Составить уравнение плоскости a1a2a3 i

Уравнение плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через три точки, и уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий заданный нормаль плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости выберите вариант задания исходных данных, введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Рассмотрим цель − вывести уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Так как эти точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны. Следовательно точка M(x, y, z) лежит в одной плоскости с точками M₁, M₂, M₃ тогда и тольно тогда, когда векторы M₁M₂, M₁M₃ и компланарны. Но векторы M₁M₂, M₁M₃, M₁M компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Используя смешанное произведение векторов M₁M₂, M₁M₃, M₁M в координатах, получим необходимое и достаточное условие принадлежности точки M(x, y, z) к указанной плоскости:

Разложив определитель в левой части выражения, например, по первому столбцу и упростив, получим уравнение плоскости в общей форме, проходящий по точкам M₁, M₂, M₃:

Пример 1. Построить уравнение плоскости, проходящую через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2).

(1)

Подставляя координаты точек A, B, C в (1), получим:

Разложим определитель по первому столбцу:

Уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2) имеет вид:

Уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий нормаль n

Пример 2. Построить плоскость, проходящую через точку M₀(-1, 2, 1) и имеюший нормаль n(1, 4/5, 1).

(2)

Подставляя координаты векторов M₀ и n в (2), получим:

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

4.2.10. Примеры решения задач по теме «Уравнение плоскости в пространстве»

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А=<5; -1; 3>,

Для того, чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать координаты

Точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормали, то есть вектора, перпендикулярного плоскости.

Векторы АВ = (-3; 3; -3) и АС = (-6; 2; -2) параллельны данной плоскости, поэтому их векторное произведение или любой вектор, коллинеарный ему, является нормалью к плоскости.

Выберем в качестве нормали П = (0; 1; 1), а точкой <Х0; У0; Z0> будем считать точку В. Тогда уравнение плоскости имеет вид:

Составить канонические уравнения прямой

Для того, чтобы составить канонические или параметрические уравнения прямой в пространстве, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой на этой прямой, и координаты направляющего вектора, то есть вектора, коллинеарного прямой.

Прямая является линией пересечения двух плоскостей, поэтому ее направляющий вектор А параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям П1 и П2 к данным плоскостям. В таком случае он коллинеарен векторному произведению [N1, N2].

Будем искать точку, лежащую на данной прямой, у которой одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда остальные две координаты можно определить единственным образом из системы уравнений, задающей пересекающиеся плоскости. Выберем для удобства вычислений Z0 = 0, тогда для точки М=<Х0; У0; 0>

Теперь составим канонические уравнения данной прямой:

Ответ:

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую L:

Точка А= <-3,5,-1>принадлежит плоскости, соответственно вектор параллелен плоскости. Кроме того, поскольку данная прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор A = (2: 1: -1) параллелен плоскости. Следовательно, нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.

Поскольку прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор A = (2: 1: -1) параллелен плоскости. При T = 0 из уравнений прямой получаем:

Координаты точки А, принадлежащей прямой и соОтВетственно плоскости.

Тогда вектор АМ = (5; -8; 2) параллелен Плоскости. Следовательно, нормаль

П к плоскости коллинеарна векторному произведению [A, AM] = (-6; -9; — 21).

Выберем N = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через

Найти кратчайшее расстояние между прямыми

Координаты направляющих векторов данных прямых A1 = <3; 2; -2>и

A2 = <1; 1; 4>не пропорциональны, следовательно, А1 и А2 не коллинеарны, поэтому прямые либо пересекаются, либо скрещиваются.

Составьте уравнение плоскости A, проходящей через прямую L1 параллельно вектору А2. Если L1 и L2 пересекаются, то прямая L2 будет лежать в этой плоскости; если же L1 и L2 скрещиваются, то L2 параллельна плоскости A, и тогда расстояние между L1 и L2 (длина общего перпендикуляра) будет равно расстоянию от любой точки прямой L2 до плоскости A.

Координаты направляющих векторов данных прямых A1 = <3; 2; -2>и

A2 = <1; 1; 4>не пропорциональны, следовательно, А1 и А2 не коллинеарны, поэтому прямые либо пересекаются, либо скрещиваются.

Составим уравнение плоскости A, проходящей через прямую L1 параллельно вектору А2. Если L1 и L2 пересекаются, то прямая L2 будет лежать в этой плоскости (рис.9); если же L1 и L2 скрещиваются, то L2 параллельна плоскости A, и тогда расстояние между L1 и L2 (длина общего перпендикуляра) будет равно расстоянию от любой точки прямой L2 до плоскости A (рис.10).

[A1, A2] = (10; -14; 1) = N, точка А= <5; 0; -25>лежит на прямой L1, следова-тельно, она лежит и в плоскости A. Тогда уравнение плоскости A имеет вид:

Точка В= <1; 2; 13>принадлежит прямой L2. Проверим, лежит ли эта точка в плоскости A:

Тогда искомой величиной будет расстояние от В до A. Его можно найти, составив нормальное уравнение плоскости A:

Ответ: .

Найти точку, симметричную точке А(5; -10; 4) относительно плоскости

Искомая точка В лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости A так, что ОА = ОВ, где точка О – точка пересечения A с прямой АВ.

Искомая точка В лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости A так, что ОА = ОВ, где точка О – точка пересечения A с прямой АВ. Составим уравнения прямой АВ. Эта прямая перпендикулярна A, поэтому ее направляющим вектором можно считать нормаль к плоскости A: A = N = (1; -3; 1).

Параметрические уравнения прямой АВ имеют вид:

Точка О принадлежит и прямой АВ, и плоскости A, поэтому ее координаты должны удовлетворять и уравнениям прямой, и уравнению плоскости. Подставим в уравнение плоскости A параметрические выражения для X, Y, Z из уравнений прямой АВ:

T + 5 – 3(-3T – 10) + T + 4 – 6 = 0; 11T + 33 = 0; T = -3.

Итак, координаты точки О:

Поскольку точка О – середина отрезка АВ, то