Составить уравнение кривой для каждой точки

2.2. Кривые второго порядка на плоскости

2.2.1. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до точки F (2; 4) к расстоянию до прямой / : х = -4 равно 2. Привести уравнение линии к каноническому виду и определить вид этой кривой.

Решение. Пусть M (х; у) — текущая точка линии. Из точки M опускаем перпендикуляр на прямую х = -4, которыйпересекается с ней в точке N (-4; у). По условию задачи:, или

Возводя в квадрат, раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, получаем:

Коэффициент при х2 делаем равным единице, для чего все уравнение делим на 3:

Многочлен, зависящий от х, записываем как полный квадрат: Тогда уравнение примет вид:

или, деля на 16, имеем:

Вводя новую систему координат:

приведем уравнение линии к каноническому виду:

Это есть каноническое уравнение гиперболы. m

Замечание. Если — = 1, то придем к каноническому уравнению n

параболы ‘То получим каноническое урав

Задача 26616 4.1.80) Написать уравнение кривой, сумма.

Условие

4.1.80) Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точ­ки которой до точек F1(-2; 0) и F2(2; 0) равна 2sqrt(5)

Решение

Пусть M(x;y) — произвольная точка кривой.
F_(1)M=sqrt((x-(-2))^2+(y-0)^2)=sqrt((x+2)^2+y^2);
F_(2)M=sqrt((x-2)^2+(y-0)^2)=sqrt((x-2)^2+y^2);
По условию
F_(1)M+F_(2)M=2sqrt(5)

Возводим в квадрат.

x^2+4x+4+y^2=20-2*2sqrt(5)sqrt((x-2)^2+y^2)+x^2-4x+4+y^2
4sqrt(5)*sqrt((x-2)^2+y^2)=20-8x;
sqrt(5)*sqrt((x-2)^2+y^2)=5-2x
Возводим в квадрат
5*((x-2)^2+y^2)=25 — 20x+4x^2
5x^2- 20x+20+y^2=25 — 20x + 4x^2
x^2 +5 y^2=5
(x^2/5)+y^2=1 — уравнение эллипса
с полуосями a=sqrt(5) и b=1

Контрольная работа. Выполним

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (3; 0) и до прямой х=12 равно числу =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть М (х; у) – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую х=12 (рис. 2). Тогда В (12; у). По условию задачи

МА= МВ=

= =

4х2 – 24х + 36 + 4у2 =х2 – 24х +144, 3х2 + 4у2=108,

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида где а=6, b=3.

Определим фокусы эллипса F1 (−с; 0) и F2(с; 0). Для эллипса справедливо равенство b2=a2 – b2 =9 и с=3.

То есть, F1 ( −3; 0) и F2 (3; 0) – фокусы эллипса (точки F2 и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса =

Задача 3. Составить уравнения линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (3; −4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М (х; у) – текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у=2 (рис. 3). Тогда В (х; 2). Так как МА =МВ,

то = или

(х – 3)2 +у2+8у+16 =у2 – 4у +4,

у +1= −

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О’ (3; −1). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим х – 3=Х’, у +1=У’. Тогда в системе координат Х’О’У’ уравнение параболы принимает следующий вид: У’=−Х’)2. в системе координат Х’О’У’ строим параболу.

Вопросы для самопроверки

Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

Напишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками.

Напишите формулы для определения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффициентом; б) проходящей через данную точку в данном направлении; в) проходящей через две данные точки; г) в «отрезках».

Как найти координаты точки пересечения двух прямых?

Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

Сформулируйте определение окружности.

Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу; с центром в начале координат.

Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

Что называется эксцентриситетом эллипса? Как изменяется форма эллипса с изменением эксцентриситета гиперболы.

Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы. Напишите уравнения для нахождения асимптот гиперболы.

Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.