпендикулярную вектору $\vec\<2,1,-1\>$.
Задача 4
Через точку $M(1,2,1)$ провести плоскость, касательную к поверхности $x^2+y^2-z^2=0$.
Ответ. $X-Z=0$, $3X-4Y+5Z=0$.
Задача 5 (Феденко №594)
Докажите, что поверхности \begin
Решение задачи 5
Запишем направляющие векторы нормалей к поверхностям, проведенным в точках их пересечения: \begin
http://mathportal.net/index.php/matematicheskij-analiz/kasatelnaya-ploskost-i-normal-k-yavno-zadannoj-poverkhnosti
http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar5