Составить уравнение плоскости параллельной плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

В этой статье детально разобран процесс нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно заданной плоскости. После изложения необходимых теоретических основ приведены подробные решения характерных задач, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Задача нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости, возникает из следующей теоремы: через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. Доказательство этой теоремы можно найти в учебнике геометрии для 10 — 1 1 классов, указанном в конце статьи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , в ней задана плоскость и точка , не лежащая в плоскости . Поставим перед собой задачу: написать уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

Нам известно, что общее уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор плоскости , имеет вид . Таким образом, мы сможем записать требуемое уравнение плоскости , если определим координаты ее нормального вектора.

При изучении темы «нормальный вектор плоскости» мы отметили, что нормальный вектор одной из двух параллельных плоскостей является нормальным вектором второй плоскости. Следовательно, в силу параллельности плоскостей и , нормальным вектором плоскости является любой нормальный вектор заданной плоскости . Таким образом, задача составления уравнения плоскости , проходящей через заданную точку М₁ параллельно заданной плоскости , сводится к определению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь координаты нормального вектора плоскости проще всего получить, если иметь перед глазами общее уравнение плоскости вида . В этом случае коэффициенты A , B , C перед переменными x , y , z являются соответствующими координатами нормального вектора плоскости .

Итак, запишем алгоритм нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости :

• получаем общее уравнение плоскости в виде (если оно нам уже не дано в условии) и записываем ее нормальный вектор ;
• принимаем этот вектор в качестве нормального вектора плоскости ;
• записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , в виде — это и есть искомое уравнение плоскости , проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Следует заметить, что если точка М₁ лежит в плоскости , то, действуя по записанному алгоритму, мы получим уравнение плоскости , которая совпадает с плоскостью .

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Разберем решения нескольких примеров, в которых требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Начнем с самого простого случая, когда координаты нормального вектора плоскости очень легко находятся.

Составить уравнение плоскости параллельной плоскости

Найти уравнение плоскости, параллельной плоскости xOy и проходящей через точку A(1, 2, -4).

Уравнение плоскости, параллельной плоскости xOy, имеет вид: Cz + D = 0.

Подставляя в него координаты точки A, получим -4C + D = 0, или D = 4C. Подставляя это значение в Cz + D = 0, получим

а сокращая на C, будем иметь окончательно

Составить уравнение плоскости параллельной плоскости

Уравнение плоскости в пространстве

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; –3; 4) и параллельной плоскости 3 x –4 y +5 z +7 = 0.

Решение. Составим уравнение плоскости по формуле уравнения плоскости, проходящей через данную точку в данном направлении:

.

Компоненты направляющего вектора найдем из условия параллельности двух плоскостей, т.е.

,

если взять коэффициент пропорциональности, равный единице, то получим А = 3; В = –4; С = 5.

Уравнение плоскости примет вид

3( x –2)–4( y +3)+5( z –4)=0, или 3 x –4 y +5 z –38=0.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(6; 3; 1) и отсекающей на осях координат положительные и равные между собой отрезки.

Решение. Возьмем уравнение плоскости в координатных отрезках:

.

Так как a = b = c , то уравнение примет вид

Подставим координаты данной точки b в приведенное уравнение и найдем а.

.