Составить уравнение плоскостей проектирующих прямую

Составить уравнение плоскостей проектирующих прямую

Найти уравнения плоскостей, проектирующих прямую

(1)
на координатные плоскости.

Чтобы найти уравнение плоскости, проектирующей прямую (1) на плоскость xOy, надо из системы (1) исключить координату z. Умножая первое уравнение этой системы на -3, а второе на 5 и складывая полученные уравнения, будем иметь -4x + 22y + 34 = 0, а сокращая на -2, получим искомое уравнение в виде 2x — 11y — 17 = 0.

Уравнение плоскости, проектирующей прямую (1) на плоскость xOz, получим, исключая из системы (1) координату y. Умножая второе уравнение в системе (1) на 2 и складывая с первым, получим искомое уравнение в виде

Уравнение плоскости, проектирующей прямую (1) на плоскость yOz, получим, исключая из системы (1) координату x. Умножая второе уравнение в системе (1) на -3 и складывая с первым, получим искомое уравнение в виде

Основные задачи о прямых и плоскостях

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки \(M_<1>\) и \(M_<2>\) с координатами \((x_<1>, y_<1>, z_<1>)\) и \((x_<2>, y_<2>, z_<2>)\). Чтобы написать уравнение прямой \(M_<1>M_<2>\), примем \(M_<1>\) за начальную точку, a \(\overrightarrowM_<2>>\) за направляющий вектор. Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают. По формуле уравнения прямой в пространстве мы получаем
$$
\frac>-x_<1>>=\frac>-y_<1>>=\frac>-z_<1>>.\label
$$
Если в этих равенствах какой-либо из знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующий числитель.

В планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек теперь \((x_<1>, y_<1>)\) и \((x_<2>, y_<2>)\), и мы получаем по формуле для прямой на плоскости
$$
\begin
x-x_<1>& y-y_<1>\\
x_<2>-x_<1>& y_<2>-y_<1>
\end
= 0.\nonumber
$$

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть \(M_<1>\), \(M_<2>\) и \(M_<3>\) — не лежащие на одной прямой точки с координатами \((x_<1>, y_<1>, z_<1>)\), \((x_<2>, y_<2>, z_<2>)\) и \((x_<3>, y_<3>, z_<3>)\) в общей декартовой системе координат. Выберем \(M_<1>\) в качестве начальной точки, a \(\overrightarrowM_<2>>\) и \(\overrightarrowM_<3>>\) в качестве направляющих векторов. Тогда по формуле о компланарности прямой и плоскости и формуле для выражения смешанного произведения через координаты получаем уравнение плоскости
$$
\begin
x-x_<1>& y-y_<1>& z-z_<1>\\
x_<2>-x_<1>& y_<2>-y_<1>& z_<2>-z_<1>\\
x_<3>-x_<1>& y_<3>-y_<1>& z_<3>-z_<1>
\end
= 0.\label
$$

Параллельность прямой и плоскости.

Легко проверить, что все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.

Из формулы \eqref следует, что три плоскости пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда коэффициенты их уравнений удовлетворяют условию
$$
\begin
A& B& C\\
A_<1>& B_<1>& C_<1>\\
A_<2>& B_<2>& C_<2>
\end
\neq 0.\label
$$
Действительно, это неравенство означает, что прямая, по которой пересекаются две плоскости, не параллельна третьей.

Полупространство.

Пусть даны плоскость \(P\) и определенный ее нормальный вектор \(\boldsymbol\). Полупространством, определяемым \(P\) и \(\boldsymbol\), называется множество точек \(M\) таких, что для некоторой точки \(M_<0>\) на плоскости вектор \(\overrightarrowM>\) составляет с \(\boldsymbol\) угол, не больший \(\pi/2\).

Если \(\boldsymbol\) — радиус-вектор точки \(M\), а \(\boldsymbol_<0>\) — точки \(M_<0>\), то определение полупространства, эквивалентно неравенству \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) \geq 0\). Это неравенство и есть уравнение полупространства.

Мы получим уравнение полупространства в координатной форме, если вспомним, что согласно утверждению 3 отсюда выражение \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\) в координатах записывается линейным многочленом \(Ax+By+Cz+D\). Итак, полупространство в декартовой системе координат задается линейным неравенством
$$
Ax+By+Cz+D \geq 0.\nonumber
$$
Обратно, любое такое неравенство можно записать как \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) \geq 0\), откуда сразу видно, что оно задает полупространство.

Плоскость \(P\) и вектор \(\boldsymbol_ <1>=-\boldsymbol\) задают другое полупространство с уравнением \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol_<1>) \geq 0\) или \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) \leq 0\). Его назовем “отрицательным”, в отличие от “положительного” полупространства \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) \geq 0\). Однако такое наименование условно — оно определяется выбором вектора \(\boldsymbol\). Изменение направления этого вектора равносильно умножению уравнения плоскости на (—1). При этом “положительное” полупространство становится “отрицательным”, и наоборот.

Вот, однако, факт, не зависящий от выбора направления нормального вектора: если \(M_<1>(x_<1>, y_<1>, z_<1>)\) и \(M_<2>(x_<2>, y_<2>, z_<2>)\) две точки, не лежащие в плоскости, то результаты подстановки их координат в левую часть уравнения плоскости \(Ax_<1>+By_<1>+Cz_<1>+D\) и \(Ax_<2>+By_<2>+Cz_<2>+D\) имеют один знак тогда и только тогда, когда точки лежат в одном полупространстве.

Для решения задач бывает полезно следующее замечание: если точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) лежит на плоскости, то точка с координатами \(x_<0>+A\), \(y_<0>+B\), \(z_<0>+C\) лежит в “положительном” полупространстве. Иначе говоря, вектор с координатами \(A, B, C\) направлен в “положительное” полупространство. Это легко проверяется подстановкой.

Вполне аналогично сказанному о полупространствах мы можем определить, что такое полуплоскость, и доказать, что неравенство \(Ax+By+Cz+D \geq 0\), связывающее декартовы координаты точки на плоскости, определяет полуплоскость. Вторая полуплоскость, ограниченная прямой \(Ax+By+C=0\), задается неравенством \(Ax+By+C \leq 0\).

Точки \(M_<1>(x_<1>, y_<1>)\) и \(M_<2>(x_<2>, y_<2>)\) лежат по одну сторону от прямой тогда и только тогда, когда \((Ax_<1>+By_<1>+C)(Ax_<2>+By_<2>+C) > 0\).

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость с уравнением \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)=0\) и точка \(M\) с радиус-вектором \(R\). Рассмотрим вектор \(\overrightarrowM>=\boldsymbol-\boldsymbol_<0>\), соединяющий начальную точку плоскости с \(M\) (рис. 7.1). Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор \(\boldsymbol\), то есть
$$
h=\frac<|(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)|><|\boldsymbol|>.\label
$$

Если в декартовой прямоугольной системе координат точка \(M\) имеет координаты \((X, Y, Z)\), то равенство \eqref запишется согласно ранее доказанным утверждениям (здесь и здесь) так:
$$
h=\frac<|AX+BY+CZ+D|><\sqrt+B^<2>+C^<2>>>.\label
$$

Рис. 7.1. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до прямой.

Рис. 7.2. Расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением \(Ax+By+C=0\) в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) — начальная точка прямой, a \(M(X, Y)\) — некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем вектор \(\boldsymbol(-B, A)\). Мы знаем (ранее доказывали), что площадь параллелограмма равна \(S=|(X-x_<0>)A-(Y-y_<0>)(-B)|\). Тогда по формуле \(S=|AX+BY+C|\) и
$$
h=\frac<|AX+BY+C|><\sqrt+B^<2>>>.\label
$$

Легко заметить также, что для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости можно воспользоваться формулой \eqref, считая, что \(\boldsymbol\) — нормальный вектор прямой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Рис. 7.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Вычисление углов.

Чтобы найти угол между двумя прямыми, следует найти их направляющие векторы и вычислить косинус угла между ними, используя скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что, изменив направление одного из векторов, мы получим косинус смежного угла.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью определяют угол \(\theta\) между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Если векторы выбрать так, чтобы \(\cos \theta \geq 0\), и взять \(0 \leq \theta \leq \pi/2\), то искомый угол дополняет \(\theta\) до \(\pi/2\).

Угол между плоскостями находят как угол между их нормальными векторами.

Полезна бывает формула для угла между прямыми линиями на плоскости, заданными уравнениями \(y=k_<1>x+b_<1>\) и \(y=k_<2>x+b_<2>\) декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через \(\varphi\) угол между прямыми, отсчитываемый от первой прямой ко второй в том же направлении, в котором производится кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму. Тогда \(\operatorname \varphi\) можно найти как тангенс разности углов, которые прямые составляют с осью абсцисс. Так как тангенсы этих углов равны угловым коэффициентам прямых, мы получаем
$$
\operatorname \varphi=\frac-k_<1>><1+k_<1>k_<2>>.\label
$$

Рис. 7.4. \(\varphi=\varphi_<2>-\varphi_<2>\)

Конечно, эта формула не имеет смысла, когда знаменатель дроби обращается в нуль. В этом случае прямые перпендикулярны. Действительно, векторы с компонентами \(1, k_<1>\) и \(1, k_<2>\) — направляющие векторы прямых, и их скалярное произведение равно \(1+k_<1>k_<2>\). Таким образом, верно следующее утверждение.

Для перпендикулярности прямых с угловыми коэффициентами \(k_<1>\) и \(k_<2>\) в декартовой прямоугольной системе координат необходимо и достаточно выполнение равенства \(1+k_<1>k_<2>=0\).

Некоторые задачи на построение.

Перпендикуляр из точки на плоскость. Проекция точки.

Если \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)=0\) — уравнение плоскости и дана точка \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol\), то прямая с уравнением \(\boldsymbol=\boldsymbol+t\boldsymbol\) проходит через \(M\) и перпендикулярна плоскости. Решая совместно уравнения прямой и плоскости, найдем ортогональную проекцию \(M\) на плоскость. Из \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>+t\boldsymbol, \boldsymbol)\) находим \(t\) и подставляем в уравнение прямой. Мы получим радиус-вектор проекции
$$
\boldsymbol_<1>=\boldsymbol-\frac<(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)><|\boldsymbol|^<2>>\boldsymbol.\nonumber
$$
Таким образом, из радиус-вектоpa \(\boldsymbol\) вычитается проекция \(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>\) на нормальный вектор плоскости.

Перпендикуляр из точки на прямую.

Уравнение проекции прямой на плоскость.

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.

Рис. 7.5. Перпендикуляр между скрещивающимися прямыми

Пучок прямых.

Пучком прямых на плоскости называется множество прямых, проходящих через фиксированную точку — центр пучка. Пусть \(A_<1>x+B_<1>y+C_<1>=0\) и \(A_<2>x+B_<2>y+C_<2>=0\) — уравнения двух прямых, принадлежащих пучку. Тогда уравнение
$$
\alpha(A_<1>x+B_<1>y+C_<1>)+\beta(A_<2>x+B_<2>y+C_<2>)=0\label
$$
при условии \(\alpha^<2>+\beta^ <2>\neq 0\) называется уравнением пучка прямых.

Основанием для этого служит следующее утверждение.

При любых \(\alpha\) и \(\beta\) \((\alpha^<2>+\beta^ <2>\neq 0)\) уравнение \eqref определяет прямую линию, принадлежащую пучку. Обратно, уравнение каждой прямой из пучка представимо в виде \eqref.

Докажем сначала, что коэффициенты при переменных в уравнении \eqref не равны нулю одновременно. Для этого перепишем его в виде
$$
(\alpha A_<1>+\beta A_<2>)x+(\alpha B_<1>+\beta B_<2>)y+(\alpha C_<1>+\beta C_<2>)=0.\nonumber
$$
Допустим, что \(\alpha A_<1>+\beta A_<2>=0\) и \(\alpha B_<1>+\beta B_<2>=0\). Так как прямые пересекаются, \(A_<1>B_<2>-A_<2>B_ <1>\neq 0\) и из утверждения о существовании решения системы уравнений вытекает, что значения \(\alpha=0\), \(\beta=0\) единственные, которые удовлетворяют этим двум равенствам. Но эти значения мы исключили. Таким образом, уравнение \eqref определяет прямую линию.

Обозначим через \(x_<0>\), \(y_<0>\) координаты центра пучка. По условию
$$
A_<1>x_<0>+B_<1>y_<0>+C_<1>=0,\ A_<2>x_<0>+B_<2>y_<0>+C_<2>=0,\nonumber
$$
а потому \(x_<0>\), \(y_<0>\) удовлетворяют уравнению \eqref, и прямая проходит через центр пучка.

Вторая часть предложения будет доказана, если окажется, что через любую точку, отличную от центра пучка \(M_<0>\), проходит прямая линия с уравнением вида \eqref. Легко проверить, так ли это. Рассмотрим точку \(M_<1>(x_<1>, y_<1>)\), отличную от \(M_<0>\), и обозначим
$$
u=A_<1>x_<1>+B_<1>y_<1>+C_<1>=0,\ v=A_<2>x_<1>+B_<2>y_<1>+C_<2>=0\nonumber
$$
Так как наши прямые имеют только одну общую точку, числа \(u\) и \(v\) одновременно не равны нулю, и мы вправе положить \(\alpha=-v\), \(\beta=-u\). При таких значениях \(\alpha\) и \(\beta\) координаты точки \(M_<1>\) удовлетворяют уравнению \eqref. Это означает, что соответствующая этим значениям прямая пучка проходит через \(M_<1>\), и утверждение доказано.

Заметим, что каждая пара чисел \(\alpha\) и \(\beta\) \((\alpha^<2>+\beta^ <2>\neq 0)\) определяет в пучке единственную прямую, но каждой прямой соответствуют бесконечно много пропорциональных между собой пар чисел.

Если нам известны координаты центра пучка, то уравнение пучка можно написать в виде
$$
\alpha(x-x_<0>)+\beta(y-y_<0>)=0,\nonumber
$$
положив, что пучок определяется прямыми \(x-x_<0>=0\) и \(y-y_<0>=0\). Впрочем, и без того очевидно, что это — уравнение произвольной прямой, проходящей через \(M_<0>\).

Систему из уравнений прямых, определяющих пучок, можно рассматривать как уравнение центра пучка. Поэтому уравнение каждой прямой пучка есть следствие этой системы. Теперь наш результат можно сформулировать так.

Если система линейных уравнений имеет решение., то некоторое линейное уравнение является ее следствием тогда и только тогда, когда оно есть сумма уравнений системы, умноженных на какие-то числа.

Мы доказали это предложение для частного случая систем из двух уравнений с двумя неизвестными. В общем виде оно вытекает из результатов главы о системах линейных уравнений. Другими геометрическими интерпретациями этого предложения являются пучки и связки плоскостей.

Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную прямую — ось пучка. Уравнение пучка плоскостей имеет вид
$$
\alpha(A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_<1>)+\beta(A_<2>x+B_<2>y+C_<2>z+D_<2>)=0,\nonumber
$$
где \(\alpha^<2>+\beta^ <2>\neq 0\), а в скобках стоят левые части уравнений двух различных плоскостей пучка.

Связкой плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную точку — центр связки. Уравнение связки плоскостей имеет вид
$$
\alpha(A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_<1>)+\beta(A_<2>x+B_<2>y+C_<2>z+D_<2>) +\\+ \gamma(A_<3>x+B_<3>y+C_<3>z+D_<3>)=0,\nonumber
$$
где \(\alpha^<2>+\beta^<2>+\gamma^ <2>\neq 0\), а в скобках стоят левые части уравнений плоскостей связки, имеющих центр своей единственной общей точкой.

О геометрическом смысле порядка алгебраической линии.

Предположим, что на плоскости дана алгебраическая линия \(L\), имеющая в декартовой системе координат уравнение
$$
A_<1>x^>y^>+…+A_x^>y^>=0.\label
$$
Рассмотрим произвольную прямую с параметрическими уравнениями
$$
x=x_<0>+a_<1>t,\ y=y_<0>+a_<2>t.\label
$$
Найдем точки пересечения \(L\) и прямой линии. Они будут известны, если мы найдем соответствующие им значения параметра \(t\). Это будут те значения, при которых \(x\) и \(y\), выраженные по формулам \eqref, удовлетворяют уравнению \eqref. Подставим \eqref в \eqref:
$$
A_<1>(x_<0>+a_<1>t)^>(y_<0>+a_<2>t)^>+…+A_(x_<0>+a_<1>t)^>(y_<0>+a_<2>t)^>=0.\label
$$
Раскрывая скобки в каждом члене, мы получим многочлены относительно \(t\) степеней \(k_<1>+l_<1>, …, k_+l_\). Их сумма будет многочленом, степень которого не выше, чем максимальная из степеней слагаемых. Но максимальное из чисел \(k_<1>+l_<1>,…,k_+l_\) — это порядок линии \(L\). Поэтому степень уравнения \eqref не превосходит порядка линии.

Может, конечно, случиться, что все коэффициенты этого уравнения равны нулю, и оно представляет собой тождество. Если исключить этот случай, то число корней уравнения и, следовательно, число точек пересечения не превосходит порядка линии. Таким образом, мы доказали следующее утверждение.

Число точек пересечения алгебраической линии с прямой, которая на ней не лежит целиком, не превосходит порядка линии.

Существуют линии, которые ни с одной прямой не имеют в принципе возможного числа точек пересечения, равного порядку линии. Примерами могут служить линии с уравнениями \(x^<2>+y^<2>=0\) или \((x^<2>+y^<2>)^<2>-1=0\).

Архимедова спираль — линия с уравнением \(r=\alpha\varphi\) в полярной системе координат — пересекает каждую прямую, проходящую через полюс, в бесконечном числе точек. Следовательно, она не является алгебраической линией.

Уравнения прямой в пространстве — это уравнения двух пересекающихся плоскостей

В данном разделе продолжим изучение темы уравнения прямой в пространстве с позиции стереометрии. Это значит, что мы будем рассматривать прямую линию в трехмерном пространстве как линию пересечения двух плоскостей.

Согласно аксиомам стереометрии, если две плоскости не совпадают и имеют одну общую точку, то они также имею одну общую прямую, на которой лежат все точки, которые являются общими для двух плоскостей. Используя уравнения двух пересекающихся плоскостей, мы можем определить прямую линию в прямоугольной системе координат.

По ходу рассмотрения темы приведем многочисленные примеры, ряд графических иллюстраций и развернутых решений, необходимых для лучшего усвоения материала.

Уравнения двух плоскостей, задающих прямую линию в пространстве

Пусть даны две плоскости, которые не совпадают между собой и пересекаются. Обозначим их как плоскость α и плоскость β . Разместим их в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Как мы помним, любую плоскость в прямоугольной системе координат задает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 . Будем считать, что плоскости α соотвествует уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а плоскости β уравнение A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В этом случае нормальные вектора плоскостей α и β n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) не коллинеарны, так как плоскости не совпадают между собой и е размещаются параллельно друг другу. Запишем это условие следующим образом:

n 1 → ≠ λ · n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ · A 2 , λ · B 2 , λ · C 2 , λ ∈ R

Чтобы освежить в памяти материал по теме «Параллельность плоскостей», смотрите соответствующий раздел нашего сайта.

Линию пересечения плоскостей обозначим буквой a . Т.е. a = α ∩ β . Эта прямая представляет собой множество точек, которые являются общими для обеих плоскостей α и β . Это значит, что все точки прямой линии a удовлетворяют обоим уравнениям плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Фактически, они являются частным решением системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Общее решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определяет координаты всех точек линии, по которой происходит пересечение двух плоскостей α и β . Это значит, что с его помощью мы можем определить положение прямой в прямоугольной системе координат O x y z .

Рассмотрим описанную теорию еще раз, теперь уже на конкретном примере.

Прямая O x – это прямая, по которой пересекаются координатные плоскости O x y и O x z . Зададим плоскость O x y уравнением z = 0 , а плоскость O x z уравнением у = 0 . Такой подход мы подробно разобрали в разделе «Неполное общее уравнение плоскости», так что, в случае затруднений, можно обратиться к этому материалу повторно. В этом случае координатная прямая O x определяется в трехмерной системе координат системой из двух уравнений вида y = 0 z = 0 .

Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости

Рассмотрим задачу. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат O х у z . Линия, по которой пересекаются две плоскости a , задана системой уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Дана точка трехмерного пространства M 0 x 0 , y 0 , z 0 .

Давайте определим, принадлежит ли точка M 0 x 0 , y 0 , z 0 заданной прямой линии a .

Для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, подставим координаты точки М 0 в каждое из двух уравнений плоскости. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные равенства A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 , то точка М 0 принадлежит каждой из плоскостей и принадлежит заданной линии. Если хотя бы одно из равенств A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 окажется неверным, то точка М 0 не принадлежит прямой линии.

Рассмотрим решение примера

Прямая линия задана в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида 2 x + 3 y + 1 = 0 x — 2 y + z — 3 = 0 . Определите, принадлежат ли точки M 0 ( 1 , — 1 , 0 ) и N 0 ( 0 , — 1 3 , 1 ) прямой линии пересечения плоскостей.

Решение

Начнем с точки М 0 _. Подставим ее координаты в оба уравнения системы 2 · 1 + 3 · ( — 1 ) + 1 = 0 1 — 2 · ( — 1 ) + 0 — 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

В результате подстановки мы получили верные равенства. Это значит, что точка М 0 принадлежит обеим плоскостям и расположена на линии их пересечения.

Подставим в оба уравнения плоскости координаты точки N 0 ( 0 , — 1 3 , 1 ) . Получаем 2 · 0 + 3 · — 1 3 + 1 = 0 0 — 2 · — 1 3 + 1 — 3 = 0 ⇔ 0 = 0 — 1 1 3 = 0 .

Как вы видите, второе уравнение системы превратилось в неверное равенство. Это значит, что точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

Ответ: точка М 0 принадлежит прямой линии, а точка N 0 не принадлежит.

Теперь предлагаем вам алгоритм нахождения координат некоторой точки, принадлежащей прямой линии, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z определяется уравнениями пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Количество решений системы из двух линейных уравнений с темя неизвестными A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 бесконечно. Любое из этих решений может стать решением задачи.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямая линия уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Найдите координаты любой из точек этой прямой.

Решение

Перепишем систему уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = — 7 2 x + 3 y + 3 z = — 2 .

Возьмем отличный от нуля минор второго порядка в качестве базисного минора основной матрицы системы 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Это значит, что z – это свободная неизвестная переменная.

Перенесем слагаемые, содержащие свободную неизвестную переменную z в правые части уравнений:

x + 0 y + 3 z = — 7 2 x + 3 y + 3 z = — 2 ⇔ x + 0 y = — 7 — 3 z 2 x + 3 y = — 2 — 3 z

Введем произвольное действительное число λ и примем, что z = λ .

Тогда x + 0 y = — 7 — 3 z 2 x + 3 y = — 2 — 3 z ⇔ x + 0 y = — 7 — 3 λ 2 x + 3 y = — 2 — 3 λ .

Для решения полученной системы уравнений применим метод Крамера:

∆ = 1 0 2 3 = 1 · 3 — 0 · 1 = 2 ∆ x = — 7 — 3 λ 0 — — 3 λ 3 = — 7 — 3 λ · 3 — 0 · ( — 2 — 3 λ ) = 21 — 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = — 7 — 3 λ ∆ y = 1 — 7 — 3 λ 2 — 2 — 3 λ = 1 · — 2 — 3 λ — — 7 — 3 λ · = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

Общее решение системы уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 будет иметь вид x = — 7 — 3 λ y = 4 + λ z = λ , где λ ∈ R .

Для получения частного решения системы уравнений, которое даст нам искомые координаты точки, принадлежащей заданной прямой, нам необходимо взять конкретное значение параметра λ . Если λ = 0 , то x = — 7 — 3 · 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = — 7 y = 4 z = 0 .

Это позволяет нам получить координаты искомой точки — 7 , 4 , 0 .

Проверим верность найденных координат точки методом подстановки их в исходные уравнения двух пересекающихся плоскостей — 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · ( — 7 ) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Ответ: — 7 , 4 , 0

Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости

Давайте рассмотрим, как определить координаты направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В прямоугольной системе координат 0хуz направляющий вектор прямой неотделим от прямой линии.

Как мы знаем, прямая перпендикулярна по отношению к плоскости в том случае, когда она перпендикулярна по отношению к любой прямой, лежащей в данной плоскости. Исходя из вышесказанного, нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в данной плоскости. Эти два факта помогут нам в нахождении направляющего вектора прямой.

Плоскости α и β пересекаются по линии a . Направляющий вектор a → прямой линии a расположен перпендикулярно по отношению к нормальному вектору n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и нормальному вектору n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) плоскости A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Направляющий вектор прямой a представляет собой векторное произведение векторов n → 1 = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = A 2 , B 2 , C 2 .

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Зададим множество всех направляющих векторов прямой как λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , где λ — это параметр, который может принимать любые действительные значения, отличные от нуля.

Пусть прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей x + 2 y — 3 z — 2 = 0 x — z + 4 = 0 . Найдем координаты любого направляющего вектора этой прямой.

Решение

Плоскости x + 2 y — 3 z — 2 = 0 и x — z + 4 = 0 имеют нормальные векторы n 1 → = 1 , 2 , — 3 и n 2 → = 1 , 0 , — 1 . Примем за направляющий вектор прямой линии, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, векторное произведение нормальных векторов:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 — 3 1 0 — 1 = i → · 2 · ( — 1 ) + j → · ( — 3 ) · 1 + k → · 1 · 0 — — k → · 2 · 1 — j → · 1 · ( — 1 ) — i → · ( — 3 ) · 0 = — 2 · i → — 2 j → — 2 k →

Запишем ответ в координатной форме a → = — 2 , — 2 , — 2 . Тем, кто не помнит, как это делается, рекомендуем обратиться к теме «Координаты вектора в прямоугольной системе координат».

Ответ: a → = — 2 , — 2 , — 2

Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве

Для решения ряда задач проще использовать параметрические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ или канонические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . В этих уравнениях a x , a y , a z — координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 — координаты некоторой точки прямой, а λ — параметр, принимающий произвольные действительные значения.

От уравнения прямой вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 можно перейти к каноническим и параметрическим уравнениям прямой линии в пространстве. Для записи канонических и параметрических уравнений прямой нам понадобятся навыки нахождения координат некоторой точки прямой, а также координат некоторого направляющего вектора прямой, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассмотрим написанное выше на примере.

Зададим прямую линию в трехмерной системе координат уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 . Напишем канонические и параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Найдем координаты направляющего вектора прямой, который является векторным произведением нормальных векторов n 1 → = 2 , 1 , — 1 плоскости 2 x + y — z — 1 = 0 и n 2 → = ( 1 , 3 , — 2 ) плоскости x + 3 y — 2 z = 0 :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 — 1 1 3 — 2 = i → · 1 · ( — 2 ) + j → · ( — 1 ) · 1 + k → · 2 · 3 — — k → · 1 · 1 — j → · 2 · ( — 2 ) — i → · ( — 1 ) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

Координаты направляющего вектора прямой a → = ( 1 , 2 , 5 ) .

Следующим шагом является определение координат некоторой точки заданной прямой линии, которыми является одно из решений системы уравнений: 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ 2 x + y — z = 1 x + 3 y — 2 z = 0 .

Возьмем в качестве минорной матрицы системы определитель 2 1 1 3 = 2 · 3 — 1 · 1 = 5 , который отличен от нуля. В этом случае переменная z является свободной. Перенесем слагаемые с ней в правые части каждого уравнения и придаем переменной произвольное значение λ :

2 x + y — z = 1 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

Применяем для решения полученной системы уравнений метод Крамера:

∆ = 2 1 1 3 = 2 · 3 — 1 · 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = ( 1 + λ ) · 3 — 1 · 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ — ( 1 + λ ) · 1 = — 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = — 1 + 3 λ 5 = — 1 5 + 3 5 · λ

Получаем: 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = — 1 5 + 3 5 z = λ

Примем λ = 2 для того, чтобы получить координаты точки прямой линии: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = — 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения данной прямой в пространстве: x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z ⇔ x — 1 1 = y — 1 3 = z — 2 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Ответ: x — 1 1 = y — 1 3 = z — 2 5 и x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Данная задача имеет еще один способ решения.

Нахождение координат некоторой точки прямой проводится при решении системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

В общем случае ее решения можно записать в виде искомых параметрических уравнений прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .

Получение канонических уравнений проводится следующим образом: решаем каждое из полученных уравнений относительно параметра λ , приравниваем правые части равенства.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y λ = z — z 1 a z ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

Применим данный способ к решению задачи.

Зададим положение прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 . Напишем параметрическое и каноническое уравнения для этой прямой линии.

Решение

Решение системы из двух уравнений с тремя неизвестными проводится аналогично тому, как мы делали это в предыдущем примере. Получаем: 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = — 1 5 + 3 5 · λ z = λ .

Это параметрические уравнения прямой в пространстве.

Канонические уравнения получаем следующим образом: x = 3 5 + 1 5 · λ y = — 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x — 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x — 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Полученные в обоих примерах уравнения отличаются внешне, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства, а следовательно и одну и ту же прямую линию.

Ответ: x — 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 и x = 3 5 + 1 5 · λ y = — 1 5 + 3 5 · λ z = λ