Составить уравнение плоскости через точку и отсекающей

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости в пространстве.

Советуем вспомнить теоретический материал по данной теме: уравнение плоскости в пространстве.

Задание 33

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(5; 4; 3) и отсекает равные отрезки на осях координат.

Решение:

Запишем уравнение плоскости в отрезках на осях, в котором $$a=b=c$$

Координаты точки М должны удовлетворять уравнению искомой плоскости, поэтому должно выполняться равенство $$5+4+3=a\Rightarrow a=12$$.

Значит уравнение искомой плоскости имеет вид

Ответ: $$x+y+z-12=0$$.

Задание 34

Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения $$x+y+5z-1=0,$$ $$2x+3y-z+2=0$$ и через точку М(3; 2; 1).

Решение:

Используем уравнение пучка плоскостей

Подставим координаты точки М и найдем $$\lambda$$

Уравнение плоскости имеет вид

Или, после умножения на 13 и приведения подобных членов, получим

Ответ: $$5x+14y-74z+31=0$$.

Задание 35

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;3;5) и перпендикулярной вектору $$\vec(4;3;2)$$.

Решение:

Используем формулу для плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Уравнение плоскости в отрезках

В данной статье мы рассмотрим уравнение плоскости в отрезках. Представим методы преобразования уравнения плоскости в отрезках в уравнение плоскости в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.

Уравнение плоскости в отрезках представляется следующей формулой:

,

(1)

где a, b, c отличные от нуля числа.

Отметим, что числа a, b, c в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy, Oz (Рис.1, Рис.2).

Действительно. Подставляя в (1) y=0, z=0 получим x=a, если же подставить в (1) x=0, y=0 то получим z=c, подставвляя, наконец, x=0, z=0 получим y=b. Таким образом плоскость, определяемая уравнением (1) проходит через точки M₁(a, 0, 0), M₂(0, b, 0) и M₃(0, 0, с).

Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox, Oy и Oz в точках −1,3 и 7, соответственно.

Решение. Подставляя значения a=−1, b=3 и c=7 в (1), получим:

.

.

Приведение уравнения плоскости в отрезках к общему виду

Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:

.

Далее, умножив обе части уравнения на abc, получим:

.

Пример 2. Уравнение плоскости в отрезках представлено следующим уравнением:

.

Перевести уравнение к общему виду.

Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

.

Умножив обе части уравнения на 10, получим:

.

.

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках

где A, B, C, D − отличные от нуля числа, т.е. уравнение плокости является полным (о полных и неполных уравнениях плоскости смотрите здесь).

Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член D на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −D:

.

(2)

Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:

.

(3)

Сделаем следующие обозначения:

Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).

Пример 3. Привести общее уравнение прямой

к уравнению прямой в отрезках.

Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение плоскости в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=−2, B=3, C=5, D=−4. Подставив эти значения в формулу (3), получим: