Составить уравнение линии равноотстоящей от оси ординат

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 1-10.&nbsp Даны векторы &nbsp &nbsp, &nbsp &nbsp, &nbsp &nbsp и &nbsp в некотором базисе. Показать, что векторы &nbsp &nbsp образуют базис и найти координаты вектора &nbsp &nbsp в этом базисе.

1. а(1;2;3), b(–1;3;2), c(7;–3;5). d(6;10;17).
2. а(4;7;8), b(9;1;3), c(2;–4;1). d(1;-13;-13).
3. а(8;2;3), b(4;6;10), c(3;–2;1). d(7;4;11).
4. а(10;3;1), b(1;4;2), c(3;9;2). d(19;30;7).
5. а(2;4;1), b(1;3;6), c(5;3;1). d(24;20;6).
6. а(1;7;3), b(3;4;2), c(4;8;5), d(7;32;14).
7. а(1;-2;3), b(4;7;2), c(6;4;2). d(14;18;6).
8. а(1;4;3), b(6;8;5), c(3;1;4). d(21;18;33).
9. а(2;7;3), b(3;1;8), c(2;-7;4), d(16;14;27).
10. а(7;2;1), b(4;3;5), c(3;4;-2), d(2;-5;-13).

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 11-20.&nbsp Даны координаты вершин пирамиды &nbsp &nbsp. Найти: 1) длину ребра &nbsp &nbspА1А2; 2) угол между ребрами &nbsp &nbsp и &nbsp 3) угол между ребром &nbsp &nbsp и гранью &nbsp 4) площадь грани &nbsp 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой &nbsp 7) уравнение плоскости &nbsp 8) уравнение высоты, опущенной из вершины &nbsp &nbsp на грань &nbsp &nbsp. Сделать чертеж.

11. А1(4;2;5), А2(0;7;2), А3(0;2;7), А4(1;5;0).
12. А1(4;4;10), А2(4;10;2), А3(2;8;4), А4(9;6;4).
13. А1(4;6;5), А2(6;9;4), А3(2;10;10), А4(7;5;9).
14. А1(3;5;4), А2(8;7;4), А3(5;10;4), А4(4;7;8).
15. А1(10;6;6), А2(-2;8;2), А3(6;8;9), А4(7;10;3).
16. А1(1;8;2), А2(5;2;6), А3(5;7;4), А4(4;10;9).
17. А1(6;6;5), А2(4;9;5), А3(4;6;11), А4(6;9;3).
18. А1(7;2;2), А2(5;7;7), А3(5;3;1), А4(2;3;7).
19. А1(8;6;4), А2(10;5;5), А3(5;6;8), А4(8;10;7).
20. А1(7;7;3), А2(6;5;8), А3(3;5;8), А4(8;4;1).

21. Уравнение одной из сторон квадрата x+3y–5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(–1;0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.
22. Даны уравнения одной из сторон ромба х–3у+10=0 и одной из его диагоналей х+4у–4=0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба.
23. Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+2=0 и х+у–4=0, а уравнение одной из его диагоналей х–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма.
24. Даны две вершины А(–3;3) и В(5;–1) и точка D(4;3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
25. Даны вершины А(–3; –2), В(4; –1), С(1;3) трапеции ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертёж.
26. Даны уравнения двух сторон треугольника 5х–4у+15=0 и 4х+у–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.
27. Даны две вершины А(2;–2) и В(3;–1) и точка Р(1;0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенного через третью вершину С. Сделать чертеж.
28. Даны уравнения двух высот треугольника x+y=4 и y=2x и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнения сторон треугольника.
29. Даны уравнения двух медиан треугольника х–2у+1=0 и у–1=0 и одна из его вершин (1;3). Составить уравнения его сторон.
30. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x–2y–8=0 и 3x–2y–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертёж.
31. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А(5;0) относится как 2:1.
32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(–1;0) вдвое меньше расстояния её от прямой х=–4.
33. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 5х+8=0 относятся как 5:4.
34. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4;0), чем от точки В(1;0).
35. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 2х+5=0 относятся как 4:5.
36. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3;0) вдвое меньше расстояния от точки В(26;0).
37. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0;2) и от прямой у–4=0.
38. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp.
Замечание. Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками фигуры Ф.
39. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;6) и от прямой у+2=0.
40. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А(–4;0) втрое дальше, чем от начала координат.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 41-50.&nbsp Линия задана уравнением &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp до &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp и придавая &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp значения через промежуток &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

41.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
42.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
43.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
44.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
45.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
46.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
47.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
48.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
49.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
50.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Элементы линейной алгебры.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 51-60. &nbsp Дана система линейных уравнений Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 61-70. &nbsp Даны два линейных преобразования Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp через &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 71-80. &nbsp Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 81-90. &nbsp Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 91-100. &nbsp Дано комплексное число &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp . Требуется: 1) записать число &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .

91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.

Введение в математический анализ.

101. Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.
102. Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.
103. Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.
104. Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.
105. Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.
106. Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.
107. Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.
108. Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.
109. Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.
110. Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.
111. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
112. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
113. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
114. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
115. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
116. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
117. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
118. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
119. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
121. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
122. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
123. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
124. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
125. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
126. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
127. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
128. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
129. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
130. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
131. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
132. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
133. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
134. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
135. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
136. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
137. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
138. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
139. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
140. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Производная и её приложения входят следующие задачи.

141-150. Найти производные dy/dx данных функций.

&nbsp &nbsp 141&nbsp &nbsp 142&nbsp &nbsp 143&nbsp &nbsp 144&nbsp &nbsp 145&nbsp &nbsp 146&nbsp &nbsp 147&nbsp &nbsp 148&nbsp &nbsp 149&nbsp &nbsp 150

151-160. Найти &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp для заданных функций

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 151&nbsp &nbsp 152&nbsp &nbsp 153&nbsp &nbsp 154&nbsp &nbsp 155&nbsp &nbsp 156&nbsp &nbsp 157&nbsp &nbsp 158&nbsp &nbsp 159&nbsp &nbsp 160

161-170. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp , вычислить значения &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp с точностью 0,001.

&nbsp &nbsp 161&nbsp &nbsp 162&nbsp &nbsp 163&nbsp &nbsp 164&nbsp &nbsp 165&nbsp &nbsp 166&nbsp &nbsp 167&nbsp &nbsp 168&nbsp &nbsp 169&nbsp &nbsp 170

171-180. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a,b].

&nbsp &nbsp 171&nbsp &nbsp 172&nbsp &nbsp 173&nbsp &nbsp 174&nbsp &nbsp 175&nbsp &nbsp 176&nbsp &nbsp 177&nbsp &nbsp 178&nbsp &nbsp 179&nbsp &nbsp 180

Приложения дифференциального исчисления.

191-210. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и, используя результаты исследования, построить её график.
&nbsp &nbsp 191. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp192. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 193. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp194. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 195. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp196. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 197. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp198. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 199. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp200. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 201. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp202. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 203. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp204. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 205. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp206. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 207. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp208. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 209. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp210. &nbsp &nbsp

211-220. Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t0.

&nbsp &nbsp 211&nbsp &nbsp 212&nbsp &nbsp 213&nbsp &nbsp 214&nbsp &nbsp 215&nbsp &nbsp 216&nbsp &nbsp 217&nbsp &nbsp 218&nbsp &nbsp 219&nbsp &nbsp 220

221-230. Определить количество действительных корней уравнения &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp , отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

&nbsp &nbsp 221&nbsp &nbsp 222&nbsp &nbsp 223&nbsp &nbsp 224&nbsp &nbsp 225&nbsp &nbsp 226&nbsp &nbsp 227&nbsp &nbsp 228&nbsp &nbsp 229&nbsp &nbsp 230

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 231-240.&nbsp Дана функция &nbsp &nbsp, &nbsp Показать, что

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 241-250.&nbsp Даны функция &nbsp &nbsp и две точки &nbsp &nbsp и &nbsp &nbsp . Требуется: 1) вычислить значение &nbsp &nbsp функции в точке &nbsp 2) вычислить приближенное значение &nbsp &nbsp функции в точке &nbsp &nbsp, исходя из значения &nbsp &nbsp функции в точке &nbsp &nbsp и заменив приращение функции при переходе от точки &nbsp &nbsp к точке &nbsp &nbsp дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности &nbsp &nbsp в точке &nbsp &nbsp.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 251-260.&nbsp Найти наименьшее и наибольшее значения функции &nbsp &nbsp в замкнутой области &nbsp &nbsp , заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 261-270.&nbsp Даны функция &nbsp &nbsp , точка &nbsp &nbsp и вектор &nbsp &nbsp . Найти: 1) &nbsp &nbsp в точке &nbsp &nbsp ; 2) производную в точке &nbsp &nbsp по направлению вектора &nbsp &nbsp.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 271-280. &nbsp Экспериментально получены пять значений искомой функции &nbsp &nbsp при пяти начениях аргумента, которые записаны в таблице

Методом наименьших квадратов найти функцию &nbsp &nbsp , выражающую приближённо (аппроксимирующую) функцию &nbsp &nbsp . Сделать чертёж, на котором в декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксиимирующей функции &nbsp &nbsp .

y// 4,3 / 5,3 / 3,8 / 1,8 / 2,3

Неопределённый и определённый интегралы.

281-290.&nbsp Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) результаты проверить дифференцированием.

&nbsp &nbsp &nbsp 281. &nbsp &nbsp 282. &nbsp &nbsp 283.&nbsp &nbsp 284.&nbsp &nbsp 285. &nbsp &nbsp 286. &nbsp &nbsp 287. &nbsp &nbsp 288. &nbsp &nbsp 289. &nbsp &nbsp 290.

291-300.&nbsp Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 291. &nbsp &nbsp 292. &nbsp &nbsp 293.&nbsp &nbsp 294.&nbsp &nbsp 295. &nbsp &nbsp 296. &nbsp &nbsp 297. &nbsp &nbsp 298. &nbsp &nbsp 299. &nbsp &nbsp 300.

301-310.&nbsp Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 301. &nbsp &nbsp 302. &nbsp &nbsp 303.&nbsp &nbsp 304.&nbsp &nbsp 305. &nbsp &nbsp 306. &nbsp &nbsp 307. &nbsp &nbsp 308. &nbsp &nbsp 309. &nbsp &nbsp 310.

311.&nbsp Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp и прямой y=3x+7.
312.&nbsp Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp и осью Ox.
313.&nbsp Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
314.&nbsp Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырёхлепестковой розой &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
315.&nbsp Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp.
316.&nbsp Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной полуэллипсом &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp, параболой &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp и осью Oy.
317.&nbsp Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривыми
318.&nbsp Вычислить длину дуги полукубической параболы &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp от точки A(2;0) до точки B(6;8).
319.&nbsp Вычислить длину кардиоиды &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .
320.&nbsp Вычислить длину одной арки циклоиды &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .

«Дифференциальные уравнения».

321-340. Найти общее решение дифференциального уравнения.
&nbsp &nbsp 321. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp322. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 323. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp&nbsp &nbsp324. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 325. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp326. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 327. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp328. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 329. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp330. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 331. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp332. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 333. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp334. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 335. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp336. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 337. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp338. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 339. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp340. &nbsp &nbsp

341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp , удовлетворяющее начальным условиям &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp.

&nbsp &nbsp 341. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 342. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 343. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 344. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 345. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 346. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 347. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 348. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 349. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 350. &nbsp &nbsp

351-360. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

&nbsp &nbsp 351. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp352. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 353. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp354. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 355. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp356. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 357. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp358. &nbsp &nbsp

&nbsp &nbsp 359. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp360. &nbsp &nbsp

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ.

а>0

&nbsp &nbsp &nbsp 371. &nbsp &nbsp 372. &nbsp &nbsp 373.&nbsp &nbsp 374.&nbsp &nbsp 375. &nbsp &nbsp 376. &nbsp &nbsp 377. &nbsp &nbsp 378. &nbsp &nbsp 379. &nbsp &nbsp 380.

&nbsp &nbsp &nbsp 281-390. &nbsp Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость xОy.

&nbsp &nbsp &nbsp 381. &nbsp &nbsp 382. &nbsp &nbsp 383.&nbsp &nbsp 384.&nbsp &nbsp 385. &nbsp &nbsp 386. &nbsp &nbsp 387. &nbsp &nbsp 388. &nbsp &nbsp 389. &nbsp &nbsp 390.

&nbsp &nbsp &nbsp 391. &nbsp Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L окружности x=5cost, y=5sint, обходя её против часовой стрелки от точки A(5;0) до точки B(0;5). Сделать чертёж.

&nbsp &nbsp &nbsp 392. &nbsp Вычислить криволинейный интеграл вдоль ломаной L=OAB, где O(0;0), A(2;0), B(4;5). Сделать чертёж.

&nbsp &nbsp &nbsp 393. &nbsp Вычислить криволинейный интеграл вдоль границы L треугольника ABC, обходя её против хода часовой стрелки, если A(1;0), B(1;1), С(0;1). Сделать чертёж.

&nbsp &nbsp &nbsp 394. &nbsp Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L параболы &nbsp &nbsp от точки A(-1;1) до точки B(1;1). Сделать чертёж.

&nbsp &nbsp &nbsp 395. &nbsp Вычислить криволинейный интеграл вдоль верхней половины L эллипса x=3cost, y=2sint &nbsp &nbsp ( &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp) &nbsp. Сделать чертёж.

&nbsp &nbsp &nbsp 396. &nbsp Вычислить криволинейный интеграл вдоль ломаной L=ABC, где A(1;2), B(1;5), С(3;5). Сделать чертёж.

&nbsp &nbsp &nbsp 397. &nbsp Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L кривой &nbsp &nbsp от точки A(0;1) до точки B(-1;e). Сделать чертёж.

&nbsp &nbsp &nbsp 398. &nbsp Вычислить криволинейный интеграл вдоль отрезка L=AB прямой от точки A(1;2) до точки B(2;4). Сделать чертёж.

&nbsp &nbsp &nbsp 399. &nbsp Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги параболы &nbsp &nbsp от точки O(0;0) до точки A(1;2). Сделать чертёж.

&nbsp &nbsp &nbsp 400. &nbsp Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L кривой y=lnx от точки A(1;0) до точки B(e;1). Сделать чертёж.

&nbsp &nbsp &nbsp 401-410. &nbsp Даны векторное поле F=Xi+Yj+Zk и плоскость Ax+By+Cz+D=0 (р), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть &nbsp &nbsp — основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), &nbsp &nbsp — контур, ограничивающий &nbsp &nbsp ; n – нормаль к &nbsp &nbsp , направленная вне пирамиды V. Требуется вычислить.
&nbsp &nbsp &nbsp 1) поток векторного поля F через поверхность &nbsp &nbsp в направлении нормали n;
&nbsp &nbsp 2) циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру &nbsp &nbsp непосредственно и применив теорему Стокса к контуру &nbsp &nbsp и ограниченной им поверхности &nbsp &nbsp с нормалью n;
&nbsp &nbsp 3) поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

&nbsp &nbsp &nbsp 401. &nbsp &nbsp 402. &nbsp &nbsp 403.&nbsp &nbsp 404.&nbsp &nbsp 405. &nbsp &nbsp 406. &nbsp &nbsp 407. &nbsp &nbsp 408. &nbsp &nbsp 409. &nbsp &nbsp 410.

&nbsp &nbsp &nbsp 411-420. &nbsp Проверить, является ли векторное поле F=Xi+Yj+Zk потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля F найти его потенциал.

&nbsp &nbsp &nbsp 411. &nbsp &nbsp 412. &nbsp &nbsp 413.&nbsp &nbsp 414.&nbsp &nbsp 415. &nbsp &nbsp 416. &nbsp &nbsp 417. &nbsp &nbsp 418. &nbsp &nbsp 419. &nbsp &nbsp 420.

&nbsp &nbsp &nbsp 421. &nbsp &nbsp 422. &nbsp &nbsp 423.&nbsp &nbsp 424.&nbsp &nbsp 425. &nbsp &nbsp 426. &nbsp &nbsp 427. &nbsp &nbsp 428. &nbsp &nbsp 429. &nbsp &nbsp 430.

&nbsp &nbsp &nbsp 431-440. &nbsp Найти интервал сходимости степенного ряда &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .

&nbsp &nbsp &nbsp 431. &nbsp &nbsp 432. &nbsp &nbsp 433.&nbsp &nbsp 434.&nbsp &nbsp 435. &nbsp &nbsp 436. &nbsp &nbsp 437. &nbsp &nbsp 438. &nbsp &nbsp 439. &nbsp &nbsp 440.

&nbsp &nbsp &nbsp 441-450. &nbsp Вычислить определенный интеграл &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

&nbsp &nbsp &nbsp 441. &nbsp &nbsp 442. &nbsp &nbsp 443.&nbsp &nbsp 444.&nbsp &nbsp 445. &nbsp &nbsp 446. &nbsp &nbsp 447. &nbsp &nbsp 448. &nbsp &nbsp 449. &nbsp &nbsp 450.

&nbsp &nbsp &nbsp 451-460. &nbsp Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp дифференциального уравнения &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp, удовлетворяющего начальному условию &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .

&nbsp &nbsp &nbsp 451. &nbsp &nbsp 452. &nbsp &nbsp 453.&nbsp &nbsp 454.&nbsp &nbsp 455. &nbsp &nbsp 456. &nbsp &nbsp 457. &nbsp &nbsp 458. &nbsp &nbsp 459. &nbsp &nbsp 460.

&nbsp &nbsp &nbsp 451. &nbsp &nbsp 462. &nbsp &nbsp 463.&nbsp &nbsp 464.&nbsp &nbsp 465. &nbsp &nbsp 466. &nbsp &nbsp 467. &nbsp &nbsp 468. &nbsp &nbsp 469. &nbsp &nbsp 470.

Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.

u=u(x;t)

&nbsp &nbsp &nbsp 471. &nbsp &nbsp 472. &nbsp &nbsp 473.&nbsp &nbsp 474.&nbsp &nbsp 475. &nbsp &nbsp 476. &nbsp &nbsp 477. &nbsp &nbsp 478. &nbsp &nbsp 479. &nbsp &nbsp 480.

&nbsp &nbsp &nbsp 481-490. &nbsp Представить заданную функцию W=f(z), где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp .

&nbsp &nbsp &nbsp 481. &nbsp &nbsp 482. &nbsp &nbsp 483.&nbsp &nbsp 484.&nbsp &nbsp 485. &nbsp &nbsp 486. &nbsp &nbsp 487. &nbsp &nbsp 488. &nbsp &nbsp 489. &nbsp &nbsp 490.

&nbsp &nbsp &nbsp 491-500. &nbsp Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp и определить область сходимости ряда.

&nbsp &nbsp &nbsp 491. &nbsp &nbsp 492. &nbsp &nbsp 493.&nbsp &nbsp 494.&nbsp &nbsp 495. &nbsp &nbsp 496. &nbsp &nbsp 497. &nbsp &nbsp 498. &nbsp &nbsp 499. &nbsp &nbsp 500.

&nbsp &nbsp &nbsp 501-510. &nbsp Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

&nbsp &nbsp &nbsp 501. &nbsp &nbsp 502. &nbsp &nbsp 503.&nbsp &nbsp 504.&nbsp &nbsp 505. &nbsp &nbsp 506. &nbsp &nbsp 507. &nbsp &nbsp 508. &nbsp &nbsp 459. &nbsp &nbsp 510.

&nbsp &nbsp &nbsp 511-520. &nbsp Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

&nbsp &nbsp &nbsp 511. &nbsp &nbsp 512. &nbsp &nbsp 513.&nbsp &nbsp 514.&nbsp &nbsp 515. &nbsp &nbsp 516. &nbsp &nbsp 517. &nbsp &nbsp 518. &nbsp &nbsp 519. &nbsp &nbsp 520.

531-540. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х1 меньше x2. Известны вероятность р1 возможного значения х1, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

531. &nbsp p₁=0,1; M(x)=3,9; D(x)=0,09
532. &nbsp p₁=0,3; M(x)=3,7; D(x)=0,21
533. &nbsp p₁=0,5; M(x)=3,5; D(x)=0,25
534. &nbsp p₁=0,7; M(x)=3,3; D(x)=0,21
535. &nbsp p₁=0,9; M(x)=3,1; D(x)=0,09
536. &nbsp p₁=0,9; M(x)=2,2; D(x)=0,36
537. &nbsp p₁=0,8; M(x)=3,2; D(x)=0,16
538. &nbsp p₁=0,6; M(x)=3,4; D(x)=0,24
539. &nbsp p₁=0,4; M(x)=3,6; D(x)=0,24
540. &nbsp p₁=0,2; M(x)=3,8; D(x)=0,16

541-540. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

541.

551-560. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины x. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α, β)

a=10, σ=4, α=2, β=13.

561-570. Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага

571-580. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

Уравнение линии — определение с примерами решения

Содержание:

Множества:

Под множеством X = <х, х\ х", . >понимается собрание (совокупность) некоторых элементов х, х\ х’\ . . Если х есть элемент множества X, то пишут х € X (читается: х принадлежит X); если у не является элементом множества X, то пишут у t X (читается: у не принадлежит множеству X).

Пример:

X — множество всех студентов в данной аудитории.

Пример:

Х = <1,2, 3, . >— множество натуральных чисел.

Удобно ввести понятие пустого множества

Пример:

Множество трехголовых людей пусто.

Множества X и X’ считаются равными, т. е. X = X’, если они состоят из одних и тех же элементов.

Определение: Множество У, состоящее из части элементов множества X или совпадающее с ним, называется подмножеством множества X; в этом случае пишут

Условились считать, что пустое множество есть подмножество любого множества.

Если множества изображать «логическими фигурами», то соотношению (1) соответствует рис. 10.

Если под символом V понимать «для любого», то соотношение (1) эквивалентно следующему:

где стрелка заменяет слово «следует».

Пример:

Пусть X — множество всех студентов первого курса, У — множество студенток первого курса. Очевидно,

Определение: Под объединением (суммой) двух множеств X и Y понимается множество X U У (U — знак объединения), состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т. е. входящих или в X, или в У, или в X и в У одновременно (рис. 11).

Аналогично определяется объединение большего числа множеств. Так, под объединением X U У U Z трех множеств понимается множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств X, У, Z. Логически знак объединения множеств соответствует союзу «или» (соединительному).

Определение: Под пересечением (произведением) двух множеств X и У понимается множество знак пересечения), состоящее из всех элементов, принадлежащих как одному у так и другому множествам, т. е. входящих ив множество X, и в множество У (общая часть множеств) (рис. 11).

Таким образом, знак пересечения множеств логически соответствует союзу «и». Если множества X и У не имеют общих элементов, то их пересечение пусто:

Аналогично определяется пересечение большего числа множеств. Так, под пересечением трех множеств понимается множество всех элементов, принадлежащих одновременно множествам X, Y и Z.

Например: <1, 2, 3> <2, 3, 4>= = <2, 3>.

Определение: Для множеств X и У под их разностью Х\У понимается множество, содержащее все элементы множества X, не входящие в множество У (рис. 12).

Если У X, то множество Ус = Х\У называется дополнением множества У до множества X (рис. 13).

Очевидно, .

Например: <1, 2, 3>\ <2, 3, 4>= <1>.

Метод координат на плоскости

Раздел математики, занимающийся изучением свойств геометрических фигур с помощью алгебры, носит название аналитической геометрии, а использование для этой цели координат называется методом координат.

Выше мы применили метод координат для решения ряда важных, но частных задач. Теперь мы приступим к систематическому изложению того, как в аналитической геометрии решается общая задача, состоящая в исследовании методами математического анализа формы, расположения и свойств данной линии.

Пусть мы имеем некоторую линию на плоскости (рис. 14). Координаты х и у точки М, лежащей на этой линии, не могут быть вполне произвольными; они должны быть подчинены известным ограничениям, обусловленным геометрическими свойствами данной линии. Тот факт, что числа х и у являются координатами точки, лежащей на данной линии, аналитически записывается в виде некоторого уравнения. Это уравнение называется уравнением линии на плоскости.

Сущность метода координат на плоскости заключается в том, что всякой плоской линии сопоставляется ее уравнение1*, а затем свойства этой линии изучаются путем аналитического исследования соответствующего уравнения.

Линия как множество точек

Линия на плоскости обычно задается как множество точек, обладающих некоторыми геометрическими свойствами, исключительно им присущими.

Пример:

Окружность радиуса R (рис. 15) есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой ее точки О (центр окружности).

Иными словами, на окружности расположены те и только те точки, расстояние которых от центра окружности равно ее радиусу.

Пример:

Биссектриса угла ABC (рис. 16) есть множество всех точек, лежащих внутри угла и равноудаленных от его сторон. Этим утверждается, что: 1) для каждой точки М, лежащей на биссектрисе BZ), длины перпендикуляров MP и MQ, опущенных соответственно на стороны ВА и ВС угла, равны между собой: MP = MQ, и 2) всякая точка, находящаяся внутри угла ABC и не лежащая на его биссектрисе, будет ближе к одной стороне угла, чем к другой.

Уравнение линии на плоскости

Сформулируем теперь точнее определение уравнения линии1* на плоскости.

Определение: Уравнением линии (уравнением кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Таким образом, для того чтобы установить, что данное уравнение является уравнением некоторой линии К, необходимо и достаточно: 1) доказать, что координаты .любой точки, лежащей на линии К у удовлетворяют этому уравнению, и 2) доказать, обратно, что если координаты некоторой точки удовлетворяют этому уравнению, то точка обязательно лежит на линии К.

Отсюда уже автоматически будет следовать, что: 1′) если координаты какой-нибудь точки не удовлетворяют данному уравнению, то точка эта не лежит на линии К, и 2′) если точка не лежит на линии К, то ее координаты не удовлетворяют данному уравнению.

Если точка М (*, у) передвигается по линии К, то ее координаты х и у, изменяясь, все время удовлетворяют уравнению этой кривой. Поэтому координаты точки М (х, у) называются текущими координатами точки линии К.

На плоскости Оху текущие координаты точки М данной кривой К обычно обозначаются через х и у, причем первая из них есть абсцисса точки М, а вторая — ее ордината. Однако, если это целесообразно, текущие координаты точки М можно обозначать.

Линию мы часто будем называть кривой независимо от того, прямолинейна она или не прямолинейна любыми буквами, например М (X, У) или М и т. п. Так, например, уравнения

где точки N (х, у) и N (X, У) расположены на плоскости Оху, представляют собой уравнение одной и той же прямой на этой плоскости.

Основное понятие аналитической геометрии — уравнение линии — поясним на ряде примеров.

Пример:

Составить уравнение окружности данного радиуса R с центром в начале координат.

Решение:

Возьмем на окружности (рис. 17) произвольную точку М (х, у) и соединим ее с центром О. По определению окружности имеем ОМ = R,

т. е. , откуда

Уравнение (1) связывает между собой координаты х и у каждой точки данной окружности. Обратно, если координаты точки М (х, у) удовлетворяют уравнению (1), то, очевидно, ОМ = R и, следовательно, эта точка лежит на нашей окружности. Таким образом, уравнение (1) представляет собой уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат.

Пример:

Составить уравнения биссектрис координатных углов.

Решение:

Рассмотрим сначала биссектрису I и III координатных углов (рис. 18, а). Возьмем на ней произвольную точку М (х, у). Если точка М лежит в I квадранте, то абсцисса и ордината ее обе положительны и равны между собой (по свойству биссектрисы). Если же точка М (jc, у) лежит в III квадранте, то абсцисса и ордината будут обе отрицательны, а модули их равны, поэтому будут равны и координаты хм у этой точки. Следовательно, в обоих случаях имеем

Обратно, если координаты х и у какой-нибудь точки М (х, у) удовлетворяют уравнению (2), то эта точка, очевидно, лежит на биссектрисе

I и III координатных углов. Поэтому уравнение (2) представляет собой уравнение биссектрисы I и III координатных углов.

Рассмотрим теперь биссектрису II и IV координатных углов (рис. 18, б). Возьмем на ней произвольную точку N (х, у). В каком бы квадранте — II или IV — ни была расположена эта точка, координаты ее х и у равны по модулю и отличаются знаками.

Следовательно, в обоих случаях имеем

Обратно, если для какой-нибудь точки N (,х, у) выполнено уравнение (3), то эта точка, очевидно, лежит на биссектрисе II и IV координатных углов. Таким образом, уравнение (3) есть уравнение биссектрисы II и IV координатных углов.

Пример:

Составить уравнение прямой, параллельной оси ординат.

Решение:

Пусть прямая АВ || О у и пусть отрезок OA = а (рис. 19, а). Тогда для любой точки М (х, у) прямой АВ ее абсцисса х равна а:

Обратно, если абсцисса некоторой точки М (х, у) равна а, то эта точка лежит на прямой АВ.

Таким образом, уравнение (4) представляет собой уравнение прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от нее на расстоянии, равном числовому значению а; при этом если прямая расположена справа от оси Оу, то а положительно; если же прямая расположена слева от оси Оу, то а отрицательно.

В частности, при а = 0 получаем уравнение оси ординат: х = 0.

Пример:

Составить уравнение прямой, параллельной оси абсцисс.

Решение:

Совершенно аналогично, если прямая CD || Ох и ОС = Ь (рис. 19, б), то ее уравнение будет

при этом если прямая CD расположена выше оси Оху то Ъ положительно, если же прямая CD расположена ниже оси Ох, то b отрицательно.

В частности, при b = 0 получаем уравнение оси абсцисс: у = 0.

Пример:

Найти линию, расстояние точек которой от точки В (12, 16) в два раза больше, чем от точки А (3, 4).

Решение:

Если М (х, у) — произвольная точка искомой линии, то согласно условию задачи имеем

Чтобы составить уравнение этой линии, надо выразить AM и ВМ через координаты х и у точки М. На основании формулы расстояния между двумя точками имеем

откуда, согласно соотношению (5),

Это и есть уравнение искомой линии.

Но в таком виде трудно судить, какую линию представляет это уравнение, поэтому упростим его. Возведя обе части в квадрат и раскрыв скобки, получим

или после несложных преобразований имеем равносильное уравнение

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1), мы видим, что искомая линия является окружностью радиуса 10 с центром в начале координат.

Построение линии по ее уравнению

Если переменные х и у связаны некоторым уравнением, то множество точек М (х, у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению, представляет собой, вообще говоря, некоторую линию на плоскости (геометрический образ уравнения).

В частных случаях эта линия может вырождаться в одну или несколько точек. Возможны также случаи, когда уравнению не соответствует никакое множество точек.

соответствует единственная точка (1, 2), так как этому уравнению удовлетворяет единственная пара значений: х = 1 и у = 2.

не соответствует никакое множество точек, так как этому уравнению нельзя удовлетворить никакими действительными значениями x и у.

Зная уравнение линии, можно по точкам построить эту линию.

Пример:

Построить линию, выражаемую уравнением

(обычно говорят короче: построить линию у = х 2 ).

Решение:

Давая абсциссе х в уравнении (1) числовые значения и вычисляя соответствующие значения ординаты у, получим следующую таблицу:

Нанося соответствующие точки на плоскость, мы видим, что конфигурация этих точек определяет начертание некоторой линии; при этом чем гуще построена сеть точек, тем отчетливее выступает ее контур. Соединяя построенные точки линией, характер которой учитывает положение промежуточных точек1*, мы и получаем линию, определяемую данным уравнением (1) (рис. 20). Эта линия называется параболой.

Некоторые элементарные задачи с решением

Если известно уравнение линии, то легко могут быть решены простейшие задачи, связанные с расположением этой линии на плоскости.

Задача 1. Заданы уравнение линии К и координаты точки М (а, Ь). Определить, лежит точка М на линии К или нет.

Иными словами, требуется узнать, проходит линия К через точку М или не проходит.

На основании понятия уравнения линии получаем правило:

чтобы определить, лежит ли точка М на данной линии К, нужно в уравнение этой линии подставить координаты нашей точки. Если при этом уравнение удовлетворится (т. е. в результате подстановки получится тождество), то точка лежит на линии; в противном случае, если координаты точки не удовлетворяют уравнению линии, данная точка не лежит на линии.

Для того чтобы иметь возможность судить о положении промежуточных точек линии, мы должны предварительно изучить общие свойства уравнения этой линии (подробнее см. в гл. XI).

В частном случае линия проходит через начало координат тогда и только тогда, когда уравнение линии удовлетворяется при х = 0 и у — 0.

Пример:

Определить, лежат ли на ней точки М (-3, 4) и N (4, -2).

Решение:

Подставляя координаты точки М в уравнение (1), получаем тождество

Следовательно, точка М лежит на данной окружности.

Аналогично, подставляя координаты точки N в уравнение (1), будем иметь

Следовательно, точка N не лежит на данной окружности.

Задача 2. Найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями.

Точка пересечения одновременно находится как на первой линии, так и на второй. Следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнениям обеих линий. Отсюда получаем правило:

чтобы найти координаты точки пересечения двух линий, достаточно совместно решить систему их уравнений.

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Пример:

Найти точки пересечения параболы у = х2 и прямой у — 4.

Решение:

получаем две точки пересечения: А (-2, 4) и В (2, 4).

Задача 3. Найти точки пересечения данной линии с осями координат.

Эта задача является частным случаем задачи 2. Учитывая, что уравнение оси Ох есть у = 0, получаем правило: ‘

чтобы найти абсциссы точек пересечения данной линии с осью Ох, в уравнении этой линии нужно положить у = 0 и решить полученное уравнение относительно х.

Аналогично, так как уравнение оси Оу есть х — 0, то получаем правило:

чтобы найти ординаты точек пересечения данной линии с осью Оу, нужно в уравнении этой линии положить д: = 0 и решить полученное уравнение относительно у.

Пример:

Найти точки пересечения окружности с осями координат.

Решение:

Полагая у = 0 в уравнении (2), получаем х2= 1, т. е. х1 = -1 и х2 = 1. Отсюда находим две точки пересечения данной окружности с осью Ох (рис. 21): А (-1, 0) и В (1, 0).

Аналогично, полагая х = 0 в уравнении (2), получаем у2 = 1, т. е. ух = -1 и у2 = 1. Следовательно, имеются две точки пересечения данной окружности с осью Оу (рис. 21): С (0, -1) и D (0, 1).

Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости

Резюмируя содержание этой главы, можно сказать, что всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение между текущими координатами (х, у) точки этой линии. Наоборот, всякому уравнению между х и г/, где х и у — координаты точки на плоскости, соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой вполне определяются данным уравнением.

Отсюда, естественно, возникают две основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

Задача 1 .Дана линия, рассматриваемая как множество точек. Составить уравнение этой линии.

Задача 2. Дано уравнение некоторой линии. Изучить по этому уравнению ее геометрические свойства (форму и расположение).

Алгебраические линии

Определение: Линия называется линией (или кривой) n-го порядка(п = 1, 2. ), если она определяется уравнением п-й степени относительно текущих прямоугольных координат.

Такие линии называются алгебраическими. Например, линии

являются кривыми соответственно первого, второго и третьего порядков.

Общий вид кривых первого порядка есть

где коэффициенты А и Б не равны нулю одновременно, т. е. Как будет доказано ниже (см. гл. III), все кривые первого порядка — прямые линии.

Общий вид кривых второго порядка следующий:

где коэффициенты А, Б и С не равны нулю одновременно, т. е.

Заметим, что не всякому уравнению второго порядка соответствует действительная кривая. Например, уравнению не отвечает никакая кривая на плоскости Оху, так как, очевидно, нет действительных чисел х и z/, удовлетворяющих этому уравнению.

В следующих главах мы подробно изучим кривую первого порядка (прямую линию) и рассмотрим важнейшие представители кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).

Уравнение кривой n-го порядка может быть записано в следующем виде:

где хотя бы один из старших коэффициентов apqt т. е. таких, что p + q = п, отличен от нуля ( — знак суммирования).

Отметим важное свойство: порядок кривой (1) не зависит от выбора прямоугольной системы координат.

Действительно, выбирая другую систему прямоугольных координат О’х’уна основании формул перехода имеем

где — некоторые постоянные коэффициенты.

Отсюда уравнение кривой (1) в новых координатах О’х’у’ будет иметь вид

где п’ — порядок преобразованной кривой. Очевидно, что п’

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Прямые на координатной плоскости

Линейная функция

График линейной функции

Прямые, параллельные оси ординат

Уравнения вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

Линейная функция

Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

y = kx + b,

(1)

где k и b – произвольные (вещественные) числа.

При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия .

Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом .

График линейной функции

При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

Рис.1

Рис.2

Рис.3

При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

Рис.4

Рис.5

Рис.6

При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

k y = kx + b₁ и y = kx + b₂ ,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены , параллельны .

имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов.

y = kx + b₁ и

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

Угловой коэффициент прямой линии

y = kx

(2)

равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

Рис.10

Рис.11

Рис.12

Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .

При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Прямые, параллельные оси ординат

Прямые, параллельные оси Oy , задаются формулой

x = c ,

(3)

где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

Рис.13

Рис.14

Рис.15

Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;

Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

px + qy = r ,

(4)

где p, q, r – произвольные числа.

В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию .

что и требовалось.

В случае, когда получаем:

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид

0 = r ,

(5)

и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:

В случае, когда уравнение (5) решений вообще не имеет.

Замечание 2 . При любом значении r₁ , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением

px + qy = r₁ ,

(6)

параллельна прямой, заданной уравнением (4) .

Замечание 3 . При любом значении r₂ прямая линия, заданная уравнением

– qx + py = r₂ ,

(7)

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) .

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и

параллельной к прямой
4x + 5y = 7 ; (8)
перпендикулярной к прямой (8).

В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

4x + 5y = r₁ ,

(9)

где r₁ – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой

В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

– 5x + 4y = r₂ ,

(10)

где r₂ – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

источники:

http://www.evkova.org/uravnenie-linii

http://www.resolventa.ru/spr/algebra/degree1.htm