Составить уравнение линии для каждой точки которой

Контрольная работа. Выполним

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (3; 0) и до прямой х=12 равно числу =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть М (х; у) – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую х=12 (рис. 2). Тогда В (12; у). По условию задачи

МА= МВ=

= =

4х2 – 24х + 36 + 4у2 =х2 – 24х +144, 3х2 + 4у2=108,

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида где а=6, b=3.

Определим фокусы эллипса F1 (−с; 0) и F2(с; 0). Для эллипса справедливо равенство b2=a2 – b2 =9 и с=3.

То есть, F1 ( −3; 0) и F2 (3; 0) – фокусы эллипса (точки F2 и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса =

Задача 3. Составить уравнения линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (3; −4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М (х; у) – текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у=2 (рис. 3). Тогда В (х; 2). Так как МА =МВ,

то = или

(х – 3)2 +у2+8у+16 =у2 – 4у +4,

у +1= −

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О’ (3; −1). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим х – 3=Х’, у +1=У’. Тогда в системе координат Х’О’У’ уравнение параболы принимает следующий вид: У’=−Х’)2. в системе координат Х’О’У’ строим параболу.

Вопросы для самопроверки

Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

Напишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками.

Напишите формулы для определения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффициентом; б) проходящей через данную точку в данном направлении; в) проходящей через две данные точки; г) в «отрезках».

Как найти координаты точки пересечения двух прямых?

Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

Сформулируйте определение окружности.

Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу; с центром в начале координат.

Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

Что называется эксцентриситетом эллипса? Как изменяется форма эллипса с изменением эксцентриситета гиперболы.

Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы. Напишите уравнения для нахождения асимптот гиперболы.

Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.

2.2. Кривые второго порядка на плоскости

2.2.1. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до точки F (2; 4) к расстоянию до прямой / : х = -4 равно 2. Привести уравнение линии к каноническому виду и определить вид этой кривой.

Решение. Пусть M (х; у) — текущая точка линии. Из точки M опускаем перпендикуляр на прямую х = -4, которыйпересекается с ней в точке N (-4; у). По условию задачи:, или

Возводя в квадрат, раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, получаем:

Коэффициент при х2 делаем равным единице, для чего все уравнение делим на 3:

Многочлен, зависящий от х, записываем как полный квадрат: Тогда уравнение примет вид:

или, деля на 16, имеем:

Вводя новую систему координат:

приведем уравнение линии к каноническому виду:

Это есть каноническое уравнение гиперболы. m

Замечание. Если — = 1, то придем к каноническому уравнению n

параболы ‘То получим каноническое урав

Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки А (0 ; 1) вдвое меньше расстояния до прямой y = 4 ?

Математика | 10 — 11 классы

Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки А (0 ; 1) вдвое меньше расстояния до прямой y = 4 .

Пусть М(Xm ; Ym) — точка искомой линии, уравнение которой мы ищем.

Мы знаем, что расстояние между точками А и М — это модуль вектора АМ, координаты которого находятся, как разность координат его конца и начала.

Итак, |АМ| = √[(Xm — Xa)² + (Ym — Ya)²] = √[Xm² + (Ym — 1)²].

Формула расстояния от точки до прямой, заданной уравнением прямой АХ + ВY + C = 0 имеет вид : d = |A * Xm + B * Ym + C| / √(A² + B²).

В нашем случае d = |Ym — 4| / 1 = |Ym — 4|.

По условию 2 * |АМ| = |Ym — 4|.

То есть 2√[Xm² + (Ym — 1)²] = Ym — 4 или, если возвести в квадрат обе части уравнения,

4(Xm² + Ym² — 2Ym + 1) = Ym² — 8Ym + 16 = &gt ; 4Xm² + 3Ym² = 12 или

Xm² / 3 + Ym² / 4 = 1.

А это — каноническое уравнение эллипса.

Его полуоси а = √3 и b = 2.

На гиперболе 9х² — 16у² = 144 найти точки, расстояние которых от левого фокуса вдвое меньше, чем от правого?

На гиперболе 9х² — 16у² = 144 найти точки, расстояние которых от левого фокуса вдвое меньше, чем от правого.

Проведите прямую a (не по линиям сетки)?

Проведите прямую a (не по линиям сетки).

На прямой а отметьте точку С.

Через точку С проведите прямую б, перпендикулярную прямой а.

Отметьте точку D, не лежащую на прямых а и b.

Измерьте и запишите расстояние от точки D до прямой b.

Найдите расстояние от точки А(4, 3) до точки с наименьшей целой координатой, модуль который меньше координаты точки А?

Найдите расстояние от точки А(4, 3) до точки с наименьшей целой координатой, модуль который меньше координаты точки А.

Точки А, В и С лежат на одной прямой?

Точки А, В и С лежат на одной прямой.

Расстояние между точками А и В равно 10 см, а между точками В и С — 3 см.

Найдите расстояние между точками А и С.

Определить уравнение траектории точки M(x?

Определить уравнение траектории точки M(x.

Y), которая движется так, что ее расстояние от точки F( — 1.

0) остается вдвое меньше расстояния от прямой x = — 4.

Помогите пожалуйста?

Через точку В, отстаящую на 5 см от цента О окружности, проведена прямая, которая касается этой окружности в точке А.

Найдите расстояние от точки В до точки С.

В которой прямая Во пересекает окружность, учитывая, что АВ = 4 см.

Прямая а пересекает отрезок kl в его середине точка b?

Прямая а пересекает отрезок kl в его середине точка b.

Найдите расстояние от точки k до прямой а, если расстояние от точки l до этой прямой 55 см.

Расстояние между двумя точками прямой?

Расстояние между двумя точками прямой.

Линия все точки которой находятся на одном и том же расстоянии от точки называемой центром 10 букв?

Линия все точки которой находятся на одном и том же расстоянии от точки называемой центром 10 букв.

Расстояние от точки до прямой -?

Расстояние от точки до прямой -.

Вы открыли страницу вопроса Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки А (0 ; 1) вдвое меньше расстояния до прямой y = 4 ?. Он относится к категории Математика. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Математика, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

1. а)3, 25 — 4, 15 + 6 = — 7, 4 + 6 = — 1, 4 б)33 — 17, 9 — 28, 1 = 33 — 46 = — 13 в) — 21, 4 + 80 — 58, 6 = — 80 + 80 = 0 г) — 19 — 6, 32 + 4, 68 = — 25, 32 + 4, 68 = — 20, 64 2. А)3 / 4 + 1 / 6 = 9 + 2 / 12 = 11 / 12 б) — 8 / 15 — 2 / 3 = — 8 + 10..

63, 5х1, 8 + 78, 78 : 1, 3 — 34, 6х0, 7 = 114, 3 + 60, 6 — 24, 22 = 150, 6849, 84 : 8, 9 + 63, 2х5, 5 — 74, 5х0, 08 = 6, 23 + 347, 6 — 5, 96 = 347, 87.

Решение на фото выше.

Остаток от деления b на 9 тоже должен быть равен 5 a = 9m + 5b = 9n + x a — b = 9(m — n) + 5 — x 5 — x = 0 чтобы разность делилась на 9 без остатка.

1) 567. 279. 873. 828. 936. 468 2) 120. 201. 351. 213. 405. 831.

1) 10 прибавить 8 и умножить на 2 получится — 36 — периметр 2) 10 умножить на 8 получится 80 — площадь прямоугольника.

P = 2 * (a + b) P = 2 * (10 + 8) = 2 * 18 = 36 см S = a * b S = 10 * 8 = 80см².

66y — 29y = 74 37y = 74 | : 37 y = 2.

Например, равенство должно выполняться для x = 0 : a * (cos 0 — 1) + b ^ 2 = cos(b ^ 2) — 1 b ^ 2 = cos(b ^ 2) — 1 b ^ 2 > = 0 при всех значениях b cos b ^ 2 — 1.