Уравнение перпендикулярной прямой
Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением
назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения перпендикулярной прямой (см. также как составить уравнение параллельной прямой).
Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4 /9x – 1 /3 (a = 4 /9). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2) , т.е. 9x+4y-14=0 .
Пример №2 . Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0 , т.е. 9x+4y-14=0 .
Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0 .
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0 . Формула (1) неприменима, так как a=0 .
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Теорема. Пусть p1 и p2 – две произвольные скрещивающиеся прямые скрещивающиеся прямые . Если рассмотреть всевозможные прямые A1A2, такие, что точка A1 лежит на прямой p1, а точка A2 лежит на прямой p2, то будут выполнены следующие два утверждения:
- Среди всех прямых A1A2 существует единственная прямая, перпендикулярная к прямой p1 и к прямой p2 ( общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым ).
- Среди всех отрезков A1A2наименьшую длину имеет отрезок общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.
Доказательство. Докажем сначала существование общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.
Через произвольную точку прямой p1 проведем прямую , параллельную прямой параллельную прямой p2 , а через произвольную точку прямой p2 проведем прямую , параллельную прямой параллельную прямой p1 . Обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямые p1 и , а буквой β плоскость, проходящую через прямые p2 и (рис 1).
Поскольку прямая p1 параллельна прямой , лежащей на плоскости β , то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая p1 параллельна плоскости β. Точно так же, поскольку прямая параллельна прямой p2 , лежащей на плоскости β , то прямая по признаку параллельности прямой и плоскости параллельна плоскости β. Таким образом, плоскость α содержит две пересекающиеся прямые p1 и , паралельные плоскости β. В силу признака параллельности плоскостей заключаем, что плоскости α и β параллельны.
Спроектируем прямую p1 на плоскость β. Получим прямую , являющуюся проекцией прямой проекцией прямой p1, и обозначим точку пересечения прямых p2 и буквой B2 (рис. 2).
Спроектируем теперь прямую p2 на плоскость α . Получим прямую , являющуюся проекцией прямой проекцией прямой p2 , и обозначим точку пересечения прямых p1 и буквой B1 (рис. 3).
Доказательство существования общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено.
Докажем, что построенная прямая B1B2 является единственным общим перпендикуляром к прямым p1 и p2 .
Таким образом, общий перпендикуляр к прямым p1 и p2 является линией пересечения плоскостей γ и δ, то есть прямой B1B2 .
Доказательство единственности общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено. Утверждение 1 доказано.
Перейдем к доказательству утверждения 2. Для этого рассмотрим произвольный отрезок A1A2 , у которого конец A1 лежит на плоскости α , а конец A2 лежит на плоскости β . Опустим перпендикуляр из точки A1 на плоскость β и обозначим основание этого перпендикуляра символом A3 (рис. 4).
Если отрезок A1A2 не является перпендикуляром к плоскостям α и β, то точка A3 не совпадет с точкой A2 , и треугольник A1A2A3 будет прямоугольным треугольником с гипотенузой A1A2 и катетом A1A3. Поскольку в прямоугольном треугольнике длина катета меньше длины гипотенузы, то
Условие перпендикулярности прямых
I. Выясним условие перпендикулярности двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2.
Пусть прямые y=k1x+b1 и y=k2x+b2 образуют с положительным направлением оси Ox углы α1 и α2 соответственно.
Обозначим точки пересечения прямых с осью абсцисс через A и B, точку пересечения прямых — C.
Так как α2 — внешний угол при вершине B треугольника ABC, то
Отсюда угловой коэффициент второй прямой
условие перпендикулярности прямых:
прямые, заданные уравнениями y=k1x+b1 и y=k2x+b2 перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку:
и условие перпендикулярности прямых в этом случае имеет вид:
http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolost.htm
http://www.treugolniki.ru/uslovie-perpendikulyarnosti-pryamyx/