Составить уравнение окружности касающейся двух параллельных прямых

Задача 54510 Составить уравнение окружности.

Условие

Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых: 2x + — 5 = 0, 2x + у +15 — 0, причём одной из них — в точке А(2;1)

Решение

А(2;1) принадлежит прямой 2x +y – 5 = 0,
подставим координаты точки А в уравнение и получим верное равенство:
2*2+1-5=0
0=0 — верно

Проводим прямую перпендикулярную прямой 2x+y-5=0
и проходящую через точку А

2x+y-5=0 ⇒ y=-2x+5 — уравнение прямой с угловым коэффициентом k=-2

Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно (-1)

Значит, угловой коэффициент прямой, перпендикулярной y=-2x+5

Уравнение этой прямой

Чтобы найти b подставим координаты точки А

y=(1/2)x — уравнение прямой, перпендикулярной прямой 2x+y-5=0
и проходящей через точку А

Находим точку пересечения этой прямой с прямой 2x+y+15=0

O-центр окружности , это середина АВ
O(-2;-1)

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение