Составить уравнение общих касательных двух эллипсов

Аналитическое построение общей касательной к двум эллипсам Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Калинин А.А., Калинина Т.А., Ковалева Г.В.

Работа посвящена вопросам построения сопряжения двух эллипсов , а именно отысканию точек, для которых возможно сопряжение эллипсов с помощью сопрягающей окружности. Для этого аналитически решается задача об отыскании точек касания общей касательной к двум эллипсам . Рассмотрены все случаи взаимного расположения эллипсов , оси которых расположены на параллельных прямых.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Калинин А.А., Калинина Т.А., Ковалева Г.В.

ANALYTICAL BUILDING OF THE COMMON TANGENT TO the TWO ELlIPSes

He work is devoted to the composition of the conjugation of two ellipses, namely the search for points for which conjugation of ellipses by conjugation circle is possible. For this purpose, the problem of finding the points of contact of the joint tangent to two ellipses is solved analytically. All cases of the mutual arrangement of ellipses are considered, the axes of which are located on parallel straight lines.

Текст научной работы на тему «Аналитическое построение общей касательной к двум эллипсам»

В1СНИК ХНТУ№ 4(63), 2017р.

ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП’ЮТЕРН ТЕХНОЛОГИ

ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП’ЮТЕРН1 _ТЕХНОЛОГИ_

О.О. КАЛГНШ, Т.О. КАШНША, Г.В. КОВАЛЬОВА

Одеська державна академiя будiвництва та арх^ектури

АНАЛ1ТИЧНА ПОБУДОВА СП1ЛЬНО1 ДОТИЧНО1 ДО ДВОХ ЕЛ1ПС1В

Робота присвячена питанням побудови спряження двох елгпав, а саме вгдшуканню точок, для яких можливе спряження ел1пав за допомогою спрягаючого кола. Для цього аналгтично розв ‘язуеться задача про в1дшукання точок дотику стльноИ дотично! до двох елтав. Розглянутг вс випадки взаемного розташування елгпсгв, ос1 яких розташоват на паралельних прямих.

Ключовi слова: коло, елтс, дотична, спряження.

А.А. КАЛИНИН, Т.А. КАЛИНИНА, Г.В. КОВАЛЕВА

Одесская государственная академия строительства и архитектуры

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ К ДВУМ ЭЛЛИПСАМ

Работа посвящена вопросам построения сопряжения двух эллипсов, а именно отысканию точек, для которых возможно сопряжение эллипсов с помощью сопрягающей окружности. Для этого аналитически решается задача об отыскании точек касания общей касательной к двум эллипсам. Рассмотрены все случаи взаимного расположения эллипсов, оси которых расположены на параллельных прямых.

Ключевые слова: круг, эллипс, касательная, сопряжение.

О.О. ^LIMN, Т.О. ^LININ^ G.V. КОVАLОVА

Odessa State Academy of Construction and Architecture

ANALYTICAL BUILDING OF THE COMMON TANGENT TO THE TWO ELLIPSES

The work is devoted to the composition of the conjugation of two ellipses, namely the search for points for which conjugation of ellipses by conjugation circle is possible. For this purpose, the problem of finding the points of contact of the joint tangent to two ellipses is solved analytically. All cases of the mutual arrangement of ellipses are considered, the axes of which are located on parallel straight lines.

Keywords: circle, ellipse, tangent, conjugation.

При проектуванш вщповщальних будов (наприклад, в кораблебудуванш), де потр1бен обпчний контур, складений з гладких кривих, необхцща точна граф1чна побудова точок дотику або спрягаючо! криво! за заданими точками дотику. Таким чином, розглядувана задача становить не тшьки теоретичний, але й практичний штерес.

Аналiз останшх дослвджень i публжацш

В робот! [1], присвяченш спряженню кривих другого порядку, був розглянутий графоаналгтичний метод побудови спряження кола та елшса за заданою на елша точкою дотику. Проте залишилось вщкритим питання про геометричне м1сце точок на елша, для яких така побудова взагал можлива. Тим бшьш на це питання немае вщповщ у випадку двох елшав.

Формулювання мети дослвдження

Метою дослщження е аналгтичне визначення координат точок дотику спшьно! дотично! до двох елшав, оа яких розташоваш на паралельних прямих. Осшльки спшьну дотичну можна розглядати як спрягаюче коло неск1нченного рад1усу, таким чином ми знайдемо дуги на елшсах, для точок яких можливо побудувати спряження.

Викладення основного матерiалу дослiдження

Розглянемо задачу про знаходження загально! дотично! до двох елшав з паралельними осями. Нехай елшси задано в декартовш систем! координат р!вняннями

В1СНИК ХНТУ № 4(63), 2017р. ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА _КОМП’ЮТЕРН1 ТЕХНОЛОГИ

(x — xo) ! (У — y0) _1 (2)

вiдповiдно. Тодi елiпс (1) можна завдати за допомогою параметричних pÍBHHHb

де x, у — декартовi координати точки елiпса, а та b — його пiвосi, t — параметр, пов’язаний з кутом повороту проти годинниково! стрiлки вщ напряму осi Ох до напряму на розглядувану точку елiпса [3]. Враховуючи цi рiвняння, отримаемо, що рiвняння дотично! до елiпса (1) в довшьнш точцi М(х;у) мае вигляд

Пiдставимо це значения в рiвняння другого елiпса (2) i спростимо:

2 ,2 \ ( а2, / ; -Л г , \2

2 -12 — 2 A2b , ( b л — — ‘ u л

n2 b A 2 B 2 + —^ ctg21

x + B2x2 + A21—y0 I — A2B2 = 0 . (4)

Це квадратне pibHHHHH вiдносно x. Якщо дотична першого елiпса e дотичною i другого, то pibHHHHH (4) мае тшьки один корiнь, i його дискримiнант мае дорiвнювати нулю. Звщси отримуемо

22222222 2 2 22 a (B — >»o)sin t + b (A — x0)cos t — 2abx0y0sin t cos t + 2a by^sin t + 2ab x0cos t — a b = 0. (5)

Перейдемо в цьому рiвняннi до тангенса половинного кута i зробимо замiну

Пiсля спрощень отримаемо:

b2(A2 — (a + x0)2)z4 + 4ab(a + x0)y0z3 + 2(2a2(B2 -y2) -b2(A2 — x^) — a2b2)z2 +

2 2 2 + 4ab(a — x0)y0 z + b (A — (a — x0) ) = 0.

Розв’язавши це рiвняння, ми знайдемо параметр t точок дотику на першому елша за рiвнянням

а попм за рiвняннями (3) — координати цих точок.

Щоб знайти вщповщт точки дотику на другому елша, можна скористатися колшеаршстю дотичних векторiв в точках дотику до обох елшав, звiдки

З цього рiвняння знаходимо параметр т вадповадно! точки дотику на другому елша та обчислюемо li координати на другому елiпсi за наступними параметричними рiвняннями [3, с. 112]:

fx = A cos г + x0;

Залежно вщ взаемного розташування елiпсiв рiвняння (6) може мати чотири рiзних дшсних кореня (рис. 1), три рiзних дiйсних кореня (рис. 2), два рiзних дiйсних кореня (рис. 3), один дшсний корiнь (рис. 4) , або не мати дшсних корешв (рис. 5), що вщповщае кшькосп спiльних дотичних.

В1СНИК ХНТУ№ 4(63), 2Q17р.

ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП’ЮТЕРН1 ТЕХНОЛОГИ

Рис. 2. Bapiaii’i ii BíacM^ro розтaшувaння елшсш, що мaють три спшьш дотичнi

Елiпcи мaють двi cпiльнi дотичнi.

Елшси мaють одну cпiльну дотичну

Елшси не мaють спшьних дотичних

Рoзглянемo деяк1 частиннi випадки.

I. Hеxай елiпси мають oднакoвий ексцентриситет, тoбтo вoни пoдiбнi. Toдi

i рiвняння (3) спрoщyeться:

a2yg sin21 + b2X2 cos21 + 2abxoyo sint cos t — 2a2byo sint — 2ab2Xo cos t + a2b2 — A2B2 = О . Лiвy частиц цьoгo рiвняння мoжиа пoдати, як рiзницю квадрат1в, i звести дo двox рiвнянь:

ayQ sin t + bx0 cos t — b(a + A) = О (10)

ayQ sin t + bxQ cos t — b(a — A) = О. (11)

Шсля замши z = tg^—J з рiвнянь (I0) та (II) oтримаeмo два квадратнi рiвияния, дискримшанти якиx вiдпoвiднo мають вигляд

Di = 4(a2Уо2 + b2(xg — (a + A2)) ,

D2 = 4(a2 yg + b 2(xg2 — (a — A2)) . Завдяки yмoвi (9) y випадку пoдiбниx елiпсiв мае мiсце рiвнiсть

тобто параметри вiдпoвiдниx тoчoк дoтикy абo спiвпадають, абo вiдрiзняються на п.

Якщo елiпси не мають стльн^ тoчoк (перший варiант рoзташyвания на рис. I), рoзв’язки рiвияния (I0) вiдпoвiдають внyтрiшнiм дoтичним, а рiвияния (II) — зoвнiшнiм. Якщo oдин з дискримiнантiв дoдатний, а другий дoрiвнюe нулю, то елшси мають три спшьш дoтичнi (рис. 2), якщo oдин з дискримшанпв дoдатний, а другий вщ’емний, — елiпси мають двi спшьш дoтичнi (рис. 3), якщo oдин з дискримiнантiв вiд’eмний, а другий дoрiвнюe нулю, — елiпси мають oднy спiльнy дoтичнy (рис. 4), i якщo oбидва дискримiнанти вщ’емш — елiпси не мають стльн^ дoтичниx (рис. 5).

2. Hеxай a = A , b = B, тобто елшси рiвнi. Toдi рiвияния (I0) та (II) ще спрoщyються, i рoзв’язки рiвияния (I0) знаxoдяться з за фoрмyлами

ayo ±-Ja2yo2 + b2(xg — 4a2)

В1СНИК ХНТУ № 4(63), 2017р. ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА _КОМП’ЮТЕРН1 ТЕХНОЛОГИ

Розв’язки рiвняння (11) мають виг ляд

bx0 bx0 t1 = г = — arctg-, t2 = г2 = n- arctg-.

3. Центри елiпсiв лежать на однiй вертикальнш або горизонтальнiй прямiй, тобто x0 = 0 або У0 = 0. Тодi рiвняння (5) можна звести до рiвняння, квадратного вщносно sint або cost вщповщно:

(a2(B2 — yg) — A2b2)sin21 + 2a2by0 sint + b2(a2 — a2)= 0, (x0 = 0), (12)

(b2(A2 — x0) — a2B2)cos2 t + 2ab2x0 cos t + a2 (b2 — b2)= 0, (y0 = 0). (13)

Дискримшанти цих рiвнянь мають вигляд вiдповiдно

D1 = 4b2 (a2A2y02 + (a2B2 — A2b2)(a2 — A2)), (14)

D2 = 4a2(b2B2x02 + (a2B2 — A2b2)(B2 -b2)), (15)

а) Бачимо, що для подiбних елiпсiв (aB=Ab) дискримшанти (14) та (15) спрощуються, i можна виписати розв’язки в явному виглядо

Для випадку x0 = 0 :

. (a + A)b ti 2 = ± arcsrn-, ri 2 = n + ti 2,

t3,4 =±arcsin-, г3,4 = t3,4, —

розв’язки рiвняння (12), (якщо вони iснують). Якщо розв’язки ti 2 iснують, то вони вщповщають внутрiшнiм дотичним (перший варiант розташування на рис. 1). Для випадку y0 = 0 :

ti 2 =± arccos—, Г1 2 =л+ ti 2,

t3 4 =+ arCCos —, г3,4 = t3,4 —

розв’язки рiвняння (13), (якщо вони юнують). Якщо розв’язки ti 2 юнують, то вони вiдповiдають внутрiшнiм дотичним (перший варiант розташування на рис. 1).

б) Якщо елшси не подiбнi, але a =A при x0 = 0 або b = B при y0 = 0 , то вирази (14) i (15) так само спрощуються, i отримуемо наступнi результати.

Для випадку a = A, x0 = 0:

ti 2 =± arcsrn ——0—-, ri 2 =n + ti 2 —

для внутрiшнiх дотичних (якщо вони юнують). Зовнiшнi дотичш в цьому випадку будуть вертикально

t3,4 = г3,4 = ‘ Для випадку b = B, У0 = 0 :

ti 2 =± arccos——0—-, ri 2 =л + ti 2 —

для внутршшх дотичних (якщо вони юнують). Зовнiшнi дотичнi горизонтально

Приклад. Розглянемо спшьш дотичнi до кола радiуса 2 та елiпса з твосями 2 та 1, координати центра кола (4;3) (рис. 6). В цьому випадку рiвняння (6) мае вигляд

— 32z4 + i44z3 — 64z2 — 48z = 0.

Це рiвняння розкладаеться на наступнi множники:

i вщповщно мае наступнi коренi:

— i6z(z — i)(2z2 — 7z — 3) = 0

zi = 0, z2 = i, z3 =-, z 4 =-.

В1СНИК ШТУM 4(63), 2Q17р.

ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА КОМП’ЮТЕРН1 ТЕXНОЛОГIÏ

Першi два юэреш вщшвщають внутршшм дoтичним:

Z1 = 0 ^ t1 = О ^ Т1 = n, тoчка дoтикy на елiпсi — (2;0), на кoлi — (2;3);

тoчка дoтикy на елiпсi — (0;2), на кoлi — (4;2). Ц дoтичнi на рисунку не зoбраженi, щoб йoгo не загрoмаджyвати.

Рис. 6. Зовшшш cпiльнi дотичнi до елiпca з пiвоcями 2 !a 1 тa колa рaдiуca 2

^ршь zз дае тoчки дoтикy зoвнiшньoï дoтичнoï К\М\ ( tз = arctg (2zз ) « 151o , за фoрмyлoю (9) тз = arctg(2tgtз) + 180o« 132o , звiдси наближенi кooрдинати тoчки К за фoрмyлами (3) х=-1,75; у=0,37, а наближеш кooрдинати тoчки М\ за фoрмyлами (8) х=2,66; у=4,48). Aналoгiчнo, кoрiнь z4 визначае точки дoтикy дoтичнoï К2М2 ( t4 = arctg (2z4 )«-42o, T4 = arctg (2tg t4 )«-61o , наближеш кooрдинати тoчки К2 х =1,48; у=-0,67, а наближеш кooрдинати точки М2 х=4,97; у = I,25). Таким чишм, для тoчoк зoвнiшньoï дуги К\К2 елiпса мoжливo пoбyдyвати спряження з заданим кoлoм, причoмy вiдпoвiдна точка спряження на кoлi буде знаxoдитись на дyзi М2М1.

Oтриманi рiвияния дoзвoляють знайти точки дoтикy спiльнoï дoтичнoï дo двox елiпсiв з тoчнiстю, дoстатньoю для пoбyдoви, а такoж видiлити на кoжнoмy з елiпсiв дуги, для тoчoк якиx мoжиа пoбyдyвати спрягаюче кoлo.

Составить уравнения общих касательных двух эллипсов и ?

Геометрия | 10 — 11 классы

Составить уравнения общих касательных двух эллипсов и .

Из сказанного выше в комментарие

1)x ^ 2 / 6 + y ^ 2 = 1 y = kx + b

x ^ 2 / 6 + (kx + b) ^ 2 = 1

x ^ 2 + 6k ^ 2x ^ 2 + 12kxb + 6b ^ 2 — 6 = 0

(1 + 6k ^ 2) * x ^ 2 + 12kxb + 6b ^ 2 — 6 = 0

Линейный случай отсекается 1 + 6k ^ 2&gt ; 0

D / 4 = 36k ^ 2 * b ^ 2 — (1 + 6k ^ 2)(6b ^ 2 — 6) = 0

2) x ^ 2 / 4 + y ^ 2 / 9 = 1 x ^ 2 / 4 + (kx + b) ^ 2 / 9 = 1 9x ^ 2 + 4k ^ 2x ^ 2 + 8kxb + 4b ^ 2 — 36 = 0 (9 + 4k ^ 2) + 8kxb + 4b ^ 2 — 36 = 0 9 + 4kx ^ 2&gt ; 0

D / 4 = 16k ^ 2b ^ 2 — (9 + 4k ^ 2)(4b ^ 2 — 36) = 0

Раскрывая скобки в каждом уравнении получим.

36k ^ 2 * b ^ 2 — 6b ^ 2 + 6 — 36k ^ 2b ^ 2 + 36k ^ 2 = 0

6k ^ 2 — b ^ 2 + 1 = 0

16k ^ 2b ^ 2 — 36b ^ 2 + 324 — 16k ^ 2b ^ 2 + 144k ^ 2 = 0

4k ^ 2 — b ^ 2 + 9 = 0

То выходит линейная система

6k ^ 2 — b ^ 2 = — 1

4k ^ 2 — b ^ 2 = — 9

b ^ 2 = 25 b = + — 5

То уравнения общих касательныхбудут принимать вид :

Составить уравнение касательной к функции : помогите плиз сижу здаю зачет *?

Составить уравнение касательной к функции : помогите плиз сижу здаю зачет *.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8?

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8.

Найти эксцентриситет, координаты фокусов и уравнения директрис получившегося эллипса.

Радиусы двух, касающихся внешним образом окружностей, равны R и r?

Радиусы двух, касающихся внешним образом окружностей, равны R и r.

Найдите радиус третьей окружности, касающейся двух данных и их общей внешней касательной.

Центры двух окружностей находятся на расстоянии корень из 80?

Центры двух окружностей находятся на расстоянии корень из 80.

Радиусы окружностей равны 4 и 8.

Найти длину общей касательной.

Есть эллипс (x ^ 2 / 4) + (y ^ 2 / 36) = 1, и прямая 5x — 2y — 2 = 0?

Есть эллипс (x ^ 2 / 4) + (y ^ 2 / 36) = 1, и прямая 5x — 2y — 2 = 0.

Найти касательную к эллипсу, которая параллельна первой прямой!

Дано изображение двух взаимно внешних окружностей, лежащих в одной плоскости?

Дано изображение двух взаимно внешних окружностей, лежащих в одной плоскости.

Построить изображение их общих касательных.

Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?

Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?

Два круга радиусов 7 см и 2 см, не имеющих общих точек, имеют общую внешнюю касательную?

Два круга радиусов 7 см и 2 см, не имеющих общих точек, имеют общую внешнюю касательную.

Найдите длину общей касательной, если расстояние между центрами окружностей равно 13 см.

Где в жизни используется эллипс?

Где в жизни используется эллипс?

Помогите пожалуйста ?

АБ общая касательная.

На этой странице находится вопрос Составить уравнения общих касательных двух эллипсов и ?, относящийся к категории Геометрия. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Геометрия. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

1) 2а <6 ; 2>b <2 ; 3>c = 2a + b c <8 ; 5>2) c = a + ( — b) a <3 ; 1>— b < - 2 ; - 3>c <1 ; - 2>.

Если вопрос только 369, то, как известно, сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна 360°. Да минус известный угол Д = 135°. Итого осталось на три РАВНЫХ (дано) угла 225°. Делим на три и — каждый из этих трех углов равен 75°. Ответ .

Ответ. Удачной сдачи.

В смысле. Что на рисунке.

Найдем первую сторону. 90 / (1 + 3 + 5 + 9) = 90 / 18 = 5 Вторая сторона : 5 * 3 = 15 Третья сторона : 5 * 5 = 25 Четвертая : 5 * 9 = 45 Проверка : 5 + 15 + 45 + 25 = 90.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, значит треуг — к АОD — прямоугольный. Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы. Значит АD = 2R = 2 * 4 = 8 см ; Тогда периметр ромба Р = 4а = 4 * 8 ..

Cos FPK = PK / FK = 5 / 10 = 0, 5.

1) В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АС равна 24, а cosC = 0, 6. Найдите площадь треугольника ABC. SinC = √(1 — CosC) или SinC = √(1 — 0, 36) = 0, 8. В равнобедренном треугольнике АВС высота ВН является и медианой. CosC = НС / BC.

Возможно надо найти среднее арифметическое.

Эллипс

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac>>+\frac>>=1\label
$$
при условии \(a \geq b > 0\).

Из уравнения \eqref следует, что для всех точек эллипса \(|x| \leq a\) и \(|y| \leq b\). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами \(2a\) и \(2b\).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты \((a, 0)\), \((-a, 0)\), \((0, b)\) и \((0, -b)\), называются вершинами эллипса. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты \((x, y)\) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты \((-x, y)\), \((x, -y)\) и \((-x, -y)\) точек \(M_<1>\), \(M_<2>\) и \(M_<3>\) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса \(a\) с центром в центре эллипса: \(x^<2>+y^<2>=a^<2>\). При каждом \(x\) таком, что \(|x| Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении \(b/a\).

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Фокусами называются точки \(F_<1>\) и \(F_<2>\) с координатами \((c, 0)\) и \((-c, 0)\) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности \(c=0\), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Отметим, что \(\varepsilon Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки \(M(x, y)\), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы \(x\):
$$
r_<1>=|F_<1>M|=a-\varepsilon x,\ r_<2>=|F_<2>M|=a+\varepsilon x.\label
$$

Очевидно, что \(r_<1>^<2>=(x-c)^<2>+y^<2>\). Подставим сюда выражение для \(y^<2>\), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_<1>^<2>=x^<2>-2cx+c^<2>+b^<2>-\fracx^<2>>>.\nonumber
$$

Учитывая равенство \eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_<1>^<2>=a^<2>-2cx+\fracx^<2>>>=(a-\varepsilon x)^<2>.\nonumber
$$
Так как \(x \leq a\) и \(\varepsilon Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса \(2a\).

Необходимость. Если мы сложим равенства \eqref почленно, то увидим, что
$$
r_<1>+r_<2>=2a.\label
$$
Достаточность. Пусть для точки \(M(x, y)\) выполнено условие \eqref, то есть
$$
\sqrt<(x-c)^<2>+y^<2>>=2a-\sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.\nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^<2>=a\sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.\label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение \eqref. Мы придем к \(b^<2>x^<2>+a^<2>y^<2>=a^<2>b^<2>\), равносильному уравнению эллипса \eqref.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса \(\varepsilon\).

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) — точка на эллипсе и \(y_ <0>\neq 0\). Через \(M_<0>\) проходит график некоторой функции \(y=f(x)\), который целиком лежит на эллипсе. (Для \(y_ <0>> 0\) это график \(f_<1>(x)=b\sqrt<1-x^<2>/a^<2>>\), для \(y_ <0>Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Рис. 8.5.