Составить уравнение касательных к гиперболе проведенных из точки

Гипербола и её свойства

Гипербола и её форма.

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac>>-\frac>>=1.\label
$$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы $|x| \geq a$, то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины $2a$ (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами $(a, 0)$ и $(-a, 0)$, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа $a$ и $b$ называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Рис. 8.6. Гипербола.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде $y=kx$, поскольку мы уже знаем, что прямая $x=0$ не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
\frac>>-\fracx^<2>>>=1.
$$
Поэтому, если $b^<2>-a^<2>k^ <2>> 0$, то
$$
x=\pm \frac<\sqrt-a^<2>k^<2>>>.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения $(ab/v, abk/v)$ и $(-ab/v, -abk/v)$, где обозначено $v=(b^<2>-a^<2>k^<2>)^<1/2>$. В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении $k$ (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

Числитель дроби $ab/v$ постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при $k=0$. Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина $(a, 0)$. С ростом $k$ знаменатель убывает, и $x$ растет, стремясь к бесконечности, когда $k$ приближается к числу $b/a$. Прямая $y=bx/a$ с угловым коэффициентом $b/a$ не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то $k$ будет убывать, $k^<2>$ расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом $-b/a$.

К прямой $y=-bx/a$ относится все, что было сказано о $y=bx/a$: она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Прямые с уравнениями $y=bx/a$ и $y=-bx/a$ в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

Составить уравнение касательных к гиперболе проведенных из точки

Главная

Шутки

Форум

План занятий

Гипербола. Фокусы. Уравнение гиперболы. Фокусное расстояние.

Действительная и мнимая оси гиперболы. Эксцентриситет.

Асимптоты гиперболы. Уравнение касательной к гиперболе.

Условие касания прямой и гиперболы.

Гиперболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F ₁ и F ₂ , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Уравнение гиперболы ( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.

Отрезок F ₁ F ₂ = 2 с , где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осью гиперболы. Число e = c / a , e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± ( b / a ) x называются асимптотами гиперболы.