Составить уравнение плоскости делящей пополам двугранный угол

Составить уравнения плоскостей делящих пополам двугранные углы

УСЛОВИЕ:

Составьте уравнения плоскостей делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями x-2y+2z+6=0 и 4x+2y-4z+5=0

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

Добавил slava191 , просмотры: ☺ 11785 ⌚ 05.01.2015. математика 1k класс

Решения пользователей

РЕШЕНИЕ ОТ vk54215494

«..Мы всю левую часть умножили на 2.»
для чего, почему и всегда ли так нужно делать?

Написать комментарий

Делим обе части равенства на π

и умножаем на 4

+pi k, k in Z
Можно правую часть записать в виде двух ответов:

x=1+8n in Z : это . [b] -15; -7; 1; 9; 17; ..[/b].

x=3+ 8n, n in Z : это[b] -13; -5; 3; 11; . [/b]

[b]x=-5 – наибольшее отрицательное [/b]

О т в е т. x=1+8n in Z или x=3+ 8n, n in Z

корни чередуются так:

. -15;-13;-7;-5; 1;3; 9;11; 17; 19; .

[b]x=-5 – наибольшее отрицательное [/b] (прикреплено изображение)

a=1 – старший коэффициент
b=1 – средний коэффициент
с=-2 – свободный член

4.
x^2=a-5
При a-5=0 ⇒ при а=5
уравнение имеет один корень х=0

5.
Δ Прямоугольный, так как верно равенство: b^2=a^2+c^2
5^2=3^2+4^2
25=9+16
Значит, ∠ B=90 градусов и ∠ А+ ∠ С=90 градусов.

∠ А- ∠ С=36 градусов.
∠ А+ ∠ С=90 градусов.

складываем оба равенства:

2* ∠ А=126 градусов.

По формулам приведения:

sin^2x+sinx-2=0
D=9
sinx=-2 или sinx=1

sinx=-2 уравнение не имеет корней, -1 ≤ sinx ≤ 1

sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πk, k ∈ Z или х=90 ° +360 ° *k, k ∈ Z

Найдем корни, принадлежащие указанному отрезку с помощью неравенства:

-286 ° ≤ 90 ° +360 ° *k ≤ 204 °

-286 °-90 ° ≤ 360 ° *k ≤ 204 ° -90 °

-376 ° ≤ 360 ° *k ≤ 114 °

Неравенство верно при k=[green]-1[/green] и k=[red]0[/red]

Значит, указанному отрезку принадлежат два корня:

x=90 ° +360 °* ([green]-1[/green])=-270 °

x=90 ° +360 °*[red]0[/red]=90 °

7. KT- средняя линия трапеции:

Cредняя линия трапеции делит высоту трапеции пополам ( см. рис)

Высоты треугольников АКО и СОК равны половине высоты трапеции

S_( Δ АКО)+S_( Δ COK)=44

S_( Δ АКО)+S_( Δ COK)=KO*(h/4) +OT*(h/4)=

О т в е т. [b]176[/b]

B=-2
[i]l[/i]=8 – количество ребер четырехугольной пирамиды

Задание: cоставить уравнение плоскости(u), делящей пополам острый двугранный угол, образованный плоскостью(p1) 3x-4y+6z-2=0 с координатной плоскостью Oyz.

Окей, вторая плоскость(p2) получается задается уравнением By+Cz=0. Произвольная точка М(x0,y0,z0) принадлежит искомой плоскости только тогда, когда d(M,p1)=d(M,p2), то есть расстояния от точки, до заданных плоскостей плоскостей одинаковые, составила уравнение: $$ frac > = frac + C^ > > $$

Ответ должен быть(дан в пособии) $$ (3-sqrt )x-4y+6z-2=0$$ что явно не получится из того уравнения, что я составила. Как можно решить данную задачу?

задан 19 Окт 19:58

Условие надо хотя бы верно записывать. Наверняка так:

Угол, образованный плоскостью $% ; (p1): 3x-4y+6z-2=0 ;$% с координатной плоскостью $%Oyz$%.

@KristinaM: вторая плоскость, то есть Oyz, задаётся уравнением x=0. Поэтому никаких B, C там нет, а будет просто |x|. Тогда после раскрытия модулей возникнут две плоскости. Одна — та, что из ответа. Другая — ей перпендикулярная. По идее, там надо распознать, какая именно из этих плоскостей подходит, то есть какие углы будет острыми. Это легко проверить при помощи рассмотрения векторов нормали к плоскостям и их скалярных произведений.

К слову сказать, By+Cz=0 есть семейство плоскостей, проходящих через ось Ox.

1 ответ

Нормали к плоскостям равной длины: $%;vec =(3; -4; 6); ; vec =(sqrt ; 0; 0),;$% угол между которыми острый. Тогда нормаль к биссекторной плоскости: $% ; vec =(3+sqrt ; -4; 6);-$% сумма нормалей.
Стало быть, уравнение: $%; (3+sqrt )x -4y+ 6z-2=0, ;$% учитывая точку $%(0; 1; 1)$%.

Для того, чтобы оценить ресурс, необходимо авторизоваться.

В учебно-методическом пособии излагаются теоретические основы аналитической геометрии в пространстве, приводятся решения большого числа задач. Пособие содержит варианты задач (с ответами) для самостоятельного решения, список формул и рекомендуемой литературы. Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей направления 6533500 «Строительство» всех форм обучения. Подготовлено кафедрой высшей математики УГТУ-УПИ.

Геометрия

План урока:

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Напомним, что в планиметрии углом называют фигуру, состоящую из точки и двух лучей, выходящих из нее. Сама точка именуется вершиной угла, а лучи – сторонами угла.

По аналогии в стереометрии рассматривается схожая фигура – двугранный угол. Он состоит из двух полуплоскостей, которые исходят из одной прямой. Каждая из этих полуплоскостей именуется гранью двугранного угла, а их общая прямая – это ребро двугранного угла.

Для обозначения двугранного угла достаточно указать две точки на его ребре, а также ещё по одной точке на каждой грани. Например, на следующем рисунке показан угол САВD:

Двугранные углы часто встречаются в обычной жизни. Например, его образуют двухскатные крыши домов. В стереометрии двугранные угла можно найти в любом многограннике.

Двугранные углы можно измерять. Для этого надо выбрать произвольную точку на ребре угла и на каждой грани построить перпендикуляр, проходящий через эту точку. Через эти два перпендикуляра можно построить единственную плоскость. Угол между двумя перпендикулярами и принимается за величину двугранного угла.

Отдельно отметим, что плоскость, проходящая через перпендикуляры (на рисунке выше это γ) перпендикулярна ребру угла АВ. Это вытекает из признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, АВ⊥ВС и АВ⊥BD, поэтому и АВ⊥γ. Построенный угол ∠СBD называют линейным углом двугранного угла.

Понятно, что в каждом двугранном угле можно построить сколько угодно линейных углов:

Здесь помимо ∠ВСD построены линейные углы ∠В’С’D’ и ∠В’’С’’D’’. Однако все эти углы имеют одинаковую градусную меру. Сравним, например, ∠ВСD и ∠В’С’D’. Так как BD⊥AB и B’D’⊥АВ, то BD||B’D’. Аналогично можно прийти к выводу, что ВС||B’C’. Получаем, что стороны углов ∠ВСD и ∠В’С’D’ – это сонаправленные лучи, а потому ∠ВСD и ∠В’С’D’ одинаковы.

Двугранные углы, как и обычные углы, можно разделить на острые (их градусная мера меньше 90°), прямые (они в точности равны 90°) и тупые (которые больше 90°).

Если две плоскости пересекаются, то они образуют сразу 4 двугранных угла. Если среди них есть острый угол, то его величина считается углом между плоскостями. Если же все образуется 4 прямых двугранных угла, то угол между плоскостями принимается равным 90°.

Перпендикулярность плоскостей

В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.

Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.

Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:

Прямоугольный параллелепипед

Ранее мы уже узнали про параллелепипед. Это фигура с 6 гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Особый интерес представляет его частный случай – прямоугольный параллелепипед.

Такую форму имеют многие шкафы, другие предметы мебели, коробки для обуви, небоскребы. Изображают прямоугольный параллелепипед так:

Для обозначения вершин параллелепипеда применяют латинские буквы. Очень часто для вершин одной грани используют 4 буквы без индекса (на рисунке выше это А, В, С, D), а другие 4 вершины обозначают такими же буквами, но с нижним индексом 1: А₁, B₁, C₁ и D₁. При этом одноименные вершины (например, А и А₁) находятся на одном ребре, которое располагается на рисунке вертикально.

Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

Например, ребро АD пересекается с гранями АВВ₁А₁ и CDD₁C₁. Значит, оно перпендикулярно этим граням (точнее говоря, оно перпендикулярно плоскостям, проходящим через эти грани). Действительно, AD⊥DC, ведь ∠ADC является углом в прямоугольнике АВСD и потому он прямой. Аналогично и AD⊥DD₁, ведь и ADD₁A₁ – прямоугольник. Получается, что ребро AD перпендикулярно 2 прямым в грани CDD₁C₁ (которые при этом пересекаются), и потому оно перпендикулярно и всей грани. То же самое можно продемонстрировать для любого ребра прямоугольного параллелепипеда и любой грани, которую она пересекает.

Эти грани пересекаются по ребру А₁D₁. Этому ребру в свою очередь перпендикулярны ребра АА₁ и А₁В₁, лежащие в гранях ADD₁A₁ и A₁D₁C₁B₁. Значит, ∠АА₁В₁ и будет углом между этими гранями. Но он составляет 90°, то есть грани перпендикулярны, ч. т. д.

Хотя у прямоугольного параллелепипеда есть 12 граней, многие из них имеют одинаковую длину. Поэтому для описания размеров этой фигуры достаточно указать только три параметра. Обычно их называют длиной, шириной и высотой:

Эти параметры также называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Зная их, можно вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для этого используется следующая теорема:

Действительно, пусть есть прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Назовем ребро AD его длиной, АВ – шириной, а ВВ₁ – высотой. Пусть необходимо найти длину диагонали В₁D:

Сначала построим отрезок BD и рассмотрим ∆ABD. Он прямоугольный, и потому для него верна теорема Пифагора:

Теперь перейдем к ∆В₁ВD. Так как ребро BB₁ перпендикулярно грани ABCD, то ∠В₁ВD – прямой. Тогда и ∆В₁ВD – прямоугольный, а потому и для него можно записать теорему Пифагора:

Дополнительно отметим уже известный нам факт, что тот прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковы, именуется кубом. Можно дать и такое определение куба:

Трехгранный угол

Выберем в пространстве произвольную точку K. Далее из нее проведем три луча КА, КВ и КС так, чтобы они не находились в одной плоскости:

В результате мы получили фигуру, которую именуют трехгранным углом. Она состоит их трех плоских углов: ∠АКС, ∠АКВ и ∠ВКС. Эти углы так и называются – плоские углы трехгранного угла. Сам же трехгранный угол обозначают четырьмя буквами: КАВС. Обратите внимание, что через каждую пару лучей КА, КВ и КС можно провести плоскость. Таким образом, название «трехгранный» угол показывает, что в точке К сходятся три грани. Чаще всего в стереометрии такой угол возникает при рассмотрении вершин тетраэдра, в котором есть сразу четыре трехгранных угла:

Доказательство. Пусть в пространстве из точки D выходят лучи AD, BD и CD. Важно понимать, что мы можем свободно «передвигать» точки А, В и С по лучам, и величина плоских углов при этом меняться не будет. Если среди плоских углов нет наибольшего, то теорема очевидно выполняется. Поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда один из углов – наибольший. Пусть им будет ∠BDC:

Это возможно сделать, ведь ∠BDC > AD, поэтому внутри ∠BDC можно провести луч DK. Далее «сместим» точку А на луче АD так, чтобы DK = AD. Естественно, что при этом плоские углы трехгранного угла никак не изменятся, также как останется верным равенство

Сравним ∆ADC и ∆DKC. У них есть общая сторона DC, одинаковы стороны DK и AD, а также совпадают углы между ними. Значит, эти треугольники равны, и тогда можно записать, что:

Теперь сравним ∆ABD и ∆DBK. У них BD – общая сторона, а DK = AD. При этом BK 1 параллельны друг другу