Урок геометрии «Уравнение окружности». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цель урока: ввести уравнение окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.
Оборудование: интерактивная доска.
- Организационный момент – 3 мин.
- Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
- Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
- Закрепление изученного материала– 20 мин.
- Итог урока – 5 мин.
− (Приложение1 Слайд 2) записать формулу нахождения координат середины отрезка;
− (Слайд 3) Записать формулу расстояние между точками (длины отрезка).
3. Объяснение нового материала.
(Слайды 4 – 6) Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а;b) и с центром в начале координат.
х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.
Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:
- знать координаты центра;
- знать длину радиуса;
- подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.
4. Решение задач.
В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.
№ 7. Заполнить таблицу.
№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:
№ 9. Найти координаты центра и длину радиуса, если АВ – диаметр окружности.
Дано: | Решение: | ||
R | Координаты центра | ||
1 | А(0 ; -6) В(0 ; 2 ) | АВ 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; АВ 2 = 64; АВ = 8. | А(0; -6) В(0 ; 2) С(0 ; – 2) – центр |
2 | А( -2 ; 0) В(4 ; 0) | АВ 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; АВ 2 = 36; АВ = 6. | А ( -2;0) В (4 ;0) С(1 ; 0 ) – центр |
№ 10. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К(-12;5).
R 2 = ОК 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R = 13;
Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.
№ 11. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С(3; —1).
R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
№ 12. Составьте уравнение окружности с центром А(3;2), проходящей через В(7;5).
1. Центр окружности – А(3;2);
2. R = АВ;
АВ 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ = 5;
3. Уравнение окружности (х – 3) 2 + (у − 2) 2 = 25.
№ 13. Проверьте, лежат ли точки А(1; -1), В(0;8), С(-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
I. Подставим координаты точки А(1; -1) в уравнение окружности:
(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А(1; -1) не лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
II. Подставим координаты точки В(0;8) в уравнение окружности:
(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит В(0;8) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
III. Подставим координаты точки С(-3; -1) в уравнение окружности:
(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С(-3; -1) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
- Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
- (Слайд 21) Домашнее задание.
Написать уравнение окружности
Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.
1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.
Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:
Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:
2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).
Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.
Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.
Следовательно, уравнение данной окружности
3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).
Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка
Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.
Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,
Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —
4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).
Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение
получаем систему уравнений:
Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим
Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:
на -1 и сложив результат почленно с уравнением
получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:
Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —
5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).
Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение
Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»
В презентации к уроку геометрии для 9 класса представлены задачи по теме «Уравнение окружности».
Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»»
Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус :
А) (Х+2)² + ( У – 5)² = 49
Б) (Х+7)² + ( У + 1)² = 36
Ответ : О (-7; -1); R= 6
В) (Х- 6)² + ( У + 15)² = 81
Ответ : О (6; -15); R= 9
Ответ : О (0; 9); R= V͞2
Составьте уравнение окружности, если известны координаты ее центра М и радиус R :
В) М ( 1; -1) , R = ; = V͞11
Задание № 2 ( проверка)
Составьте уравнение окружности с центром в точке М (1; -4), проходящей через точку А(0; 3).
Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ,
если А( -4; 7), В ( 2; 5 )
Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок КР,
если К (-2; 3), Р ( 5; — 23)
Составьте уравнение окружности с центром в точке
А(-4; 2), которая касается оси ординат.
Составьте уравнение окружности, проходящей через точку А( 1; -5 ), центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 13.
Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:
А) Х² + У² + 6х – 14у – 5 = 0;
Найдите координаты центра и радиус окружности ,заданной уравнением
Х² + У² — 18х +2у + 50 = 0. Определите положение точек
А(5; -1), В(2; 4) и С( 13; — 5 ) относительно этой окружности.
http://www.treugolniki.ru/napisat-uravnenie-okruzhnosti/
http://multiurok.ru/files/rieshieniie-zadach-po-tiemie-uravnieniie-okruzhn-1.html