Составить уравнение окружности диаметр отрезок прямой
Написать уравнение окружности
Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.
1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.
Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:
Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:
2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).
Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.
Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.
Следовательно, уравнение данной окружности
3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).
Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка
Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.
Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,
Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —
4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).
Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение
получаем систему уравнений:
Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим
Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:
на -1 и сложив результат почленно с уравнением
получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:
Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —
5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).
Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение
Как найти уравнение окружности зная диаметр
Написать уравнение окружности
Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.
1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.
Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:
Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:
2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).
Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.
Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.
Следовательно, уравнение данной окружности
3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).
Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка
Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.
Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,
Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —
4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).
Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение
получаем систему уравнений:
Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим
Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:
на -1 и сложив результат почленно с уравнением
получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:
Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —
5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).
Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение
Уравнение окружности.
Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.
В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.
Формула расстояния между двумя точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:
,
Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.
Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.
.
Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.
Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .
Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:
В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):
Длина окружности
О чем эта статья:
6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Как найти длину окружности через диаметр
Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.
Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:
π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14
d — диаметр окружности
Как найти длину окружности через радиус
Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:
π — число пи, примерно равное 3,14
r — радиус окружности
Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.
Как вычислить длину окружности через площадь круга
Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:
π — число пи, примерно равное 3,14
S — площадь круга
Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:
π — число пи, примерно равное 3,14
d — диагональ прямоугольника
Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:
π — математическая константа, примерно равная 3,14
a — сторона квадрата
Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:
π — математическая константа, она примерно равна 3,14
a — первая сторона треугольника
b — вторая сторона треугольника
c — третья сторона треугольника
S — площадь треугольника
Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.
Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.
π — математическая константа, примерно равная 3,14
S — площадь треугольника
p — полупериметр треугольника
Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.
Формула вычисления длины окружности:
π — математическая константа, примерно равная 3,14
a — сторона многоугольника
N — количество сторон многоугольника
Задачи для решения
Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:
Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.
Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:
Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна
Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм
Решение. Радиус окружности равен Подставим туда наши переменные и получим
Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.
Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.
Уравнение окружности.
Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.
В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.
Формула расстояния между двумя точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:
,
Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.
Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.
.
Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.
Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .
Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:
В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):
Уравнение окружности
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности
Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.
Так как |СМ| = \( \sqrt <(x — a)^2 + (у — b)^2>\), то уравнение (1) можно записать так:
(x — a) 2 + (у — b) 2 = R 2 (2)
Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение
есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).
Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид
Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.
Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.
Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим
Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).
Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим
(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.
Задача 3. Найти центр и радиус окружности
Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.
Задача 4. Доказать, что уравнение
является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.
Преобразуем левую часть данного уравнения:
Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.
Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).
Напишем уравнение прямой АВ:
или 4х + 3y —5 = 0.
Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:
Напишем уравнение искомой окружности
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).
Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t
(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем
Уравнение окружности.
Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.
В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.
Формула расстояния между двумя точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:
,
Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.
Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.
.
Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.
Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .
Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:
В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):
http://razdupli.ru/teor/31_uravnenie-okruzhnosti.php
http://www.calc.ru/Uravneniye-Okruzhnosti.html