Математика
55. Уравнение с двумя неизвестными. Рассмотрим теперь уравнение
Оно является записью задачи: найти числовые значения для x и y, чтобы двучлен 5x + 3y оказался равным числу 18.
Мы знаем, что если бы в этом двучлене было бы лишь одно неизвестное число, то и тогда мы сумели бы решить соответствующее уравнение. Поэтому возникает соображение, что здесь одно из неизвестных является как бы лишним: если взамен неизвестного y, например, взять какое угодно число, то мы получим уравнение с одним неизвестным.
А если так, то данное уравнение должно иметь сколько угодно решений, и выясняется способ их получения: станем давать одному из неизвестных, например, y, произвольные значения и всякий раз из получаемого уравнения с 1 неизвестным станем определять другое неизвестное x. Чтобы придать этой работе больше порядка, будем результаты ее записывать в таблице.
Дадим y значение 0, т. е. примем, что y = 0 (записано в первой строчке таблицы). Тогда наше уравнение обратится в
(в таблице записываем это число во втором столбце, озаглавленном буквою x).
Итак, мы получили одно решение нашего уравнения: y = 0 и x = 3(3/5) (если эти значения подставить в наш двучлен вместо x и y, то требование, чтобы двучлен равнялся числу 18, оправдается:
3 * 3(3/5) + 3 * 0 = 18).
Дадим y значение 1, т. е. примем, что y = 1 (вторая строчка таблицы); тогда получим
откуда 5x = 18 – 3 или 5x = 15 и x = 3 (записано во 2-ой строчке). Итак, найдено второе решение уравнения y = 1 и x = 3.
Дадим y значение 7, т. е. примем, что y = 7; тогда получим уравнение 5x + 21 = 18, откуда 5x = –3 и x = –3/5 (см. 3-ю строчку таблицы).
Примем еще y = –2½; тогда 5x + 3(–2½) = 18 или 5x – 7½ = 18, откуда 5x = 25½ и x = 5(1/10) = 5,1 (см. 4-ю строчку таблицы). Эту работу можно продолжить сколь угодно далеко. Итак, одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений; для их получения надо одному неизвестному давать произвольные значения и из получаемых уравнений определять всякий раз другое неизвестное .
Рассматривая предыдущую таблицу и вспоминая п. 49, мы установим: у нас y был независимым переменным, x — зависимым, или x является функцией y – a.
Мы можем несколько ускорить работу нахождения решений данного уравнения. Сочтем y за известное число (все равно, ведь, y мы всякий раз заменяли известным числом); тогда на уравнение 5x + 3y = 18 мы можем смотреть, как на уравнение с одним неизвестным x и решим это уравнение:
5x = 18 – 3y; x = (18 – 3y) / 5
Мы можем этот результат выразить словами так: мы из данного уравнения определили y через x .
Теперь по формуле (18 – 3y) / 5 мы можем легко найти сколько угодно решений, делая вычисления в уме. Примем, например, y = 2. Тогда надо (–3) умножить на (+2), получим –6; сложить (+18) и (–6) — получим +12 и разделить на 5 — получим x = +2(2/5). Еще пусть y = 10; тогда (–3) · (+10) = –30; (+18) + (–30) = –12; (–12) : (+5) = –2(2/5), т. е. x = –2(2/5) и т. д.
Возьмем еще уравнение:
Примем за независимое переменное x, а за зависимое y и определим y через x. Это можно сделать двумя приемами:
Быть может второй прием удобнее 1-го, так как его выполнение легче поддается воображению, если желательно выполнить определение y-а через x в уме.
Теперь мы можем найти сколько угодно решений нашего уравнения: 1) x = 0; y = –5(2/3); 2) x = 1; y = –4; 3) x = –1; y = –7(1/3) и т. д.
Следует приучиться быстро (в уме) определять одно из неизвестных данного уравнения с двумя неизвестными через другое. Примеры:
f55_3
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Уравнения первой степени с двумя неизвестными
Перечень рассматриваемых вопросов:
• Решение линейных уравнений.
• Линейное уравнение с двумя неизвестными.
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.
Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.
Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.
Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.
Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Мы с вами уже познакомились с линейными уравнениями первой степени, содержащими одно неизвестное.
Однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде.
Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.
Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел.
x 2 + z 2 = 7x 2 + z 2 = 7
Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливыми все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным.
Попробуем дать определение таких уравнений.
Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида ax + bx = c, где x, y – неизвестные, a, b (коэффициенты при неизвестных), не равные оба нулю, c – любое число.
Решим уравнение: 2x – y = 3
Возьмём пару чисел: x = 1, y = –1.
Подставив эти значения, получим верное равенство:
Следовательно, эта пара чисел удовлетворяет уравнению, или она (эта пара) – решение уравнения.
Возьмём пару чисел: x = 2, y = 4
Следовательно, 0 ≠ 3. Это ложное равенство.
Говорят, что пара чисел не удовлетворяет уравнению, или, что она – не решение уравнения.
Определение. Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y, обращает его в верное равенство.
Уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.
В случае линейной зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия.
Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.
Возьмём уравнение: 2x – y = 4
Уравнение представляет собой линейную зависимость вида:
y = ax + b, графиком является прямая линия.
Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?
Необходимо ввести две переменные: x – число инопланетян, y – число питомцев, тогда получим уравнение 3x + 2y = 15.
Давайте же узнаем, сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.
далее воспользуемся методом перебора: при x = 1, y = 6. При x = 2,
Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина и 3 питомца.
Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Какое значение переменной удовлетворяет уравнению: 4x – 2y – 14?
Для решения уравнения, выразим одну переменную через другую: 2y = 4x – 14,
разделим обе части уравнения на 2:
подставим вместо переменной x её значения:
при x = 3 получаем:
при x = 4 получаем:
при x = –4 получаем:
Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:
Решите уравнение: x – 2y = 5
Выразим переменную x через переменную y:
подставим вместо переменной y её значения:
при y = 1 получаем x = 5 + 2 = 7
при y = 3 получаем x = 5 + 6 = 11
при y = 5 получаем x = 5 + 10 = 15
Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:
Составить уравнение первой степени с двумя неизвестными
а) Способ подстановки состоит в том, что:
1) из одного уравнения мы находим выражение одного из неизвестных, например x, через известные величины и другое неизвестное у,
2) найденное выражение подставляем во второе уравнение, в котором после этой подстановки будет содержаться только одно неизвестное у;
3) решаем полученное уравнение и находим значение у; 4) подставляя найденное значение у в выражение неизвестного x, найденное в начале решения, получаем значение х.
Пример. Решить систему уравнений:
8x – 3y = 46, 5x + 6y = 13.
1) Из первого уравнения находим выражение х через данные числа и неизвестное у:
2) Подставляем это выражение во второе уравнение:
3) Решаем полученное уравнение:
5(46+3y)/8 + 48y/8 = 13, 5(46+3y) + 48y = 104, 230 + 15y + 48y = 104, 15y+48y = 104 – 230, 63y = — 126, y = — 2.
4) Найденное значение y = — 2 подставляем в выражение ; получаем , т.е. x = 5.
Способ сложения или вычитания
1) обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель; обе части второго уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну, и ту же абсолютную величину.
2) Складываем два уравнения или вычитаем их друг из друга, смотря по тому, имеют ли уравненные коэффициенты различные или одинаковые знаки; этим одно из неизвестных исключается.
3) Решаем полученное уравнение с одним неизвестным.
4) Другое неизвестное можно найти тем же приемом, но обычно, проще всего подставить найденное значение первого неизвестного в любое из данных уравнений и решить получившееся уравнение с одним неизвестным.
Пример. Решить систему уравнений:
8x – 3y = 46, 5x + 6y = 13.
1) Проще всего уравнять абсолютные величины коэффициентов при у; обе части первого уравнения умножим на 2; обе части второго — на 1, т. е. оставляем второе уравнение неизменным:
2) Складываем два уравнения:
3) Решаем полученное уравнение:
4) Подставляем значение x = 5 в первое уравнение; имеем: 40 — 3y = 46; — 3y = 46 – 40; — 3y = 6. Отсюда
Способ сложения и вычитания следует предпочесть другим способам:
1) когда в данных уравнениях абсолютные величины коэффициентов при одном из неизвестных равны (тогда первый из этапов решения становится ненужным);
2) когда сразу видно, что числовые коэффициенты при одном из неизвестных уравниваются с помощью небольших целочисленных множителей;
3) когда коэффициенты уравнений содержат буквенные выражения.
Пример. Решить систему:
(a + c)x – (a – с)y = 2ab, (a + b)x – (a — b)y = 2ac.
1) Уравниваем коэффициенты при х, помножая обе части первого уравнения на (a + b), а второго на (а + с), получаем:
(a + c)(a +b)x – (a + b)(a — c)y = 2ab(a + b), (a +c)(a +b)x – (a-b)(a + c)y = 2ac(a +c).
2) Вычитаем из первого уравнения второе; получаем:
[(a — b)(a + c) – (a + b)(a — c)]y = 2ab(a + b) – 2ac(a + c).
3) Решаем полученное уравнение:
Это выражение можно значительно упростить, для чего однако, потребуются довольно долгие преобразования. В числителе и знаменателе раскроем скобки,
4) Чтобы найти x, уравняем коэффициенты при y в исходных уравнениях, помножив первое на (a — b), второе на (a — с). Вычтя одно полученное уравнение из другого, решим уравнение с одним неизвестным; найдем:
Выполняя такие же преобразования, как в предыдущем пункте, получим х = b + c — a. Подстановка значения y d одно из исходных уравнений потребовала бы более утомительных вычислений; при решении буквенных уравнений так бывает очень часто.
http://resh.edu.ru/subject/lesson/7273/conspect/
http://www.maths.yfa1.ru/algebra.php?id=22