Составить уравнение плоскости которая проходит через точку м1

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения плоскости, введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости − теория, примеры и решения

Наша задача найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и параллельной плоскости (1)(Рис.1).

Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (1) плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (1). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M₀(x₀, y₀, z₀) удовлетворяла уравнению плоскости (1):

(2)

Решим (2) относительно D:

Подставляя значение D из (3) в (1), получим:

Уравнение (4) можно представить также в следующем виде:

Уравнение (5) является уравнением плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и параллельной плоскости (1).

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, −6, 2) и параллельной плоскости :

(6)

Запишем коэффициенты нормального вектора плоскости (6):

(7)

Подставляя координаты точки M₀ и координаты нормального вектора в (3), получим:

(8)

Подставляя значения A, B, C, D в уравнение плоскости (1), получим:

Уравнение плоскости можно представить в более упрощенном виде, умножив на 4:

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, −6, 2) и параллельной плоскости (6) имеет следующий вид:

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

В этой статье детально разобран процесс нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно заданной плоскости. После изложения необходимых теоретических основ приведены подробные решения характерных задач, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Задача нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости, возникает из следующей теоремы: через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. Доказательство этой теоремы можно найти в учебнике геометрии для 10 — 1 1 классов, указанном в конце статьи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , в ней задана плоскость и точка , не лежащая в плоскости . Поставим перед собой задачу: написать уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

Нам известно, что общее уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор плоскости , имеет вид . Таким образом, мы сможем записать требуемое уравнение плоскости , если определим координаты ее нормального вектора.

При изучении темы «нормальный вектор плоскости» мы отметили, что нормальный вектор одной из двух параллельных плоскостей является нормальным вектором второй плоскости. Следовательно, в силу параллельности плоскостей и , нормальным вектором плоскости является любой нормальный вектор заданной плоскости . Таким образом, задача составления уравнения плоскости , проходящей через заданную точку М₁ параллельно заданной плоскости , сводится к определению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь координаты нормального вектора плоскости проще всего получить, если иметь перед глазами общее уравнение плоскости вида . В этом случае коэффициенты A , B , C перед переменными x , y , z являются соответствующими координатами нормального вектора плоскости .

Итак, запишем алгоритм нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости :

• получаем общее уравнение плоскости в виде (если оно нам уже не дано в условии) и записываем ее нормальный вектор ;
• принимаем этот вектор в качестве нормального вектора плоскости ;
• записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , в виде — это и есть искомое уравнение плоскости , проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Следует заметить, что если точка М₁ лежит в плоскости , то, действуя по записанному алгоритму, мы получим уравнение плоскости , которая совпадает с плоскостью .

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Разберем решения нескольких примеров, в которых требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Начнем с самого простого случая, когда координаты нормального вектора плоскости очень легко находятся.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой

Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой

Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат O x y z в нем. Заданы также точка М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , прямая a и плоскость α , проходящая через точку М 1 перпендикулярно прямой a . Необходимо записать уравнение плоскости α .

Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы 10 — 11 классов, которая гласит:

Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.

Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.

Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.

Условием задачи нам заданы координаты x 1 , y 1 , z 1 точки М 1 , через которую проходит плоскость α . Если мы определим координаты нормального вектора плоскости α , то получим возможность записать искомое уравнение.

Нормальным вектором плоскости α , так как он ненулевой и лежит на прямой a , перпендикулярной плоскости α , будет являться любой направляющий вектор прямой a . Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости α преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой a .

Определение координат направляющего вектора прямой a может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой a в исходных условиях. К примеру, если прямая a в условии задачи задана каноническими уравнениями вида

x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

или параметрическими уравнениями вида:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

то направляющий вектор прямой будет иметь координаты а x , а y и а z . В случае, когда прямая a представлена двумя точками М 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) и М 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) , то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:

— определяем координаты направляющего вектора прямой a : a → = ( а x , а y , а z ) ;

— определяем координаты нормального вектора плоскости α как координаты направляющего вектора прямой a :

n → = ( A , B , C ) , где A = a x , B = a y , C = a z ;

— записываем уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) в виде A ( x – x 1 ) + B ( y – y 1 ) + C ( z – z 1 ) = 0 . Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.

Полученное общее уравнение плоскости: A ( x – x 1 ) + B ( y – y 1 ) + C ( z – z 1 ) = 0 дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.

Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.

Задана точка М 1 ( 3 , — 4 , 5 ) , через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой О z .

Решение

направляющим вектором координатной прямой O z будет координатный вектор k ⇀ = ( 0 , 0 , 1 ) . Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты ( 0 , 0 , 1 ) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М 1 ( 3 , — 4 , 5 ) , нормальный вектор которой имеет координаты ( 0 , 0 , 1 ) :

A ( x — x 1 ) + B ( y — y 1 ) + C ( z — z 1 ) = 0 ⇔ ⇔ 0 · ( x — 3 ) + 0 · ( y — ( — 4 ) ) + 1 · ( z — 5 ) = 0 ⇔ z — 5 = 0

Ответ: z – 5 = 0 .

Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:

Плоскость, которая перпендикулярна прямой O z будет задана неполным общим уравнением плоскости вида С z + D = 0 , C ≠ 0 . Определим значения C и D : такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение С z + D = 0 , получим: С · 5 + D = 0 . Т.е. числа, C и D связаны соотношением — D C = 5 . Приняв С = 1 , получим D = — 5 .

Подставим эти значения в уравнение С z + D = 0 и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой O z и проходящей через точку М 1 ( 3 , — 4 , 5 ) .

Оно будет иметь вид: z – 5 = 0 .

Ответ: z – 5 = 0 .

Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x — 3 = y + 1 — 7 = z + 5 2

Решение

Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор n → заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: n → = ( — 3 , — 7 , 2 ) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку О ( 0 , 0 , 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( — 3 , — 7 , 2 ) :

— 3 · ( x — 0 ) — 7 · ( y — 0 ) + 2 · ( z — 0 ) = 0 ⇔ — 3 x — 7 y + 2 z = 0

Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.

Ответ: — 3 x — 7 y + 2 z = 0

Задана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, в ней – две точки А ( 2 , — 1 , — 2 ) и B ( 3 , — 2 , 4 ) . Плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой А В . Необходимо составить уравнение плоскости α в отрезках.

Решение

Плоскость α перпендикулярна к прямой А В , тогда вектор А В → будет нормальным вектором плоскости α . Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек В ( 3 , — 2 , 4 ) и А ( 2 , — 1 , — 2 ) :

A B → = ( 3 — 2 , — 2 — ( — 1 ) , 4 — ( — 2 ) ) ⇔ A B → = ( 1 , — 1 , 6 )

Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:

1 · x — 2 — 1 · y — ( — 1 + 6 · ( z — ( — 2 ) ) = 0 ⇔ x — y + 6 z + 9 = 0

Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:

x — y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x — y + 6 z = — 9 ⇔ x — 9 + y 9 + z — 3 2 = 1

Ответ: x — 9 + y 9 + z — 3 2 = 1

Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.

Задана прямоугольная система координат O x y z , в ней – точка М 1 ( 2 , 0 , — 5 ) . Заданы также уравнения двух плоскостей 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z – 1 = 0 , которые пересекаются по прямой a . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .

Решение

Определим координаты направляющего вектора прямой a . Он перпендикулярен как нормальному вектору n 1 → ( 3 , 2 , 0 ) плоскости n → ( 1 , 0 , 2 ) , так и нормальному вектору 3 x + 2 y + 1 = 0 плоскости x + 2 z — 1 = 0 .

Тогда направляющим вектором α → прямой a возьмем векторное произведение векторов n 1 → и n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → — 6 · j → — 2 · k → ⇒ a → = ( 4 , — 6 , — 2 )

Таким образом, вектор n → = ( 4 , — 6 , — 2 ) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a . Запишем искомое уравнение плоскости:

4 · ( x — 2 ) — 6 · ( y — 0 ) — 2 · ( z — ( — 5 ) ) = 0 ⇔ 4 x — 6 y — 2 z — 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x — 3 y — z — 9 = 0

Ответ: 2 x — 3 y — z — 9 = 0