Составить уравнение нормали в точке с абсциссой х0

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Как получить уравнение касательной и уравнение нормали

Касательная — это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

В нём k — угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

Значение производной f ‘(x 0 ) функции y = f(x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f ‘(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Решаем задачи вместе

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции (функция представляет собой многочлен и её производную можно найти по формулам 1, 2 и 3 в таблице производных):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Снова решаем задачи вместе

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (потребуется формула 9 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Как и в предыдущем примере, данная функция — сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (используя формулу 1 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

2 страница. Задача/. Составить уравнение касательной и/или нормали к кривой точке с абсциссой х0.

Задача/. Составить уравнение касательной и/или нормали к кривой
точке с абсциссой х₀.

Если функция f(x) в точке х0 имеет конечную производную, то уравнение касательной имеет вид

, то уравнение касательной имеет вид то уравнение нормали имеет вид

Задача 2. Составить уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой

Имеем:

• Получаем уравнение нормали:

• Составляем уравнение касательной к данной кривой в точке с
абсциссой х₀).

Имеем:

• Получаем уравнение касательной:

В точке М1

Подставив x1 = 2 в уравнение параболы, найдем ординату у1 точки М1:

Значит k = 8. Подставив значение k = 8;

x₁= 2; y₁ = 9 в уравнение прямой, найдем b: 9 = 8 • 2 + b; b = — 7.
Значит касательная к параболе у = Зх 2 — 4х + 5 в точке М₁ (2,9) будет
представлена уравнением у = 8х — 7.

может быть представлено в

Определение 3. Если приращение функции

производной у функции

дифференцируемости в этой точке по определению 3.

Определение 4. Главная линейная часть приращения дифференцируемой

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
АРГУМЕНТА

независимой переменной совпадает с ее приращением). Дифференциалы
старших порядков определяются индуктивно.

По определению производной
получим:

где — бесконечно малая величина (БМВ) при х = 0. Умножая обе части
(1) на Δх, получим:

где Δх при х = 0 тоже БМВ.
Лейбниц предложил обозначить

и назвать это дифференциалом функции. Тогда, если у = х, то

Откуда дифференциал аргумента dx равен приращению аргумента —
Δх. Можно (4) представить в виде:

Решение: По формуле (6) получим:

Отсюда формулами для нахождения дифференциала будут формулы
для нахождения производной, где вместо знака производной перед
функцией будет стоять символ d.

этом Соотношение

Определение. Дифференциалом п-го порядка функции

называется дифференциал от (n-1)-го дифференциала этой функции. При

• Пример. Вычислить 1-й и 2-й дифференциалы функции

Решение:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ

(бесконечно малая величина), предел которой

На рис. рассмотрим геометрический смысл выражения (10).

С учетом (9) и (11) можно сказать, что
дифференциал функции в конкретной
точке отличается от приращения
функции в этой точке на бесконечно
малую величину, соответствующую
отрезку между точками пересечения

вертикальной проекции приращенного аргумента с графиком функции
и с продолжением касательной, проведенной к графику в
рассматриваемой точке.

позволяет определять приближенное значение функции

• Пример 1. Определить приближенное значение

Решение: Рассмотрим функцию

• Пример 2. Найти абсолютную погрешность средней скорости
спринтера в створе двух фотолучевых установок (ФЛУ),
отстоящих друг от друга на расстоянии 5 м, если спринтер
пробегает это расстояние за 0,422 с и ошибка в расстоянии за
счет вертикальных колебаний тела составляет 20 см, а время
определено с ошибкой 0,002 с.

или

Полный дифференциал df, функции f(x, у, z. ) нескольких
независимых переменных — выражение

Дифференциал функции двух переменных.

Определение: Дифференциал df(x₀ , y₀) функции

называется следующее выражение:

Следовательно, мы можем представить df в следующем виде:

Последнее равенство следует из формул замены переменных. Таким образом, df можно представить в виде:

Это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала.

Дифференцирование сложной функции.

Сложная функция h(x) = g(f(x))
(сложная функция с одной переменной)

Правило дифференцирования сложной функции (Цепное правило) позволяет
вычислить производную композиции двух и более функций на основе
индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке
х₀, а функция g имеет производную в точке у₀ = f(x₀), то сложная функция
h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке х₀.

производная сложной функции может быть

Теорема: Пусть

Пример (сложная функция с одной переменной)

и функции

Частные производные высших порядков

Назовём по определению вторыми частными производными функции следующие выражения:

Пример: Найти дифференциал функции у = f (х) = 2 sin3x (сложная
функция с одной переменной x)

Решение.

Пример: Найти дифференциал функции
функция с двумя переменными: x,z)

Решение.

Пример: Найти частные производные функции

(функция с двумя переменными: x,z)

Пример: Найти частные дифференциалы функции

Пример: Найти полный дифференциал функции

Пример: Найти полный дифференциал функции

Решение

Найти частные производные первого и второго порядка и полный

дифференциал функции u. du -?

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.
Определение 1.

Функция f(x) называется возрастающей в интервале (а,b), если при
возрастании аргумента х в этом интервале соответствующие значения
функции f(x) также возрастают, т.е. если
f(x₂) >f(x₁) при x₂ > x₁.

Из этого определения следует, что у
возрастающей в интервале (а,b)
функции f(x) в любой точке этого
интервала приращения Δх и Δу
имеют одинаковые знаки.

Дата добавления: 2016-06-24 ; просмотров: 3020 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Геометрическое применение производной: уравнения касательной и нормали, угол между кривыми

Касательная и нормаль к кривой

Касательная прямая — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением $y=f(x)$, то уравнение касательной к ней в точке $M(x_0;y_0)$ имеет вид:

а уравнение нормали:

Задание. Написать уравнение касательной и нормали к кривой $y=x^2-3x+4$ в точке с абсциссой $x_0=0$.

Решение. Находим значение функции в заданной точке:

Далее вычислим значение производной функции в точке $x_0=0$:

а тогда уравнение касательной запишется в виде:

или после упрощения:

$$y-4=-\frac<1><-3>(x-0) \Rightarrow x-3 y+12=0$$

Ответ. Уравнение касательной: $3x+y-4=0$

Уравнение нормали: $x-3y+12=0$

Угол между кривыми

Углом между кривыми на плоскости в их общей точке $M(x_0;y_0)$ называется наименьший из двух возможных углов между касательными к этим кривым в данной точке. Если уравнения касательных, проведенных к кривым $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, соответственно $y=k_<1>x+b_<1>$ и $y=k_<2>x+b_2$, то тангенс угла между кривыми определяется соотношением:

Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и $y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.

Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:

Таким образом, искомая точка $x=1$.

Далее находим производные заданных функций в найденной точке:

Итак, искомый тангенс:

Ответ. $\operatorname \phi=\frac<1><7>$